高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：第一章集合與函數(shù)概念

1、歸海木心QQ:634102564高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1】集合的含義與表示(1) 集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2) 常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集，N ”或N .表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.(3) 集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是a M，或者a ' M，兩者必居其一.(4) 集合的表示法 自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾? 列舉法：把集合中的元素一一列舉岀來，寫在大括號內(nèi)表示集合 描述法： X| x具有的性質(zhì)，其中x為集合的代表元素 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5) 集合的分類

2、含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空集(_ ).【1.1.2】集合間的基本關(guān)系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集A匸B(或B 二 A)A中的任一元素都屬于B(1)A§ A0 9 A(3) 若B且 B9C，則 AGC(4) 若 A9 B且 B9 A，則 A = B0)或真子集A匚B 豐(或 B 二A) 豐B，且B中至少 有一元素不屬于A(1)A (A為非空子集)若B且B匸C，則Au C 豐豐豐集合相等A = BA中的任一元素都屬 于B, B中的任一元素 都屬于A(1) A 匸 B(2) B 匸 A(7)已知集合A

3、有n(n _1)個(gè)元素，則它有2n個(gè)子集，它有2n -1個(gè)真子集，它有2n -1個(gè)非空子集，它有2n - 2非空真子集.【1.1.3】集合的基本運(yùn)算(8)交集、并集、補(bǔ)集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集ABx |x A,且(1) A T A = A(2) aS =0B(3)BG ABVV7并集aUbx |xe A,或xe B（1）aUa = a（2）AU0 = A（3）aU b a aUb： Bb）補(bǔ)集殆Ax| xU ,且x 更 A1Ari（ejA）曲2aU（QjA）=U痧（A CIB）=（uA）U（uB） 痧（aUb）=（uA）.（uB）乜o【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)

4、含絕對值的不等式的解法不等式解集| x|va（a >0）x | a v x < a| x|a（a >0）x | x < a 或 x a a|ax +b |cc,| ax +b |ac（c a0）把a(bǔ)x +b看成一個(gè)整體，化成| x |< a ，| x |> a(a >0)型不等式來求解(2 )一元二次不等式的解法判別式A =b2 -4acA >0A =0也< 0二次函數(shù)2y=ax +bx + c(a0)的圖象I11r V0一元二次方程2ax +bx+c=0(a>0)的根-b± Jb2 -4acbx1 = x2 =2a無實(shí)根x

5、1,2 -2a（其中xx?）2ax +bx+c >0（a >0）的解集 X I X < % 或 x> x2x I y豐一2aRax +bx+c <0（a a0）的解集x | 為 £ X c x2001.2函數(shù)及其表示【121】函數(shù)的概念(1) 函數(shù)的概念 設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合 A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f (x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A , B以及A到B的對應(yīng)法則f )叫做集合 A到B的一個(gè)函數(shù)，記作f : A > B 函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則. 只有定義域相同，且對應(yīng)

6、法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).(2) 區(qū)間的概念及表示法設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a : b ,滿足a乞x豈b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b；滿足a ： x ： b的實(shí)數(shù)x 的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足a乞x：b，或a :：x b 的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間， 分別記做a,b)， (a,b；滿足 x _ a, x a,x _b,x ： b的實(shí)數(shù) x的集合分別記做a, ：),( a, ：),(-：,b,(,b).注意：對于集合x| a ： x : b與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須a : b .(3) 求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： f(X)是整式時(shí)

7、，定義域是全體實(shí)數(shù). f(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù). f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合. 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.n y 二 tanx 中，x = k(k Z).2 零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零. 若f (x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集. 對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域?yàn)閍,b，其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域應(yīng)由不等式a _ g(x) _ b解出. 對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具

8、體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論. 由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.(4) 求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值. 配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值. 判別式法：若函數(shù) y = f (x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有 y的關(guān)于x的二次方程a(y)

9、x2亠b(y)x亠c(y) = 0，則在2a(y) =0時(shí)，由于x, y為實(shí)數(shù)，故必須有厶=b (y)-4a(y) c(y) -0，從而確定函數(shù)的值域或最值. 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值. 換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題. 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值. 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值. 函數(shù)的單調(diào)性法.【1.2.2】函數(shù)的表示法(5) 函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)

