Lebesgue積分思想簡介

1、Lebesgue積分思想簡介數(shù)學與信息工程系 數(shù)學與應用數(shù)學 2012級 吳茂嵐指導老師 柳彥軍摘要：實變函數(shù)論的創(chuàng)立是為了克服牛頓和萊布尼茨所建立的微積分學存在的缺點，黎曼積分的積分對象是連續(xù)函數(shù)和“基本連續(xù)”函數(shù)。而許多現(xiàn)實問題中遇到的函數(shù)并不具有這種特性。另外，黎曼積分在處理積分與極限交換次序、重積分交換次序等問題時對條件的要求過于苛刻，一般來說是不容易被滿足的，這就使得黎曼積分在解決具體問題時受到很大的限制。雖然黎曼積分在微積分學領域的重大貢獻是無可替代的，但擺脫各種條件的限制，使得運算變得靈活是數(shù)學家們一直以來追求的目標。關鍵詞：Riemann積分，實變函數(shù)，微積分Abstract：

2、 The foundation of the real variable function theory is to overcome the shortcomings of the Newton and Leibniz's calculus. The integral object of the Riemann integral is the continuous function and the "basic continuous" function. And many of the real problems encountered in the functi

3、on does not have this feature. In addition, the Riemann integral in the process of integral and limit exchange order, the weight of the exchange sequence and other issues of the requirements of the conditions are too harsh, generally speaking, is not easy to be satisfied, which makes the Riemann poi

4、nts in solving the specific problem is very limited. Although the Riemann integral calculus in the field of major contribution is irreplaceable, but get rid of the limitation of various conditions, making the operation more flexible is mathematicians have been pursuing the goal of.Key word: Riemann

5、integral, Real variable function,calculus一、 引言 Lebesgue在發(fā)表于1902年的經典論文積分、長度與面積與隨后出版的兩部論著論三角函數(shù)和積分與原函數(shù)的研究中第一次闡述了測度理論與積分思想。其后十年，一批數(shù)學家廣泛發(fā)展了Lebesgue的工作。包括Lebesgue本人、奧地利數(shù)學家Radon、美國數(shù)學家Nikodym等人相繼推廣了Lebesgue積分與Lebesgue測度理論，一般測度空間中的積分理論是由法國數(shù)學家費雷歇在1915年前后完成的。到20世紀30年代，Lebesgue積分理論已經很成熟，并在概率論、普理論、泛函分析等學科中獲得廣泛應用

6、。現(xiàn)代積分理論的基本框架至20世紀50年代已大體形成。二、 Riemann積分有缺陷，引入Lebesgue積分2.1Riemann積分回顧設 f(x)是在a,b上的有界函數(shù)，取分割T=若有，則稱f(x)在區(qū)間a,b上Riemann積分可積，積分寫作 然后我們看最簡單的Dirichlet函數(shù)：，容易證明這個函數(shù)并不是Riemann可積的，由此我們看到了Riemann積分的要求太苛刻，至于一個簡單的函數(shù)都未必可積。在式中我們不難發(fā)現(xiàn)，要求Riemann可積，必須該極限與的選取無關，這要求f(x)在區(qū)間上改變很小，也就是函數(shù)不能“太過間斷”，而滿足這個條件的比較是少數(shù)，而這也是Riemann積分定義

7、缺陷所在。1 我們知道，積分與分割、介點集的取法無關。先看Riemann積分的定義： ，割于是，它的幾何意義（非負函數(shù)）：函數(shù)圖像下發(fā)圖形的面積。12.2 Riemann積分的充要條件要使f(x)在a,b上Riemann可積,即 例：Dirichlet函數(shù)， ，D（x）不是Riemann可積。2.3 Riemann積分的缺陷 a）微積分基本定理若F(x)在a,b上連續(xù)，則。1881年，Voltema作一可微函數(shù)，導函數(shù)有界，但是不Riemann可積。1980年，Cohn證明：若則。b）積分與極限交換次序數(shù)列的極限與積分交換次序是在數(shù)學分析中經常碰到的問題。然而, 交換次序的條件是需要函數(shù)列一致

8、收斂, 這是不易滿足的 也不易驗證的。例如，收斂于，但不是一致收斂的?？墒牵?。另一方面，即使是可積的，漸升的函數(shù)列，也不能保證其極限函數(shù)的可積性。如，設是0,1中的有理數(shù)的全體，作函數(shù)列顯然有；有i個間斷點。由于只收斂，而不滿足一致收斂，所以Riemann不可積。這里，每個皆是0,1上的Riemann可積函數(shù)，且積分值為0，故。但是函數(shù)f(x)（Dirichlet函數(shù)）不是Riemann可積的。因此，不能在積分號取下極限了。再說，設是a,b上的可積函數(shù)列，且以及，則必有，然而f(x)的積分可能是不存在的，也就是說，上述積分的極限并不依賴與本身，而依賴于f(x)。既然如此，定義積分為也無妨，這說

9、明Riemann積分的定義太窄。62.4 勒貝格積分的引入 在黎曼積分的范圍內對具有無窮多次激烈震蕩的函數(shù)無法進行研究，于是勒貝格提出不分割函數(shù)的定義區(qū)間，而是從分割函數(shù)的值域入手定義積分，引入勒貝格積分的方式通常有三種：方式1：設是定義在中可測集E上的有界函數(shù)。作可測集E的任意可測劃分： ,.令： , 對應分劃D的小和與大和分別為 與 討論其小和的上確界與大和的下確界是否相等，若二者相等，則稱在可測集E上勒貝格可積，并稱二者的共同值為在E上的勒貝格積分。方式2：設是定義在中可測集E上的有界函數(shù)，即。將任意分成n個小區(qū)間： 在每個小區(qū)間上任取一點 ，關于分劃D的勒貝格和為 其中 記對的任意分劃

