94高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第六版本

1、習(xí)題9-4 1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax內(nèi)部的那部分面積. 解 位于柱面內(nèi)的部分球面有兩塊, 其面積是相同的. 由曲面方程z=得, ,于是 . 2. 求錐面z=被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面積. 解 由z=和z2=2x兩式消z得x2+y2=2x, 于是所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為x2+y22x. 由曲面方程得, ,于是 . 3. 求底面半徑相同的兩個(gè)直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面積. 解 設(shè)A1為曲面相應(yīng)于區(qū)域D: x2+y2R2上的面積. 則所求表面積為A=4A1. . 4. 設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D如下, 求均勻薄片的質(zhì)心

2、: (1)D由, x=x0, y=0所圍成; 解 令密度為m=1. 因?yàn)閰^(qū)域D可表示為, 所以 , , , 所求質(zhì)心為 (2)D是半橢圓形閉區(qū)域; 解 令密度為m=1. 因?yàn)殚]區(qū)域D對稱于y軸, 所以. (橢圓的面積), , 所求質(zhì)心為. (3)D是介于兩個(gè)圓r=acosq, r=bcosq(0aa0), z=0; 解 由對稱性可知, 重心在z軸上, 故. (兩個(gè)半球體體積的差), , 所求立體的質(zhì)心為. (3)z=x2+y2, x+y=a, x=0, y=0, z=0. 解 , , , , 所以立體的重心為. 8. 設(shè)球體占有閉區(qū)域W=(x, y, z)|x2+y2+z22Rz, 它在內(nèi)部各

3、點(diǎn)的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方, 試求這球體的質(zhì)心. 解 球體密度為r=x2+y2+z2. 由對稱性可知質(zhì)心在z軸上, 即. 在球面坐標(biāo)下W可表示為: , 于是 , , 故球體的質(zhì)心為. 9. 設(shè)均勻薄片(面密度為常數(shù)1)所占閉區(qū)域D如下, 求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: (1), 求Iy; 解 積分區(qū)域D可表示為 , 于是 . 提示: . (2)D由拋物線與直線x=2所圍成, 求Ix和Iy; 解 積分區(qū)域可表示為 , 于是 , . (3)D為矩形閉區(qū)域(x, y)|0xa, 0yb, 求Ix和Iy. 解 , . 10. 已知均勻矩形板(面密度為常量m)的長和寬分別為b和h, 計(jì)算此矩形板對

4、于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 取形心為原點(diǎn), 取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸, 建立坐標(biāo)系. , . 11. 一均勻物體(密度r為常量)占有的閉區(qū)域W由曲面z=x2+y2和平面z=0, |x|=a, |y|=a所圍成, (1)求物體的體積; 解 由對稱可知 . (2)求物體的質(zhì)心; 解 由對稱性知. . (3)求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 . 12. 求半徑為a、高為h的均勻圓柱體對于過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(設(shè)密度r=1). 解 建立坐標(biāo)系, 使圓柱體的底面在xOy面上, z軸通過圓柱體的軸心. 用柱面坐標(biāo)計(jì)算. . 13. 設(shè)面密度為常量m的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片占有閉區(qū)域, 求它對位于z軸上點(diǎn)M0(0, 0, a)(a0)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F . 解 引力F=(Fx, Fy, Fz ), 由對稱性, Fy=0, 而 , . 14. 設(shè)均勻柱體密度為r, 占有閉區(qū)域W=(x, y, z)|x2+y2R2, 0zh, 求它對于位于點(diǎn)M