解析匯報(bào)幾何中定值與定點(diǎn)問(wèn)題

1、解析幾何中定值與定點(diǎn)問(wèn)題【探究問(wèn)題解決的技巧、方法】(1)定點(diǎn)和定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.(2)解圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題也可以先研究一下特殊情況，找出定點(diǎn)或定值，再 視具體情況進(jìn)行研究.【實(shí)例探究】題型1 ：定值問(wèn)題：1 2例1:已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線.： 的2腐焦點(diǎn)，離心率等于：(I)求橢圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)過(guò)橢圓 C的右焦點(diǎn)作直線I交橢圓C于A B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若MA- AFtMB二給鳥(niǎo)氏求證召+易為定值.5:則由題意

2、知b=1.(II)方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 0).Ata =(可珂)=嘉(2眄廠乃).2JLy街=. + +召將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得2J去分母整理得1'' - J同理鉱二4辭得:才+10& +5-5 =Q :.心站是方程？+1X+5-5允二啲兩個(gè)根, ，”召 +血 -10.方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2, 0）.顯然直線I存在的斜率，設(shè)直線I的斜率為k,則直線I的方程是 y-k（x-2）. 將直線I的方程代入到橢圓 C的方程中，消去y并整理得a + 5ta）?-20Px+20ta-5 = 0.20, -

3、5X2 - X1 + 5*2v MA = AFMB =誦細(xì)點(diǎn)坐標(biāo)代入得石=又2佃+乃）_2盂厲4- 2（嗎+勺）+斤盂2例2.已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1,3/2）,兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1,0）,（1,0）.1）求橢圓方程2） E、F是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線 EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值（1）a2-b2=c2 =1設(shè)橢圓方程為 x2/（ b2+1）+y2/b2=1將（1，3/2）代入整理得 4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以橢圓方程為x2/4+y2/3=1（2）設(shè)AE斜率為k則 AE 方程為 y-（3/2）=k（x-1）x2/4+y2/

4、3=1，聯(lián)立得出兩個(gè)解一個(gè)是A（ 1,3/2 ）另一個(gè)是E（ x1，y1）代入消去 y 得（1/4+k2/3）x2-（ 2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根據(jù)韋達(dá)定理x1 = （ k2/3-k-1/4 ） / （1/4+k2/3將的結(jié)果代入式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ） /（1/4+k2 /3）設(shè) AF 斜率為-k，F(xiàn) (x2，y2) 則 AF 方程為 y- (3/2 ) =-k (x-1 x2/4+y2/3=1 聯(lián)立同樣解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3)y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF斜率為(y2-

5、y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直線EF斜率為定值，這個(gè)定值是1/2。，且過(guò)點(diǎn)(.2,1).32 2例3、已知橢圓 冷 爲(wèi)-1(a b 0)的離心率為a2b2(I)求橢圓的方程；(n)若過(guò)點(diǎn) C (-1, 0)且斜率為k的直線I與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A, B，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn) M，使MA MB 牙 是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若3k2 +1不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1 )橢圓離心率為 , -6 , %3 a 3 a 3又T橢圓過(guò)點(diǎn)(血,1)，代入橢圓方程，得 +4=1.a2 b2所以a2 =5,b2更.32 2橢圓方程為 '丄=1，即x2 3y2 =5.55

6、3(2)在x軸上存在點(diǎn)M (丄,0)，使MA MB 5 是與K無(wú)關(guān)的常數(shù).63k2 十1一 _I I5 一 證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M ( m,0),使MA MB 2 是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)， 3k2 +12 ，c 2廠x +3y =5,廠k(x+1),直線L過(guò)點(diǎn)C (-1, 0)且斜率為K, L方程為y二k(x 1),2 2-6k3k -5,X1 X21得(3k2 - 1)x2 6k2x 3k2 -5 =0.23k 1設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)，則劉 x?23k-+T亠3k2 15 MA * m,yJ,MB *2my?),5二 MA MB 誰(shuí)(X1 -m)(X2 -m) y1=X

7、1 -m X2 -m k2 X1 1 x? 12 彳3k +1=1 k2 皿2k21 _m 嘆 x2m2 k25 -3k2 +1=1 k2k23k +1-6k22 .-m 2 m k 3k 153k2 1,2 小，2 小 2, 22-k 6mk 3m k m23k 1設(shè)常數(shù)為t,則-k2 亠6mk2 亠3m2k2 亠m23k2 十1整理得(3m2 6m _1 _3t)k2 -m2 _t =0對(duì)任意的k恒成立, 2解得3m 6m -1 -3t =0,m2 _t =0.1即在X軸上存在點(diǎn)M（訐），5使MAMB 冇是與K無(wú)關(guān)的常數(shù)題型2:定點(diǎn)問(wèn)題2 2例4.已知橢圓C:篤與=1 （a > b