10、D及任意的，討論極限 是否存在。若極限存在，則稱在可測集E上勒貝格可積，并稱該極限值為在E上的勒貝格積分。方式3：設是定義在中可測集E上的非負可測函數(shù)，令 定義在E上的勒貝格積分為，其中非負簡單函數(shù)，在E上的積分，然后利用非負可測函數(shù)的勒貝格積分定義一般可測函數(shù)的勒貝格積分。272.5 Lebesgue積分的性質（1） 設，則對于E上的任何實函數(shù)都有（2） 設在E上的積分確定，則，即在E上a.e.有限。（3） 設在E上的積分確定，則在E上的任一可測子集A上的積分也是確定的。又如，A與B皆可測且，則 （4） 設在E上的積分確定，并且，則在E上的積分也是確定的，并且（5） 設和在E上非負可測，則

11、（6） 設和在E上積分確定，并且，則 （7） 設和在E上可積，c為一實數(shù)，則和在E上也是可積的，并且 （8） 當在E上的積分值確定時，在E上可積的充分必要條件是在E上可積（勒貝格積分的絕對可積性）。（9） 當在E上非負可積時，若，則（10） （積分的絕對連續(xù)性）設在E上可積且，則，即，有，使得當且時有 注：（1）關于黎曼積分，性質（8）是不成立的。對于正常黎曼積分來說，雖然當在某區(qū)域上可積時，在上也可積，但是當在上可積時，在上卻不一定是可積的。對于廣義黎曼積分來說，當在某區(qū)域上可積時，在上不一定可積。 （2）關于非正常黎曼積分，性質（10）不成立。132.6 一般可測函數(shù)的勒貝格積分2.6.1

12、 非負函數(shù)的勒貝格積分 定義1： 設為定義在可測集上的非負可測函數(shù)。若存在測度有限的單調遞增可測集列，滿足，且存在定義在E上的單調遞增有界可測函數(shù)列，滿足，則稱（其為有限值或）為在E上的勒貝格積分，記為，即 其中集合E稱為積分集合，函數(shù)稱為被積函數(shù)，若為有限值，則稱在E上勒貝格可積。注意：（1）“存在測度有限的單調遞增可測集列，且滿足”的要求不難做到，例如取即可；（2） “存在單調遞增的有界可測函數(shù)列，且滿足”的條件也不難做到，例如取 即可，其中稱為的截斷函數(shù)；（3） 因為，且 ，由有界函數(shù)在測度有限集合上的L積分的性質，知： 即為單調遞增數(shù)列，于是存在（其為有限值或）；（4） 為方便起見，通

13、常和分別為（1）與（2）中的取法。482.6.2 一般函數(shù)的勒貝格積分任意函數(shù)均可以表示為其正部函數(shù)與負部函數(shù)兩個非負函數(shù)之差，且在E上可測當且僅當與均在E上可測。因此，當在E上可測時，由定義1，與均存在。于是可以定義一般函數(shù)的勒貝格積分如下：定義2： 設為定義在可測集上的可測函數(shù)。若與至少有一個為有限值，則稱 為在E上的勒貝格積分（其為有限值或），此時也稱在E上有勒貝格積分，其中集合E稱為積分集合，函數(shù)稱為被積函數(shù)。若與均為有限值，則為有限值，此時稱在E上勒貝格可積。注意：由L積分的定義不難得到，若或，則在E上一定L可積，且.482.7 勒貝格積分的特點勒貝格積分的特點要通過與黎曼積分相比較

14、才能顯現(xiàn)出來。黎曼積分是借助一個定義在有限區(qū)間上的有界函數(shù)，通過分割區(qū)間，得到若干個小區(qū)間，作黎曼和式，在分割與取法任意的情形，通過取極限而得到的。黎曼積分適用的函數(shù)具有較大的局限性。勒貝格積分的思想不是將軸上很靠近的數(shù)劃入同一個，而是將函數(shù)值很相近的所對應的值劃入同一個，即設在上，若，分割為，令。這樣，雖然可以很小，但同一中相異兩點卻可以相差很遠。所以，勒貝格積分中的不一定是區(qū)間，可以是若干個區(qū)間之和，也可以是更一般的集。從而，在作和式時，的長度自然是勒貝格測度。為此，要求是可測函數(shù)。勒貝格積分是在勒貝格測度理論的基礎上建立起來的，利用測度理論可以統(tǒng)一處理函數(shù)有界與無界的情形。函數(shù)可以定義在

15、更一般的點集上，而且有更廣泛有效的收斂定理，從而擴大了可積函數(shù)類，降低了逐項積分的條件，降低了交換積分順序的條件。53、 總結 勒貝格積分是在勒貝格測度理論的基礎上建立起來的，與黎曼積分相比較，它有著許多的優(yōu)勢。例如，它不僅可以統(tǒng)一處理有界函數(shù)與無界函數(shù)的情形，不用像黎曼積分那樣，通過建立廣義積分來處理無界函數(shù)的積分問題，而且還可以允許被積函數(shù)定義在更一般的點集上，這樣它就大大擴充了可積函數(shù)的范圍，特別是它提出了比黎曼積分更加廣泛而有用的收斂定理，成功地解決了上述的三個代表問題，掃除了阻擋分析學進步的障礙。勒貝格積分不僅克服了黎曼積分的弱點，擺脫了黎曼積分的困境，而且還提供了一些寶貴的數(shù)學思想和方法，為許多數(shù)學分支的發(fā)展奠定了基礎。今天它已成為了分析數(shù)學、隨機數(shù)學中不可缺少的工具。3【參考文獻】1程其襄等編寫.實變函數(shù)與泛函分析