SARS 數(shù)學建模

1、問題重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS 的傳播建立數(shù)學模型，具體要求如下：（1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性(假設(shè)的合理，分析的合理，結(jié)果的合理)和實用性（對于實際應用上的作用）。（2）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真

2、正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。（3）收集SARS對經(jīng)濟某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應的數(shù)學模型并進行預測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。（4）給當?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛模f明建立傳染病數(shù)學模型的重要性。 第一問早起模型的評析一、 早期模型的重述 模型的假設(shè)：根據(jù)附件一中的模型，我們可以得出此模型具有如下假設(shè)1) 不考慮“非典”的潛伏期，感染非典后立即具有傳染性；2) 當感染者有效接觸健康者時，使健康者被感染；3) 整個“非典”發(fā)病期

3、間政府不采取任何預防措施和隔離治療措施；4) 忽略“非典病人的個體差異”，假設(shè)傳染期為常數(shù)； 早期模型建立：假定初始時刻的病例數(shù)為N0，平均每位病人每天可傳染K個人（K一般為小數(shù)），平均每個病人可以直接感染他人的時間為L天。則在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長隨時間t(單位天)的關(guān)系是：N（t）= N0 (1+K)t 如果不考慮對傳染期的限制，則病例數(shù)將按照指數(shù)規(guī)律增長。考慮傳染期限L的作用后，變化將顯著偏離指數(shù)律，增長速度會放慢。我們采用半模擬循環(huán)計算的辦法，把到達L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉。為了簡單起見，從開始至到高峰期間均采用同樣的K值（從擬合這一階段的數(shù)據(jù)定出）。到達高峰期后，在

4、10天的范圍內(nèi)逐步調(diào)整K值到比較小，然后保持不變，擬合其后在控制階段的全部數(shù)據(jù)。二、 早起模型的合理性和實用性的簡評A. 早期模型的優(yōu)點：1. 模型簡明本模型主要有三個參數(shù)N0 、K、 L，且都具有實際意義。L可理解為平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期限后失去傳染能力，可能原因是被隔離、病愈或死去等等。K表示某種社會條件下平均每位病人每天傳播的人數(shù)（但并非文中所述的一個病人的感染他人的平均概率）。整個模型抓住了SARS傳播過程中兩個主要特征：傳染期L和傳染率K，反映了SARS的傳播過程。使人很容易理解該模型。2. 模型靈活通過調(diào)整N0 、K、 L值，就可以描述不同地區(qū)，不同

5、環(huán)境下SARS的初期傳播規(guī)律3. 預測準確通過模型對北京、廣東與香港的疫情進行了分析，得到的預測值與實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)較接近?？纱笾骂A測出疫情的爆發(fā)點和發(fā)展趨勢。B. 早期模型的缺點：1. 對于如何確定對于三個參數(shù)N0 、K、 L，未給出一般的原則或算法，只能通過對于已發(fā)病地區(qū)的數(shù)據(jù)進行擬合得出。按照作者的表述，K值是以病發(fā)高峰為界取各段的平均值作為傳染概率，雖然簡化了運算，但是在現(xiàn)實情況下，不同地區(qū)的K值是不同的。在實際應用中，如果沒有一定量的數(shù)據(jù)，是無法得出K值的。在我們對該模型進行擬合事發(fā)現(xiàn)，對于N0 、K、 L作者未給出調(diào)整的標準和相關(guān)理論，所以我們很難重復該求解過程。2. 當需要對某一地區(qū)

6、進行疫情分析時，還需考慮到該地區(qū)相對于北京、廣州、香港這類人口密集，人員流動性大的城市之間的差異。地域因素會造成不同地區(qū)的K值不同（如人口密度和人口流動大的城市若爆發(fā)傳染病，初期的K值會比人口密度和人口流動小的城市大，等等），而很難找到地域因素幾乎相同的兩城市。所以此作法可能導致預測結(jié)果相差較大。綜上所述，該模型能較好的反映非典傳染的特征性，具有一定的實際意義。但是，參數(shù)的取值包含有一定的主觀因素，且需要大量的數(shù)據(jù)進行擬合，且未給出調(diào)整的標準和相關(guān)理論，在實際應用中實用價值不大。第二問，模型一，模型假設(shè)1， 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，既不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者和