8、> 0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直a b2角三角形，直線 x-y+b=0是拋物線y =4x的一條切線。（1 ）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)S（ 0，-1/3 ）的動(dòng)直線L交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存 在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) T?若存在，求出點(diǎn) T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng) 說(shuō)明理由。解：（I）由 l>1 = 4x 得咖+X 二譏直線嚴(yán)時(shí)b戟贈(zèng)G:於"X的一剝建爲(wèi)所以"OHH1 *1當(dāng)直線1與山平行時(shí)，以AB為直徑的圓方程/亠。寫(xiě)-今當(dāng)星妒與y涎含時(shí)，以AB為直徑的便和站所以兩圓的切馱點(diǎn)（0, 1>所求的點(diǎn)T為點(diǎn)<

9、;0, 1）,證明如"當(dāng)單切與X軸垂直吋，決AB為宜徑的圈a點(diǎn)<0, 1) *二自線1嶼并軸不垂直時(shí)，可設(shè)jg茹：為:v =fct '3土7r = 1 得（匹疋 + 9）2 122 亠 16 = 0.X豐旳=?18k"+9八T6 恥=18+9+16 罠 -16設(shè)越無(wú).JlX*(E、)則711 73 = xXj仙 +可)+ 詈二(1 卡 P)Ilk 16*" 耳普。18+9 3 lSt:+9 9所以J3亠尬，即以AB対直徑的圈辿S (0, I)所以存在一個(gè)罡點(diǎn)T,便得以AB為畳徑+/ =1例5.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓 C:；，如圖所示，斜

10、率為 k (k >0 )且不過(guò)原點(diǎn)的直線I交橢圓C于A , B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E,射線OE交橢圓C于點(diǎn)G,交直線x=-3 于點(diǎn)D (-3 , m )(I)求m 2+k 2的最小值；(n)若 |OG| 2=|OD|-|OE|,(i)求證：直線I過(guò)定點(diǎn)；(ii)試問(wèn)點(diǎn) B, G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí) ABG的外接圓方程；若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。解:(I)由題意：設(shè)直線 I: y=kx+ n(n 丸),X 庁 二，消y得：Q +詢宀曲+新,_6血?jiǎng)t由韋達(dá)定理得:-3kn兀。二7即 Il+3ta1+3疋(-3kn n所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E ；二：二"因?yàn)?、E、D三點(diǎn)在同一直

11、線上，所以koE=k od ,1 tn1-=-m-即廣 ，解得：，所以m2+k2= '，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào),即m2+k 2的最小值為2。(H) (i)證明：由題意知：n > 0，因?yàn)橹本€y -0D的方程為V X3+ v12T F 4A5 . o.3得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為+3所以由又因?yàn)閥n mo心 ，且 |OG|2=|OD|0E| ,所以又由(I)知:1耕二k，所以解得k=n ,所以直線l的方程為I: y=kx+k，即有I: y=k (x+1 ), 令x=-1得，y=0，與實(shí)數(shù)k無(wú)關(guān)，所以直線I過(guò)定點(diǎn)(-1 , 0);x軸上,(ii)假設(shè)點(diǎn)B, G關(guān)于x軸對(duì)稱，則有 ABG的外接

12、圓的圓心在又在線段AB的中垂線上，由(i)知點(diǎn)所以點(diǎn)B-in又因?yàn)橹本€I過(guò)定點(diǎn)(-1 , 0),朋十3 _ uL +1所以直線I的斜率為W +3又因?yàn)橛忠驗(yàn)?m- ，所以解得二-或6 ,3-朋沁,所以m2=6舍去，即m2=1 ,(j 1)此時(shí) k=1 , m=1 , E 3-AB的中垂線為 2x+2y+1=0,(-訥手4圓心坐標(biāo)為 -,G ，圓半徑為-,(x-f+y2=-圓的方程為;(x-i)2 +y2 =綜上所述，點(diǎn)B,G關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí) ABG的外接圓的方程為。21 橢圓C : 2a【針對(duì)練習(xí)】2 -1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別是 F, F2,離心率為一3 ,過(guò)F,且垂直b2于X軸

13、的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.(I)求橢圓C的方程； (n )點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn) ，連接PF, PF2,設(shè).F,PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M (m,0),求m的取值范圍；(川)在(n)的條件下，過(guò)P點(diǎn)作斜率為k的直線l,使得I與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)1 1直線PF1, PF2的斜率分別為k1,k2,若k = 0,試證明為定值,并求出這個(gè)定值.kk1 kk22、如圖，S(1 “是拋物線為上的一占= 2px(p . 0)上的占，以S為圓心，r為半徑做圓，分別交X軸于A, B兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng) SA、SB,分別交拋物線于 C、D兩點(diǎn)。(I )求證：直線CD的斜率為定值；

