構(gòu)件可靠度分析43

1、第第 四四 章章 構(gòu)件可靠度分析（重點(diǎn)）構(gòu)件可靠度分析（重點(diǎn)）內(nèi)容提要內(nèi)容提要4.4 一次二階矩法一次二階矩法 4.4.1 4.4.1 中心點(diǎn)法中心點(diǎn)法 4.4.2 4.4.2 驗(yàn)算點(diǎn)法驗(yàn)算點(diǎn)法 4.4.3 JC4.4.3 JC法法 1 均值一次二階矩法(中心點(diǎn)法)nFORM(First Order Reliability Method)即一次可靠性方法，是目前廣泛采用的確定結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度的基本方法。FORM算法的基本作法是：n首先將結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)z=z(x1,x2,.,xn)展開(kāi)為Tayar級(jí)數(shù)忽略高階項(xiàng)，僅保留線性項(xiàng)；n再利用基本隨機(jī)變量Xj(j=1，2，n）”的一階矩二階矩求取z的均值

2、與均方差，n從而確定結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠指標(biāo)。1 均值一次二階矩法(中心點(diǎn)法)n將功能函數(shù)在Xi的均值點(diǎn)mXi出展開(kāi)為Taylor級(jí)數(shù),僅保留線性項(xiàng)；12(,.,)nZg XXXn設(shè)結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)為11(,.,)()niXinXXiXiigZgXXmmmmn功能函數(shù)Z的均值和方差11/21(,.,);niXiZXXnZXiiggXmmmmZZm例 均值一次二階矩法(中心點(diǎn)法)n試確定截面邊長(zhǎng)為b的軸壓短柱承載能力可靠指標(biāo)。已知：軸壓荷載p=100 kN,mfc=22N/mm2，fc=5 N/mm2，mb=300mm2，b=6 mm2取短柱材料強(qiáng)度f(wàn)c及b為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量，p為常量。2(, )0

3、ccZg f bb fp2449 10 ,21.32 10cXXbbfcggfbmmmm m2444()()1.32 109 10496 10cXXbcbcfcccggZfpbfffbfmmmmm 4498 10 ,45.69 10 .ZZm2.15ZZm1 需要改進(jìn)的中心點(diǎn)法n均值一次二階矩法簡(jiǎn)單使用方便n但其存在嚴(yán)重缺陷n其一是對(duì)承受同一荷載的同一結(jié)構(gòu)構(gòu)件若采用不同的功能函數(shù)來(lái)描述結(jié)構(gòu)構(gòu)件的同一功能要求，則采用均值一次二階矩法將得出不同的b值這顯然不符合常識(shí)n其二是選取基本隨機(jī)變量均值點(diǎn)作為功能函數(shù)的線性化點(diǎn)來(lái)求取b將產(chǎn)生較大誤差例 均值一次二階矩法(中心點(diǎn)法)n試確定截面邊長(zhǎng)為b的軸壓短

4、柱承載能力可靠指標(biāo)。已知：軸壓荷載p=100 kN,mfc=22N/mm2，fc=5 N/mm2，mb=300mm2，b=6 mm2取短柱材料強(qiáng)度f(wàn)c及b為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量，p為常量。2(, )/0ccZg f bfp b321,0.0074.XXcbggpfbmmm0.00743.331cZfb20.889,5.000.ZZm4.178ZZm1 均值一次二階矩法(中心點(diǎn)法)n將功能函數(shù)在Xi的均值點(diǎn)mXi驗(yàn)算點(diǎn)展開(kāi)為Taylor級(jí)數(shù),僅保留線性項(xiàng)；12(,.,)nZg XXXn設(shè)結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)為*11(,.,)()nniiiigZg XXXXXXn功能函數(shù)Z的均值和方差ZZm*111/

5、21(,.,)();iiXinZnXiiinZXiigg XXXXgXmmmX1 改進(jìn)de中心點(diǎn)法n收斂條件：1*(,.,)nXXXmmn如何選取驗(yàn)算點(diǎn)*cosXXXXm n功能函數(shù)Z的方向余弦1nn*11/21cosiiiXinXiiXnXiigXgXmX改進(jìn)de中心點(diǎn)法X(0)mz，z at X(0) (0) =mz/z *cosXXXXm cosX at X(0)mz，z at X(n)cosX at X(n) (n) =mz/z X(n)1nnNoYesSTOP1 JC方法-非正態(tài)分布的改進(jìn)一次二階矩法(驗(yàn)算點(diǎn)法)n將功能函數(shù)中Xi任意分布基本隨機(jī)變量等效轉(zhuǎn)化為正態(tài)基本隨機(jī)變量Xi；