7、已感染者兩類，時刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記為s（t）和i（t）。2， 每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)k，k稱為日接觸率。當病人與健康者有效接觸時，使健康者受感染為病人。問題分析 根據(jù)假設(shè)，可知，人群分為兩類，一是健康者，二是病人，只要一類人群隨時間的變化規(guī)律知道，這另一類人群也可馬上求解。由于傳染病過程中通常取病人為研究對象，所以決定求解病人隨時間的變化規(guī)律。模型求解 對于t時刻，病人的增加率為Nisk，即 （1）又因為 S（t）+i（t）=1 （2）再令初始時刻的病人比例為i0，這 （3）顯然此為logistic模型，它的解為 （4）參數(shù)的確定 通過對北京的累計病例數(shù)用sps

8、s進行曲線擬合，結(jié)果如下模型匯總和參數(shù)估計值因變量:累計病例數(shù)方程模型匯總參數(shù)估計值R 方Fdf1df2Sig.常數(shù)b1Logistic.926792.908163.000.001.865自變量為 時間。可得擬合的函數(shù)關(guān)系式為，y=N*i通過取一系列t來估計出相應的k值，結(jié)果如下 時間2030405060k值大小0.19190.17630.16850.16380.1607由圖像可知，當t較大時，曲線擬合的數(shù)據(jù)與實際測量值越接近，所以就取t=60時所對應的k值，即0.1607。此值可以近似看做當政府沒有采取措施，即傳染病的自然傳染能力大小。但同時根據(jù)附件1的求解方法，我們計算了4月20日到4月2

9、9日期間每日的k值大小，再求平均，得=0.169346（消息內(nèi)容請看附件1）。對于k和之間的差異，這是由于模型1并未考慮到政府控制前和控制后k值將改變，且k1>k2。所以由于只考慮控制前，所以比k要略大，我們考慮傳染病的每天平均自然傳染人數(shù)時，取值為=0.169346。但由于此模型未考慮到病人會被治愈而成為健康者，所以在模型1的基礎(chǔ)上進行改進，建立了模型2。模型2 在模型1的假設(shè)條件下增加的條件為，3， 每天被治愈的病人數(shù)或死于該傳染病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)p。病人治愈后由于獲得了免疫能力，同時也由于心理作用，更加保護自己，所以可以假設(shè)治愈后再次感染的幾率為0，且該種人群在總?cè)巳褐兴?/p>

10、占有的比例為u（t）。不難看出，考慮到假設(shè)3，模型1中的（1）式應修改為 （5） 而且對于健康者，其增加率為 （6） 對于移出者而言，其增加率為 （7） 由于人群只由健康者，病人和移出者組成，所以 S(t)+i(t)+u(t)=1 (8) 模型求解 查資料，得到2003年北京市市區(qū)總?cè)丝跀?shù)目為698.8萬人從而可以得到初始條件i0= 339/（698.8*10(-4)）=4.851*10(-5 ) ，s0= 0.99995149(取4月20號為初始條件) 同時根據(jù)附件2中的死亡累計和治愈累計，求得每日的移出率p，在求平均值得到=0.05121。 在模型一中求得=0.169346；將上述參數(shù)代入

11、（5）式和（6）式，求得數(shù)值解和繪制的圖像（詳細內(nèi)容見附件1）由圖像可得i（t）隨時間的推移先逐漸變大，之后變小，趨向于0，s(t)隨時間的推移而逐漸減小，根據(jù)常識，一種傳染病中的病人比例最終是為0，由此模型2還是比較符合客觀事實的，但從圖像中大致可以判斷i（t）=0時大約要經(jīng)過225多天。這與實際過程中大約經(jīng)過100多天北京的sars就平息存在較大誤差，仔細分析，我們發(fā)現(xiàn)該模型忽略了sars的潛伏期，實際上健康人與sars患者接觸后雖然被感染了，但還處于潛伏期，沒有傳染能力。所以將模型2進行改進，得到模型3。模型3模型假設(shè)1， 將人群分為四類，分別為健康人群，能感染的sars病人，sars潛

