6示范132球的體積和表面積

1、 球的體積和表面積整體設(shè)計教學(xué)分析 本節(jié)教材直接給出了球的表面積和體積公式，并用兩個例題來說明其應(yīng)用.值得注意的是教學(xué)的重點放在球與其他幾何體的組合體的有關(guān)計算上，這是高考的重點.三維目標(biāo) 掌握球的表面積和體積公式，并能應(yīng)用其解決有關(guān)問題，提高學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.重點難點 教學(xué)重點：球的表面積和體積公式的應(yīng)用. 教學(xué)難點：關(guān)于球的組合體的計算.課時安排 約1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.位于香港棧橋回瀾閣西部、西陵峽路東端海濱，有一座新異奇秀的半球形建筑.由香港好世界飲食服務(wù)（中國）有限公司等三方合資興建，1996年9月正式開業(yè)，既是島城飲食服務(wù)業(yè)的“特一級”店，又

2、是新增加的一處景點.酒店的總建筑面積11 380平方米，現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學(xué)材料以更好地保護(hù)酒店，那么，需要多少面積的這種化學(xué)材料呢？思路2.球既沒有底面，也無法像柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？球的大小與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來表示球的體積和面積？教師引出課題：球的體積和表面積.推進(jìn)新課新知探究 球的半徑為R，它的體積和表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù).事實上，如果球的半徑為R，那么S=4R2,V=.注意：球的體積和表面積公式的證明以后證明.應(yīng)用示例思路1例1 如圖1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：圖1（

3、1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.活動：學(xué)生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征，并展開空間想象.教師可以使用信息技術(shù)幫助學(xué)生讀懂圖形.證明：（1）設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有V球=，V圓柱=R2·2R=2R3，所以V球=.（2）因為S球=4R2，S圓柱側(cè)=2R·2R=4R2，所以S球=S圓柱側(cè).點評：本題主要考查有關(guān)球的組合體的表面積和體積的計算.解決此類問題的關(guān)鍵是明確組合體的結(jié)構(gòu)特征.變式訓(xùn)練1.如圖2(1)所示，表面積為324的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積.圖2解：設(shè)球的半徑為R，正四棱柱底面邊長為a,則

4、軸截面如圖2（2），所以AA=14,AC=,又4R2=324,R=9.AC=.a=8.S表=64×2+32×14=576,即這個正四棱柱的表面積為576.2有一種空心鋼球，質(zhì)量為142 g,測得外徑（直徑）等于5 cm，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9 g/cm3，精確到0.1 cm）.解：設(shè)空心球內(nèi)徑（直徑）為2x cm,則鋼球質(zhì)量為7.9·=142,x3=11.3,x2.24,直徑2x4.5.答：空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5 cm.例2 如圖3所示，表示一個用鮮花做成的花柱，它的下面是一個直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體，上面是一個半球形體.如果每平方米大約需要鮮

5、花150朵，那么裝飾這個花柱大約需要多少朵鮮花（取3.1）?圖3活動：學(xué)生思考和討論如何計算鮮花的朵數(shù).鮮花的朵數(shù)等于此幾何體的表面積（不含下底面）與每朵鮮花占用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積再加上半球的表面積.解：圓柱形物體的側(cè)面面積S13.1×1×3=9.3(m2),半球形物體的表面積為S22×3.1×()21.6(m2),所以S1+S29.3+1.6=10.9(m2).10.9×1501 635(朵).答：裝飾這個花柱大約需要1 635朵鮮花.點評：本題主要考查球和圓柱的組合體的應(yīng)用，以及解決實際問題的能力.變式訓(xùn)練 有一個軸截面

6、為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個半徑為R的內(nèi)切球，然后將容器注滿水，現(xiàn)把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺體，問容器中水的高度為多少？分析：轉(zhuǎn)化為求水的體積.畫出軸截面，充分利用軸截面中的直角三角形來解決.解：作出圓錐和球的軸截面圖如圖4所示，圖4圓錐底面半徑r=,圓錐母線l=2r=，圓錐高為h=3R，V水=·3R2·3R，球取出后，水形成一個圓臺，下底面半徑r=,設(shè)上底面半徑為r，則高h(yuǎn)=(r-r)tan60°=,(r2+r2+rr),5R3=,5R3=，解得r=,h=()R.答：容器中水的高度為()R.思路2例1 （2006廣東高考

7、，12）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_.活動：學(xué)生思考長方體和球的結(jié)構(gòu)特征.教師可以借助于信息技術(shù)畫出圖形.分析：畫出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對角線，所以球的半徑R=，則該球的表面積為S=4R2=27.答案：27點評：本題主要考查簡單的組合體和球的表面積.球的表面積和體積都是半徑R的函數(shù).對于和球有關(guān)的問題，通?？梢栽谳S截面中建立關(guān)系.畫出軸截面是正確解題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1.（2006全國高考卷，理7）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ ）A.16 B.20 C.24 D.32分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底

8、面邊長為2.畫出球的軸截面可得，該正四棱柱的對角線即為球的直徑，所以，球的半徑為R=，所以球的表面積為S=4R2=24.答案：C2.（2005湖南數(shù)學(xué)競賽，13）一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積為_.分析：把正四面體補(bǔ)成正方體的內(nèi)接正四面體，此時正方體的棱長為，于是球的半徑為，V=.答案：3.（2007天津高考，理12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為_.分析：長方體的對角線為，則球的半徑為,則球的表面積為4()2=14.答案：14例2 圖5是一個底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯

9、，水中放著一個底面直徑為6 cm，高為20 cm的一個圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？圖5活動：學(xué)生思考杯里的水將下降的原因，通過交流和討論得出解題思路.因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度.解：因為圓錐形鉛錘的體積為×20=60（cm3），設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為=100x（ cm3）.所以有60=100x，解此方程得x=0.6（ cm）.答：杯里的水下降了0.6 cm.點評：本題主要考查幾

10、何體的體積問題，以及應(yīng)用體積解決實際問題的能力.明確幾何體的形狀及相應(yīng)的體積公式是解決這類問題的關(guān)鍵.解實際應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.本題的數(shù)學(xué)模型是下降的水的體積等于取出的圓錐形鉛錘的體積.明確其體積公式中的相關(guān)量是列出方程的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1.一個空心鋼球，外直徑為12 cm，壁厚0.2 cm，問它在水中能浮起來嗎？（鋼的密度為7.9 g/cm3）和它一樣尺寸的空心鉛球呢？（鉛的密度為11.4 g/cm3）分析：本題的關(guān)鍵在于如何判斷球浮起和沉沒，因此很自然要先算出空心鋼球的體積，而空心鋼球的體積相當(dāng)于是里、外球的體積之差，根據(jù)球的體積公式很容易得到空心鋼球的體積，從而算出空心鋼球的質(zhì)量，

11、然后把它與水的質(zhì)量相比較即可得出結(jié)論，同理可以判斷鉛球會沉沒.解：空心鋼球的體積為V鋼=×20.88887.45(cm3)，鋼的質(zhì)量為m鋼=87.45×7.9=690.86(g).水的體積為V水=×63=904.32(cm3)，水的質(zhì)量為m水=904.32×1=904.32(g)m鋼.鋼球能浮起來，而鉛球的質(zhì)量為m鉛=87.45×11.4=996.93(g)m水.同樣大小的鉛球會沉沒.答：鋼球能浮起來，同樣大小的鉛球會沉沒.2.（2006全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試，10）底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個半徑為cm的實心鐵球，四個球兩兩相

12、切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水_cm3.分析：設(shè)四個實心鐵球的球心為O1、O2、O3、O4，其中O1、O2為下層兩球的球心，A、B、C、D分別為四個球心在底面的射影，則ABCD是一個邊長為 cm的正方形，所以注水高為(1+) cm.故應(yīng)注水(1+)-4× cm3.答案：（+）知能訓(xùn)練1.三個球的半徑之比為123，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的（ ）A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍分析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設(shè)最小的一個半徑為r，則另兩個為2r、3r，所以各球的表面積分別為4r2、16r2、36r2，（倍

13、）.答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（ ）A. B. C. D.分析：此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由8×知，a=1，則此球的直徑為.答案：A3.（2007北京西城抽樣，文11）若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9，則球的表面積是_.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為=5，所以球的表面積是4×52=100.答案：1004.某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9 g/cm3）,每個鋼球重145 k

14、g,并且外徑等于50 cm,試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的.如果是空心的，請你計算出它的內(nèi)徑（取3.14,結(jié)果精確到1 cm）.解：由于外徑為50 cm的鋼球的質(zhì)量為7.9×516 792(g),街心花園中鋼球的質(zhì)量為145 000 g,而145 000516 792,所以鋼球是空心的.設(shè)球的內(nèi)徑是2x cm，那么球的質(zhì)量為7.9·=145 000,解得x311 240.98,x22.4,2x45(cm).答：鋼球是空心的，其內(nèi)徑約為45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱錐SABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，A

15、C=,則球的體積與三棱錐體積之比是（ ）A. B.2 C.3 D.4分析：由題意得SO=r為三棱錐的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面積是×2r×r=r2,所以三棱錐體積是，又球的體積為，則球的體積與三棱錐體積之比是4.答案：D點評：面積和體積往往涉及空間距離，而新課標(biāo)對空間距離不作要求，因此在高考試題中其難度很低，屬于容易題，2007年新課標(biāo)高考試題就體現(xiàn)了這一點.高考試題中通?？疾榍颉⑷忮F、四棱錐、長方體、正方體等這些簡單幾何體或它們的組合體的面積或體積的計算.我們應(yīng)高度重視這方面的應(yīng)用.拓展提升問題：如圖6，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個

16、面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）圖6A.S1S2 B.S1S2 C.S1=S2 D.S1,S2的大小關(guān)系不能確定探究：如圖7，連OA、OB、OC、OD，則VABEFD=VOABDVOABEVOBEFD+VOADF，VAEFC=VOAFCVOAECVOEFC，又VABEFD=VAEFC，而每個小三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABDSABESBEFD+SADF=SAFCSAECSEFC，又面AEF是公共面，故選C.圖7答案：C課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1.球的表

17、面積和體積.2.計算組合體的體積時，通常將其轉(zhuǎn)化為計算柱、錐、臺、球等常見的幾何體的體積.3.空間幾何體的表面積與體積的規(guī)律總結(jié)：（1）表面積是各個面的面積之和，求多面體表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可從回憶旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系，注意球面不可展開.（2）在體積公式中出現(xiàn)了幾何體的高，其含義是：柱體的高：從柱體的一個底面上任一點向另一個底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為柱體的高；錐體的高：從錐體的頂點向底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為錐體的高；臺體的高：從臺體的一個底面上任一點向另一個底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為臺體的高.注意球沒有高的結(jié)構(gòu)特征.（3）利用側(cè)面