6、；在驗(yàn)算點(diǎn)處等效！12(,.,)nZg XXXn設(shè)結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)為*11(,.,)()nniiiigZg XXXXXXn功能函數(shù)Z的均值和方差ZZm*111/21(,.,)();iiXinZnXiiinZXiigg XXXXgXmmmX12(,.,)nZg XXX如下等同非正態(tài)分布在驗(yàn)算點(diǎn)處等效正態(tài)分布n 當(dāng)量正態(tài)化原理n 結(jié)構(gòu)失效概率主要與各基本隨機(jī)變量分布密度函數(shù)在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處的尾部面積有關(guān)若要保證將非正態(tài)基本隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為正態(tài)隨機(jī)變量后算出的結(jié)構(gòu)失效概率不變，必然要保證轉(zhuǎn)換后的各基本隨機(jī)變量在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處分布密度函數(shù)的尾部面積與轉(zhuǎn)換前的相等。據(jù)此，即產(chǎn)生當(dāng)量正態(tài)化轉(zhuǎn)換條件：n 設(shè)計(jì)驗(yàn)算

7、點(diǎn)坐標(biāo)處非正態(tài)變量與其等效正態(tài)變量的分布函數(shù)值及分布密度函數(shù)值相等(圖)即當(dāng)量正態(tài)化原理-分布在驗(yàn)算點(diǎn)處等效n設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)處非正態(tài)變量與其等效正態(tài)變量的分布函數(shù)值及分布密度函數(shù)值相等(圖)即*()()iiiiiiiiXXiXiXXiXXxFxxfxmm (.)= normcdf(0,1,.)(.)= normpdf(0,1,.)當(dāng)量正態(tài)化原理-分布在驗(yàn)算點(diǎn)處等效nclear all; clc; clfnnux=22;sgmx=2;nuxx=3.0869;sgmxx=0.0907;nxs = 18; % 18 20 22 24nx = nux+-20:0.1:20;ny = lognpdf(x

8、,nuxx,sgmxx);nY = logncdf(x,nuxx,sgmxx);nys = lognpdf(xs,nuxx,sgmxx);nYs = logncdf(xs,nuxx,sgmxx);n%nsgm=normpdf(norminv(Ys)/ys;nnu=xs-norminv(Ys)*sgm;nxss=(xs-nu)/sgm;nnx=(x-nu)/sgm;nny=normpdf(nx,0,1);nnY=normcdf(nx,0,1);nyss=normpdf(xss,0,1);nYss=normcdf(xss,0,1);當(dāng)量正態(tài)化原理-分布在驗(yàn)算點(diǎn)處等效nsubplot(2,1,1),

9、plot(x,Y,r);hold on;nhl1 = line(xs xs,0 Ys);nset(hl1,Color,red);nxlabel( x ); ylabel( F(x) );nsubplot(2,1,2),plot(nx,nY,b);hold on;nhl2 = line(xss xss,0 Yss);nset(hl2,Color,blue);nxlabel( x-=(x-nu)/sgm ); ylabel( F(x-) or Phi(x-) );npause; clfnsubplot(2,1,1),plot(x,y*sgm,r);hold on;nhl3 = line(xs xs

10、,0 ys*sgm);nset(hl3,Color,red);nxlabel( x ); ylabel( f(x) );nsubplot(2,1,2),plot(nx,ny,b);hold on;nhl4 = line(xss xss,0 yss);nset(hl4,Color,blue);nxlabel( x-=(x-nu)/sgm ); ylabel( f(x-) or phi(x-) );當(dāng)量正態(tài)化原理-實(shí)例圖當(dāng)量正態(tài)化原理-分布在驗(yàn)算點(diǎn)處等效JC方法-非正態(tài)分布的改進(jìn)一次二階矩法(驗(yàn)算點(diǎn)法)一承載力為R的軸壓短柱，承受永久荷載Pl與可變荷載P2作用，試確定其受壓承載能力可靠指標(biāo) 已知；

11、Pl服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 m R=22kN， R=2kN： Pl服從正態(tài)分布 m P1 = 10kN， P1 = O.9kN； P2服從極值I型分布 m P2= 2kN， P2 =0.6kN： R，P1，P2相互獨(dú)立JC程序1nclear all;clcn%nnvar=3;nuR=4560;sR=729.6; % 1=the first parametery -resistant = lognormal cdfnvxR=sR/uR;nstdsR=sqrt(log(1+vxR2);nstduR=log(uR/sqrt(1+vxR2);n%Rcdf(x)=logncdf(x,uR,sR);nuNG=1