12、伏者和移出者（包括sars的死亡者和治愈者），他們在人群中的比重分別為 s(t),i(t),w(t),u(t);其中已確診病人和sars潛伏者統(tǒng)稱為sars病毒攜帶者，記 為x1（t）,表示其t時刻的人數(shù)，人口總?cè)藬?shù)為N。 2 ，每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)k，k稱為日接觸率。當病人與健康者有效接觸時，使健康者受感染為病人。 3，sars潛伏者無傳染能力，但最終會成為病人，具有傳染能力。 問題分析 該模型比起模型2更為復雜，在該模型中還必須將sars病毒攜帶者分為兩類，顯然增加了計算難度，在此中還應該考慮潛伏周期T。模型求解 在t時刻sars病毒攜帶者x1(t)=Ni(t)+Nw(t)

13、 (9)sars病毒攜帶者的增長率為 （10） 健康人的增長率為 （11） 移出者的增長率為 （12）潛伏者的增長率為 （13）確診病人的增長率為 （14） 除此之外，還有一條公式，為 S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1 (15)由（9）到（16）式聯(lián)立，可得到 （16） 將（14）和（17）式聯(lián)立，可得 （17） 將t-T用t代替，可得 （18） 在對（16）式兩邊對t進行求導，可得 （19）結(jié)合（11），（12），（18）可求得 （20）最終對（11），（18），（20）聯(lián)立的方程組進行數(shù)值求解，可得圖像如下從圖像中我們可以觀察到在300多天時i（t）會接近于0，這比模型2還要久，

14、因此，我們還把政府的干預考慮進來，也就得到了模型4。由于時間限制，模型4中考慮的因素更多，所以一時沒能解決，也就導致了第二問實際上還不能完全解決，但是我們已經(jīng)有了思路，即再引入一類人群，就是隔離人群，通過引入該人群，實際上是改變了病人的有效接觸人數(shù)k，我們根據(jù)北京4月29日之后的實際數(shù)據(jù)，求得每日的k值，再求平均，得=0.019413；我們想采用分段函數(shù)，即確定一個時刻t，為值改變的時刻，在這個時刻前與后都可以適用模型3。只是在考慮t時刻后，它的初始條件為4月29日的數(shù)據(jù)。通過t的改變，可以解決第二問中政府早五天調(diào)控和晚五天調(diào)控的差別。第三問附件3：北京市接待海外旅游人數(shù)（單位：萬人）年1月2

15、月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19979.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.619989.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9199910.112.917.7212120.421.925.829.329.823.616.5200011.42619.625.927.624.32327.827.328.532.818.5200111.526.420.426.128.92825.230.828.728.122.220.7200213.729.723.128.92927.426

16、32.231.432.629.222.9200315.417.123.511.61.782.618.816.2表格1- 1建立灰色預測模型GM（1,1）由附件3，建立19972002年的矩陣,計算每年的年平均值，記為,求得級比（i）=/(i) 對=,=(i=2,36)，記,求均值數(shù)列 (k=2,36)，即=().于是建立灰色微分方程為(k)+a=b1- 1相應的白化微分方程為1- 2記u=,=,B=,則由最小二乘法，求得達到最小值的=.于是求解方程1- 2，得則1- 3由1- 3式可以得到2003年的平均值為x，則觀測2004年的總產(chǎn)值為X=12·x.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，可以統(tǒng)計計算出2003年第i個月的指標值占全年總值的比例為u，即1- 4則,于是可得2003年每一個月的指標值為Y=X·u模型的