探尋神奇的幻方

1、綜合與實踐探尋神奇的幻方學(xué)生起點分析“探尋神奇的幻方” 是學(xué)生初中階段接觸的第一個“綜合與實踐”，學(xué)生此前已完成“有理數(shù)及其運算”與“整式及其加減”的學(xué)習(xí)，部分學(xué)生對用19填成三階幻方，在方法上有初步的感性認(rèn)識.學(xué)生的認(rèn)知條件決定了它主要立足于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，幫助學(xué)生在問題串引導(dǎo)下綜合運用知識解決問題，對解決問題的方法和經(jīng)驗進(jìn)行反思，從中感受對學(xué)生而言，一種全新的以自主探究為特色的學(xué)習(xí)方式.教學(xué)任務(wù)分析本“綜合與實踐”以探尋三階幻方的本質(zhì)特征為載體，幫助學(xué)生感受圖形的對稱；提高字母表示數(shù)的技能和探索規(guī)律的能力；體驗數(shù)形結(jié)合的思想.教學(xué)時要提供學(xué)生充足的探索數(shù)量關(guān)系并符號化的時間，培養(yǎng)學(xué)

2、生言之有據(jù)的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生正確使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)和交流的能力，同時要鼓勵學(xué)生在探索的過程中多角度嘗試，不要以教師的講解代替學(xué)生的思考、討論；可以組建四人活動小組，每組有一份評分標(biāo)準(zhǔn)（見教師用書），促成學(xué)生以良好的情感態(tài)度主動參與合作交流；引導(dǎo)學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上與同伴進(jìn)行合作交流；教學(xué)目標(biāo)1、 借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律揭示幾種簡單的三階幻方的本質(zhì)特征；體驗有理數(shù)混合運算、字母表示數(shù)、探索規(guī)律與幾種簡單的三階幻方本質(zhì)特征的內(nèi)在聯(lián)系；能夠快速對含有具體數(shù)字的不完整幻方進(jìn)行補充，掌握幻方的形成和相等關(guān)系的一般性描述.2、 在幻方規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、幻方之間關(guān)系的探索過程中，形成初步的研究體驗，獲得一些發(fā)

3、現(xiàn)問題、研究問題的經(jīng)驗，提高能力；3、 借助洛書、楊輝幻方等史料，幫助學(xué)生感受祖國文化的博大精深，增強(qiáng)民族自豪感，激發(fā)他們將民族瑰寶進(jìn)一步發(fā)揚光大的信心和決心，從幻方對稱的圖形、美妙的結(jié)論中，初步感受數(shù)學(xué)的美.教學(xué)過程設(shè)計本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備查閱資料；第二環(huán)節(jié)：結(jié)識幻方；第三環(huán)節(jié)：研究三階幻方；第四環(huán)節(jié)：制作三階幻方；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè).第一環(huán)節(jié) 課前準(zhǔn)備活動內(nèi)容：查閱資料（提前一周布置）查閱相關(guān)資料，了解幻方的有關(guān)知識.活動目的：課前安排學(xué)生通過上網(wǎng)等方式查閱資料，了解幻方的有關(guān)知識，使學(xué)生對幻方有更深入、更全面的了解.也可以布置課前思考題，如：“

4、請將19這九個數(shù)分別填在三行三列的數(shù)表中，使每行每列及對角線上的和都相等.” 第二環(huán)節(jié)：結(jié)識幻方活動內(nèi)容：據(jù)說夏禹治水時，在黃河支流洛水中浮現(xiàn)出一只大烏龜，背上有一個很奇怪的圖形，古人認(rèn)為是一種祥瑞，預(yù)示著洪水將被夏禹王徹底制服.后人稱之為"洛書"，即現(xiàn)在的三階幻方.492357816 洛書 三階幻方三階幻方，具有一個十分“漂亮”的性質(zhì)：每一橫行、每一豎列和對角線上的三個數(shù)的和都相等.不信，我們來驗證一下.13231681110512769114154一般地，一個n行n列的正方形方格中，每一橫行、每一豎列和對角線上的數(shù)字和都相等，這樣的數(shù)字方陣稱為n階幻方. 1、算出右圖中

