化二次型為規(guī)范型（課堂PPT）

1、3個平方項(xiàng)2正，1負(fù)引例：對二次形),(321xxxf212xx312xx326xx若做線性變換：33321232113yxyyyxyyyx可得標(biāo)準(zhǔn)型：232221321622),(yyyyyyg若做線性變換：333212321121321zxzzzxzzzx可得標(biāo)準(zhǔn)型：2322213216212),(zzzzzzg不唯一對二次型),(21nxxxfAXX若r(A)=r ,做線性變換非奇異 X=CY,得標(biāo)準(zhǔn)型nyyyg,21) 0(2222211jkkiiiiiiiyyyYY 2222211nnyyy因?yàn)锳 r ()=r(A)=rr=k標(biāo)準(zhǔn)型中含非零平方項(xiàng)的個數(shù)由r(A)確定即：對二次型),(

2、21nxxxfAXX設(shè)r(A)=r ,則存在線性變換非奇異 X=CY,化為標(biāo)準(zhǔn)型將),(21nxxxf)0(,222221121irrnyyyyyyg02222)()(11111jprpprpppppiiiiiiiiiyyyy再做非奇異線性變換：niririiiizyzyzdyzdynrrr1111111標(biāo)準(zhǔn)型：的又一),(21nxxxf221221prpppzzzz唯一再做非奇異線性變換: 例如:對),(321xxxf212xx312xx326xx做非奇異線性變換33321232113yxyyyxyyyx可得標(biāo)準(zhǔn)型:的又一標(biāo)準(zhǔn)型：得),(321xxxf232221321622),(yyyyy

3、yg233211612121zyzyzy232221zzz221221prpppzzzz的二次型稱為規(guī)范型定義5.5 形如規(guī)范型定理5.5 任一個二次型，經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆瞧?異線性變換，總可以化為規(guī)范型， 且規(guī)范型是唯一的。證明略會求 【例1】求二次型 為規(guī)范型32212221321442),(xxxxxxxxxf解：二次型矩陣為020212022AA的特征方程為20212022EA241=0解得A的特征值為：4, , 1212,3直接展開的標(biāo)準(zhǔn)型為：于是),(321xxxf23222124yyy的標(biāo)準(zhǔn)型為：),(321xxxf23222124yyy作非奇異線性變換：3321zy 11zy 2221zy 的規(guī)范型：則得),(321xxxf232221zzz定義5.6 在二次型 的規(guī)范型中， 正平方項(xiàng)的個數(shù)p稱為 的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個數(shù)r-p 稱為 的負(fù)慣性指數(shù)； 它們的差p-(r-p)=2p-r 稱為 的符號差。),(21nxxxf),(21nxxxf),(21nxxxf),(21nxxxf例如：),(321xxxf212xx3