10、變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法：就是列岀表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象 法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6) 映射的概念 設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中任何一個(gè)元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f )叫做集合A到B的映射，記作f : AB . 給定一個(gè)集合 A到集合B的映射，且a A,b B .如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象, 元素a叫做元素b的原象.1.3函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值(1)函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如

11、果對于屬于定義域 I內(nèi)某 個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量 的值X1、X2,當(dāng)X1< x 2時(shí)，都 有f(x 1)vf(x 2)，那么就說 f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù) .yy=f(x)f(x )/f(X )(1)利用定義(2 )利用已知函數(shù)的 單調(diào)性(3) 利用函數(shù)圖象(在 某個(gè)區(qū)間圖象上升為增)(4) 利用復(fù)合函數(shù)oX1X2X如果對于屬于定義域 I內(nèi)某 個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量 的值X1、X2，當(dāng)X1< X2時(shí)，都 有f(x 1)>f(X 2)，那么就說 f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).yf(X，)y=f(x)(1)利用定義(2 )利用已知函數(shù)的 單調(diào)性(3) 利用函數(shù)圖象(在 某

12、個(gè)區(qū)間圖象下降為減)(4) 利用復(fù)合函數(shù)x 1x 2X在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).對于復(fù)合函數(shù) y=fg(x)，令u=g(x)，若y = f(u)為增，u =g(x)為增，則y = fg(x)為增；若y =f(u)為減，u =g(x)為減，則 y = fg(x)為增；若 y = f (u)為增，u =g(x)為減，則 y = fg(x)為減；若y = f(u)為減，u =g(x)為增，則y = fg(x)為減.ya(2)打"/'函數(shù)f (x) = x+(a =0)的圖象與性質(zhì)xX/

13、f (x)分別在(_oo,_ja、ja,母)上為增函數(shù)，分別在_va,0)、(0,ja】上為減函數(shù).鳥占Lx(3)最大(小)值定義-ya一般地，設(shè)函數(shù) y= f(x)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù) M滿足：(1)對于任意的x壬1，都有oyaxf(x)蘭 M ；(2)存在x0 w 1，使得f (x0 = M .那么，我們稱M是函數(shù)f (x) 作 £(7、|/|的/最大值，記作 fmax(X)=M一般地，設(shè)函數(shù) y = f (x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù) m滿足：(1)對于任意的I，都有f(x)_m ；(2) 存在x I，使得f (x0) =m .那么，我們稱 m是函數(shù)f (x) 的最小值

14、，記作fmax(x) = m .【1.3.2】奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個(gè)X，都有f( x)= f(x).,那么函數(shù)f(x)叫做奇函 數(shù).*1-a1kT .(1 )利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點(diǎn)對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于原點(diǎn)對稱)(7 f -a)ONM如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個(gè)X,都有f( x)=f(x), 那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).Y(-a, f(a, f (a)(1 )利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點(diǎn)對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于y軸對稱)-a 0aI 若函數(shù)f (

15、x)為奇函數(shù)，且在x =0處有定義，則f (0) = 0 . 奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反. 在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式； 討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象. 平移變換h 0,左移h個(gè)單位k

16、 .0,上移k個(gè)單位八 f（x）一 hhO0右移 Th|個(gè)單位 T y= f （x + h） y=下移 Tkk個(gè)單位 T y= f （x）+k 伸縮變換y = f（x） y = f ©x）y 二 f（x）對稱變換0 :A：1,縮伸 t y =Af(x)歸海木心QQ:634102564歸海木心QQ:634102564歸海木心QQ:634102564歸海木心QQ:634102564X軸f(x) x rf(x)y= f(X) 止 J y= f (x)原占f(x)原點(diǎn)y - - f(-x)直線y =x歸海木心QQ:634102564歸海木心QQ:634102564去掉y軸左邊圖象f（X） 保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象"y保留x軸上方圖象t（x） 將x軸下方