5、各橫排、豎列及對角線上數(shù)字的和，看看它是不是一個幻方.活動目的：通過簡介有關(guān)幻方古今內(nèi)外的奇聞趣事，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感、激發(fā)對幻方的研究興趣；問題1以思考題的形式，在學(xué)生有一定的課前感悟基礎(chǔ)上簡介幻方引入課題.活動注意事項：幻方的相關(guān)知識可以在學(xué)生已搜集資料的基礎(chǔ)上，共同交流.解決問題1時，教師可以提示學(xué)生：如正方形最核心位置的數(shù)是幾，數(shù)據(jù)是否成對出現(xiàn)？以便為后面的探究做一定的經(jīng)驗積累.第三環(huán)節(jié)：研究三階幻方活動內(nèi)容：在三階幻方中，（1）你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的關(guān)系？橫行、豎行、斜對角的三個數(shù)之和分別是多少？ （2）如果把和相等的每一組數(shù)分別連線，這些連線段會構(gòu)成一個怎樣的圖形？描述你得到的圖形有

6、什么特點？（3）你能否改變上述幻方中數(shù)字的位置，使它們?nèi)匀粷M足你發(fā)現(xiàn)的那些相等關(guān)系嗎?（4）在你構(gòu)造的幻方中，最核心位置是什么？有沒有“成對”的數(shù)？這是一般規(guī)律嗎？你能證明它嗎？（5）你還有什么新的發(fā)現(xiàn)和疑問？活動目的：借助對神農(nóng)幻方的深入觀察分析，體會其中蘊含的圖形上的變換幫助學(xué)生初步認(rèn)識最古老的洛書三階幻方，引發(fā)思索和質(zhì)疑，為后繼的進(jìn)一步探究埋下伏筆.對于問題（4）教師可提示：每行、列、對角線上的數(shù)字和是多少？如果設(shè)中間的數(shù)是x，你能得到哪些關(guān)于x的式子？活動實際效果：學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)洛書三階幻方奇數(shù)與偶數(shù)的設(shè)置，以及和相等的每一組連線段構(gòu)成的圖形均衡對稱，和諧美麗；每行每列以及斜對角的三個

7、數(shù)之和是15；對于問題（4），有的學(xué)生可能借助9個數(shù)的奇偶性解釋自己的想法：因為奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，如果5不在中間位置將無法滿足題意；而且進(jìn)一步當(dāng)把5填入中間格時，如果四個角上填奇數(shù)，則其他四格填偶數(shù)，我們可以看到第一行、第三行、第一列、第三列他們的和都得偶數(shù)，而據(jù)題目所求，三個數(shù)之和為15，15 是奇數(shù)，所以與題意不符（如圖1）.如果四個角上一對奇數(shù)一對偶數(shù)，則剩下的四個格中也應(yīng)該一對奇數(shù)一對偶數(shù)，此時我們可以看到第一行、第三行和都為偶數(shù)，同樣與題意不符（如圖2）.然而如果四個角上都填偶數(shù)，剩下的四個格填奇數(shù)則符合題意（如圖3）.奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)5偶數(shù)奇數(shù)偶

8、數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)5偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)5奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù) 圖1 圖2 圖3對于5為何必須放在中間？也有的同學(xué)借助小學(xué)學(xué)過的簡易方程給出精妙的解釋：如圖4，由于每列的和，以及每條對角線的和都是15，所以兩條對角線的和與第二列的和相加得45，其中x出現(xiàn)3次，第一、三行的數(shù)均各出現(xiàn)一次，故： 3x2×15=3×15，從而x=5第四環(huán)節(jié)：制作三階幻方活動內(nèi)容：上面是用1-9這9個數(shù)字組成的三階幻方，用其他9個數(shù)字能組成3階幻方嗎？1、 將2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜對角的三個數(shù)之和相等?學(xué)生思考：這9個數(shù)與

9、原來9個數(shù)有什么關(guān)系？2、將-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜對角的三個數(shù)之和相等.學(xué)生思考：這9個數(shù)可以由原來9個數(shù)怎么變過來？小組合作共同完成以下問題：3、有人發(fā)現(xiàn)將原來三階幻方中每個數(shù)加1就得到1中的幻方，將每個數(shù)減少3就得到2中的幻方.一般地，原來幻方中的每個數(shù)分別增加任意一個相同的數(shù)，還構(gòu)成一個幻方嗎？說說你的道理.如果每個數(shù)同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)呢？如果先擴(kuò)大相同的倍數(shù)，再同時增加另一個數(shù)呢？在下面自己制作幾個幻方.活動目的：設(shè)置多角度的實踐機(jī)會，對神農(nóng)幻方進(jìn)行拓展變式，幫助學(xué)生在實踐中形成對三階幻方的感性認(rèn)識，對逐步顯現(xiàn)的規(guī)律不斷

