蘇教版必修五11正弦定理余弦定理的應(yīng)用學(xué)案含答案

1、高中數(shù)學(xué)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明正弦定理、余弦定理的應(yīng)用1. 通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。2. 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法，解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。填空題解答題高考必考運(yùn)用正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角的互化，不同的轉(zhuǎn)化方向考查了思維的靈活性；解三角形問(wèn)題經(jīng)常與三角恒等變換結(jié)合，體現(xiàn)了考查的綜合性；實(shí)際問(wèn)題需要數(shù)學(xué)化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：正弦定理及余弦定理的靈活運(yùn)用。難點(diǎn)：運(yùn)用三角函數(shù)及正、余弦定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。1. 正弦定理及三角形面積公式

2、：2. 余弦定理：3. 三角形的邊角互化： 4. 三角形中的基本關(guān)系式：5. 利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問(wèn)題：已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而進(jìn)一步求其他的邊和角。（這種類型也可以用余弦定理求解）6. 應(yīng)用余弦定理解以下兩類三角形問(wèn)題：已知三邊求三內(nèi)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)內(nèi)角。7. 實(shí)際問(wèn)題的思考策略審題建模（三角形模型）解模（解三角形求符合題意的邊或角）答模（檢驗(yàn)并寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題的答案）例題1 某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45

3、6;，距離A為10 n mile的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以9 n mileh的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mileh的速度前去營(yíng)救，試問(wèn)艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間。思路分析：本題中的自變量是時(shí)間x，有了時(shí)間就有了距離，求艦艇的航向就是當(dāng)艦艇與漁船同時(shí)到達(dá)點(diǎn)B時(shí)艦艇的方位角，其大小為。在中，可求，其它三邊可表示或已知，用余弦定理列出一個(gè)方程即可求出x。求既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，通常用正弦定理運(yùn)算量稍小些。答案：解：設(shè)艦艇在B處靠近漁船所用的時(shí)間為艦艇x h，則AB=21x，BC=9x，又AC=10， 在中，由余

4、弦定理得，解得h，（負(fù)值已舍）。 由正弦定理得，又為銳角，故方位角約為。答：艦艇應(yīng)按照方位角的航向前進(jìn)，靠近漁船所用的時(shí)間為。 例題2 （江蘇高考）在銳角三角形ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則= 。 思路分析：本題已知銳角三角形邊角的一個(gè)等量關(guān)系，求關(guān)于三個(gè)角的正切的代數(shù)式的值?；舅悸肥腔厼榻?，為此可以先用正弦定理，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于三個(gè)角A、B、C的等量關(guān)系式，然后向所求的目標(biāo)變形，若本思路受挫，可以考慮化角為邊進(jìn)行類似變形。另一思路是將已知條件與所求目標(biāo)同時(shí)變形，然后求解。第三個(gè)思路是小題小做，考慮特殊情況求出答案。答案：方法一：， 方法二：考慮已知條件和所求結(jié)論對(duì)于角A、B和邊a、b具有輪換性。當(dāng)A=B或a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有：，故= 4。技巧點(diǎn)撥：解三角形的正余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角的互化，“化邊為角”還是“化角為邊”要因題而易，有時(shí)甚至是在思路碰壁后的重新調(diào)整，用特殊值法可以簡(jiǎn)化思考，但取特殊值或特殊情況應(yīng)合理簡(jiǎn)便?！揪C合拓展】 （新課標(biāo)高考改編）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則角A的大小為_(kāi). 答案：解法一：由正弦定理得，故由余弦定理得，因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，故。解法二：將a=2代入到已知條件中，得，由正弦定理得，由余弦定理得，故。技巧點(diǎn)撥：當(dāng)a， b， c在等式兩邊且次數(shù)相同時(shí)，可以“化邊為角”，同樣地，當(dāng)sinA， sinB， sin