12、159.1;sNG=81.1; % 2= the second parametery -loading I = normal cdfn%NGcdf=normcdf(x,uNG,sNG);nuNL=765.5;sNL=222; % 3= the third parametery -loading II = maxmium I type n%a=0.78*sNL=173.16;k=uNL-0.5772*a=665.552;nNLcdf=inline(exp(-exp(-(x-665.552)/173.16);nNLpdf=inline(exp(-(x-665.552)/173.16)-exp(-(

13、x-665.552)/173.16)/173.16);n% first calculating design point nx=uR uNG uNL;nsyms xtndgxi= xt/xt -xt/xt xt-xt-1;nnt=1;JC程序2n% equavilant normlizationnFx(1)=logncdf(x(1),stduR,stdsR);nFx(2)=normcdf(x(2),uNG,sNG); % already being normal distributionnFx(3)=NLcdf(x(3);nuu(1)=norminv(Fx(1);uu(2)=norminv(F

14、x(2);uu(3)=norminv(Fx(3);n% 1 VarneqS(1)=normpdf(uu(1)/lognpdf(x(1),stduR,stdsR);neqU(1)=x(1)-eqS(1)*uu(1);n% neqS(1)=x(1)*sqrt(log(1+vxR2);neqU(1)=x(1)*(1-log(x(1)+log(uR/sqrt(1+vxR2);n% 2 VarneqU(2)=uNG;eqS(2)=sNG;n% 3 VarneqS(3)=normpdf(uu(3)/NLpdf(x(3);neqU(3)=x(3)-eqS(3)*uu(3);nsum=0;nfor i=1:n

15、varn sum=sum+(eqS(i)*subs(dgxi(i),xt,x(i)2;nendnfor i=1:nvarn alfa(i)=-eqS(i)*subs(dgxi(i),xt,x(i)/sqrt(sum);nendJC程序3nA=zeros(nvar+1,nvar+1);nB=zeros(nvar+1,1);nfor i=1:nvarnA(i,i)=1;nA(i,nvar+1)=-alfa(i)*eqS(i);nB(i)=eqU(i);nendnA(nvar+1,1)=1;nA(nvar+1,2)=-1;nA(nvar+1,3)=-1;nB(nvar+1)=0;nX=AB;nx=X

16、(1) X(2) X(3);nbta=X(4);nbta_list(nt)=bta;nfor i=1:nvarnxst(i)=eqU(i)+alfa(i)*bta*eqS(i);nendnx=xst;nnt=2;nbta0=bta; A(nvar+1,1)=1;A(nvar+1,2)=-1;A(nvar+1,3)=-1;B(nvar+1)=0;X=AB;x=X(1) X(2) X(3);bta=X(4);bta_list(nt)=bta;eps=1e-6;nwhile abs(bta0-bta) eps n bta0=bta; % equavilant normlizationnFx(1)=l

17、ogncdf(x(1),stduR,stdsR); nFx(2)=normcdf(x(2),uNG,sNG); % already being normal distributionnFx(3)=NLcdf(x(3);nuu(1)=norminv(Fx(1);uu(2)=norminv(Fx(2);uu(3)=norminv(Fx(3);neqS(1)=x(1)*sqrt(log(1+vxR2); % 1 VarneqU(1)=x(1)*(1-log(x(1)+log(uR/sqrt(1+vxR2);neqU(2)=uNG;eqS(2)=sNG; % 2 VarneqS(3)=normpdf(

18、uu(3)/NLpdf(x(3); % 3 VarneqU(3)=x(3)-eqS(3)*uu(3); sum=0;nfor i=1:nvarn sum=sum+(eqS(i)*subs(dgxi(i),xt,x(i)2;nendnfor i=1:nvarn alfa(i)=-eqS(i)*subs(dgxi(i),xt,x(i)/sqrt(sum);nendnA=zeros(nvar+1,nvar+1); B=zeros(nvar+1,1);nfor i=1:nvarnA(i,i)=1; A(i,nvar+1)=-alfa(i)*eqS(i); B(i)=eqU(i);nendnA(nvar+1,1)=1; A(nvar+1,2)=-1; A(nvar+1,3)=-1; B(nvar+1)=0;nX=AB;nx=X(1) X(2) X(3);nbta=X(4);nnt=nt+1;nbta_list(nt)=bta;nendJC程序5n% equavilant normlizationnA(nvar+1,1)=1;nA(nvar+1,2)=-1;nA(nvar+1,3)=-1;nB(nvar+1)=0;nX=AB;nx=X(1) X(2) X