14、(n )延長(zhǎng)DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E ,若EC : ED = 1 : 3，求sin 2 CSD cos CSD 的值。3、已知橢圓2 2xv13c：22 -1( a b 0)的離心率為一，點(diǎn)(1,)在橢圓C上.ab22(I )求橢圓C的方程；(n )若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn)M(4,t),其中tR,切點(diǎn)分別是 A、B,試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓2 2篤當(dāng)=1上的點(diǎn)(Xo,y。)處的橢圓切線方程是答轡=1,證明直線AB恒過(guò)橢圓的右abab隹占f ；2 ,1 1(川)在(n)的前提下，試探究的值是否恒為常數(shù)，若是,求出此常數(shù)；若不是，請(qǐng)|AF2 | | BF2 |說(shuō)明理由.2 2X v4、橢圓C :二 2 =

15、1 (a b 0)的離心率為a b1丄，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)2P(2,1)的距離為S0 (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 若直線丨：y二kx m與橢圓C相交于A B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線I過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐 標(biāo).5、如圖，已知橢圓2C :y2 =1,代B是四條直線X = 一2, y = 一1所圍成長(zhǎng)方形的兩個(gè)頂4占八、-(1 )設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若 OP二mOA nOB,求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m,n)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；(2)若M、N是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線 OM、ON 的斜率之積等于直線 OA、OB的斜率之積，試探求 OMN 的面積是

16、否為定值，說(shuō)明理由 .2 2 .2篤詈1 "上a b 得 a所以橢圓方程為 42 Xy2 =1(n)由題意可知，設(shè)P(xo,yo)其中X。4 ,將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：m( 4Xo -16)= 3Xo - 12Xo,因?yàn)閄o 4 ,【針對(duì)練習(xí)參考答案】2 2 21解：(I)由于c =a -b，將X二-C代入橢圓方程由題意知號(hào)"即a=2b233 3所以 m = 4X0,而 Xo 丟(一2,2),所以(-?，?)(3)由題意可知,1為橢圓的在p點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為：X)xx0y0y0八、11 yo y = 1,所以k,而k1*2,代入中得44yox 3 x -

17、 3kk| kk?-8為定值.2、解(1)將點(diǎn)(1, 1)代入y2 =2px，得2p =1拋物線方程為y2設(shè)直線SA的方程為y -1 = k(x-1),C(X|,yj與拋物線方程y2 =x 聯(lián)立得：1ky2 _ y 1 _ k =0 丫1 1 = y11 2=._1(1-k)1八1.C(匚F，1)kk2 k由題意有SA二SB,.直線SB的斜率為2 2(1 k) (1 k)k2k2(2)設(shè) E(t,O) EC 二1 ED32J(耳)rW(1k2k) t十 1)kk 3 kk21 /(1 k)1 _1_1) k =2k 3 k1直線SA的方程為廠21A(2,0)3同理B(3,0)22 2 2.co

18、s. CSD =cos. ASB=SA SB ABsin. CSD=42SB SA24sin 2. CSD 二25因此:sin 2. CSD cos. CSD 二 39253、解:(I )設(shè)橢圓C的方程為篤爲(wèi)=i(a b 0)a b)在橢圓C上,丄丄日,a 4b由得：a22 2= 4,b2 =3 橢圓C的方程為-i,43(n )設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)A(Xi,yJ,B(X2,y2),則切線方程分別為 - 丄 i,空空 冷.4343又兩條切線交于點(diǎn) M(4, t),即即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)都適合方程-y i, X2 - y2 = i33-y =i，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)(i,0)都適合這個(gè)方程,3故直線AB恒過(guò)橢圓

19、的右焦點(diǎn)(川)將直線AB的方程x =F2.tt22-y i,代入橢圓方程，得3(y i) 4y -i2=0,332即(4)y2 -2ty -0所以出 y yy 23t2 i2t2 i2不妨設(shè) yi 0, y2 ： 0 ,| AF2 = . ( -1)2yi2(t9 i)yi2yi,同理|BF2 卜t2 9y2所以L-IAF2I |BF2|- J2 9 yi所以ii的值恒為常數(shù)IAF2I |BF2|i -)y243,(y2 - yi/t2 9 y”2t2 9y2c4、解：(i)由題：e =a左焦點(diǎn)(一c,0)到點(diǎn)P(2,i)的距離為：d = .(2 + c) 2 + i 2由可解得c = 1 ,

20、 a = 22X_所求橢圓C的方程為4b 2 = a 2-c 2 = 3.2y- = i31 -y1A7 x3) x + 8kmx + 4m i2 = 0 .lFi。A2P(2 )設(shè) A(xi,yi)、B(X2,y2),將y = kx + m代入橢圓方程得(4 k 2 +B2Xi + X2 =8km4m 122xi X2 =24k + 3，X1X24k + 3 ，且 y1 = kx1 + m, y2 = kx2 + m./ AB為直徑的圓過(guò)橢圓右頂點(diǎn)A2(2,0)，所以 A2A ?A2B = 0.所以(X12,y”(X2 2,y2)=(X1 2) (x? 2) +目忻=(X1 2)(x? 2) + (kx1 +m) (kx2 +m)2 2=(k