10、加深感悟，從而關(guān)注怎樣去表達(dá)方法的本質(zhì).活動注意事項：一定要留給學(xué)生充足的自主探究與合作交流的時間，對問題1，需要的話可多設(shè)置幾個變式練習(xí)，幫助學(xué)生在實踐中對頭腦中的猜想獲得更直觀的感受，對逐步顯現(xiàn)的規(guī)律不斷加深感悟，從而關(guān)注怎樣去表達(dá)方法的本質(zhì).第五環(huán)節(jié)：反思小結(jié)活動內(nèi)容：（1）你是怎樣解決上述問題的？（2）你認(rèn)為怎樣的九個數(shù)可以滿足三階幻方的要求？應(yīng)怎樣把這九個數(shù)填入三階幻方？說說你的道理.（3）你還有什么新的猜想？研究中，你有哪些結(jié)論，有哪些感受，與同伴交流.活動目的：對這些開放性的問題，不同能力層次的學(xué)生可能有不同層次水平的答案.此環(huán)節(jié)幫助學(xué)生借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律把對三階幻方的感性

11、認(rèn)識過渡到理性經(jīng)驗的層面，能感知并解釋幾種簡單三階幻方的數(shù)學(xué)模型，能對相應(yīng)的探究方法反思提煉.活動注意事項：對問題1，學(xué)生的經(jīng)驗可能有：只要連續(xù)的9個數(shù)填入到3×3的方格中即可滿足橫行、豎列、斜對角的和相等；“等差”的九個數(shù)可以填入到3×3的方格中，使得橫行、豎列、斜對角的和相等；9個數(shù)的最中間數(shù)應(yīng)填在中心格；9個數(shù)被分成三組，如果每組數(shù)之間間隔都相同，而且組間也都間隔一樣大則填入到3×3的方格中，也能使得橫行、豎列、斜對角的和相等對于每一條經(jīng)驗都不能止于感受，而要啟發(fā)學(xué)生“說說你的道理”，關(guān)注言之有據(jù)習(xí)慣的養(yǎng)成.問題2要求學(xué)生歸納、類比、由特殊到一般，把感悟到的

12、數(shù)量關(guān)系符號化，借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律揭示幾種被學(xué)生發(fā)現(xiàn)的簡單的三階幻方的本質(zhì)特征，此處要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)特例大膽猜想，然后再綜合運用有理數(shù)混合運算、字母表示數(shù)、探索規(guī)律、返回去驗證猜想的數(shù)學(xué)思維過程.數(shù)學(xué)活動的目的是促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)現(xiàn)，為理性的東西提供直觀素材，在“綜合與實踐”中往往提出一個問題比解決問題更重要，源自學(xué)生中間的問題更能撥動他們彼此的思維之弦，問題3旨在培養(yǎng)學(xué)生的問題意識.第六環(huán)節(jié)：課后作業(yè)：1.閱讀教材讀一讀部分2.自行選取一組數(shù)構(gòu)造一個三階幻方,使得每一行、每一列和對角線上的三數(shù)之和都等于60.*3.用25個數(shù)構(gòu)造一個五階幻方.*4.本課時給出的數(shù)，從小到大排列，好像

13、都是等距的.不“等距”的9個數(shù)能否構(gòu)成三階幻方呢？活動目的：通過正文的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生感知探究方法，這里的讀一讀是為學(xué)生開辟進(jìn)一步探究此問題的方向和路徑.教學(xué)反思：幫助學(xué)生借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律把對三階幻方的感性認(rèn)識過渡到理性經(jīng)驗的層面，能感知并解釋幾種簡單三階幻方的數(shù)學(xué)模型，能對相應(yīng)的探究方法反思提煉；提供學(xué)生充足的探索數(shù)量關(guān)系并符號化的時間，鼓勵學(xué)生在探索的過程中多角度嘗試，不要以教師的講解代替學(xué)生的思考、討論；借助對神農(nóng)幻方的深入觀察分析，體會其中蘊含的圖形上的變換，幫助學(xué)生初步認(rèn)識三階幻方，引發(fā)思索和質(zhì)疑；對神農(nóng)幻方進(jìn)行拓展變式，幫助學(xué)生在實踐中形成對三階幻方的感性認(rèn)識，對逐步顯現(xiàn)的規(guī)律不斷加深感悟，從而關(guān)注怎樣去表達(dá)方法的本質(zhì)，但有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了變式練習(xí)中的九個數(shù)與神農(nóng)幻方中的九個數(shù)之間的關(guān)聯(lián)；有的學(xué)生探索止于對數(shù)量關(guān)系的感知，做不到把所進(jìn)行的探索符號化。面對學(xué)生的這些困難，教師既不能簡單告