第六章+虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算

1、第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：虛功原理的基本概念，剛體的虛功原理，變形體虛功原理的基本概念，剛體的虛功原理，變形體虛功原理，靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移計算，靜定結(jié)虛功原理，靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移計算，靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算的積分法、圖乘法，靜定結(jié)構(gòu)由構(gòu)在荷載作用下的位移計算的積分法、圖乘法，靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變引起的位移計算，互等定理。于溫度改變引起的位移計算，互等定理。教學(xué)要求：教學(xué)要求：1 1、了解結(jié)構(gòu)線位移、角位移、實功與虛功，廣義力與廣義、了解結(jié)構(gòu)線位移

2、、角位移、實功與虛功，廣義力與廣義位移，剛體的虛功原理，變形體系虛功原理的兩種形式；位移，剛體的虛功原理，變形體系虛功原理的兩種形式；2 2、理解、理解靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算的積分法，靜定的積分法，靜定結(jié)構(gòu)因結(jié)構(gòu)因溫度改變和支座移動時的位移計算溫度改變和支座移動時的位移計算原理和方法，靜定原理和方法，靜定結(jié)構(gòu)的一般特征；結(jié)構(gòu)的一般特征；3 3、掌握、掌握單位荷載法的位移計算公式單位荷載法的位移計算公式，線性變形體系的互等，線性變形體系的互等定理簡化結(jié)構(gòu)計算，定理簡化結(jié)構(gòu)計算，圖乘法計算位移圖乘法計算位移。重點：重點：虛功原理，單位荷載法求位移的圖乘法。虛功

3、原理，單位荷載法求位移的圖乘法。難點：難點：位移計算原理。位移計算原理。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算6-1 6-1 概述概述6-2 6-2 實功與虛功實功與虛功6-3 6-3 廣義力與廣義位移廣義力與廣義位移6-4 6-4 變形體的虛功原理變形體的虛功原理6-5 6-5 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算6-6 6-6 圖乘法圖乘法6-7 6-7 靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變引起的位移計算靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變引起的位移計算6-8 6-8 靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移計算靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移計算第六章第六章 虛功原理與結(jié)構(gòu)的位移計算

4、虛功原理與結(jié)構(gòu)的位移計算6-10 6-10 互等定理互等定理第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算二、位移產(chǎn)生的主要原因二、位移產(chǎn)生的主要原因 1 1、荷載作用；、荷載作用； 2 2、溫度改變和材料脹縮；、溫度改變和材料脹縮； 3 3、支座沉降和制造誤差等。、支座沉降和制造誤差等。一、結(jié)構(gòu)的位移一、結(jié)構(gòu)的位移 1 1、線位移：、線位移： 2 2、角位移：、角位移：AVAHAAAAAP三、本章位移計算假定三、本章位移計算假定 1 1、線彈性體；、線彈性體； 2 2、小變形；、小變形； 疊加原理適用疊加原理適用6-1 6-1 概述概述A第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算

5、虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算四、計算位移目的四、計算位移目的鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: :1. 1. 剛度要求剛度要求橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 1/1000 高度。高度。最大層間位移最大層間位移 1/800 1/800 層高。層高。2. 2. 超靜定超靜定、動力和穩(wěn)定計算、動力和穩(wěn)定計算3. 3. 施工要求施工要求在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 1/600 跨度；跨度；第六章第六章

6、虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算建筑起拱建筑起拱將各下弦桿做得比實將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算實功：實功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。虛功：虛功：力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。力在變形位移上所作的實功為：力在變形位移上所作的實功為：1111112TP力在對應(yīng)虛位移上所作的虛功為：力在對應(yīng)虛位移上所作的

7、虛功為：112TP6-2 6-2 實功與虛功實功與虛功d dOAB11P111P1P11P1注：注： 的第一個下標(biāo)表示位移的地點和方向，的第一個下標(biāo)表示位移的地點和方向，第二個下標(biāo)表示產(chǎn)生位移的原因。第二個下標(biāo)表示產(chǎn)生位移的原因。ijCt121()t第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算實功：實功：ABP P1 11P P2 2虛功：虛功：力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無關(guān)的量，分別屬于彼此無關(guān)的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)態(tài)。例如：例如：例如：例如：1111112TP力在自

8、身引起的位移上作的功。力在自身引起的位移上作的功。111212112TP222第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算ABP P1 11ABP P2 211122狀態(tài)狀態(tài)2 2狀態(tài)狀態(tài)1 1（1 1）屬同一體系；）屬同一體系；（2 2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件；力）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件；力 狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件；狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件； （3 3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)。）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)。12112TP在研究虛功時在研究虛功時, ,把作虛功的力把作虛功的力P1P1和虛位移和虛位移(P2(P2引起的位移引起的位移) )分別繪在兩個圖上分

9、別繪在兩個圖上, ,并稱為同一結(jié)構(gòu)的兩個狀態(tài)。并稱為同一結(jié)構(gòu)的兩個狀態(tài)。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算TPTM6-3 6-3 廣義力與廣義位移廣義力與廣義位移PM第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算()ABABABTPPPP ()ABABABTMMMMABMMP PP PAABBAB第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 剛體在外力作用下處于剛體在外力作用下處于平衡的充分必要條件是：平衡的充分必要條件是：對對于任意微小的虛位移，外力于任意微小的虛位移，外力所作的虛功之和等于零。所作的虛功之和等于零。320222P

10、PP 一、剛體體系的虛功原理一、剛體體系的虛功原理虛功原理的應(yīng)用：虛功原理的應(yīng)用：1 1）虛設(shè)位移求未知力（虛位移原理）虛設(shè)位移求未知力（虛位移原理）2 2）虛設(shè)力系求位移（虛力原理）虛設(shè)力系求位移（虛力原理）6-4 6-4 變形體的虛功原理變形體的虛功原理/ 2BVP0AH / 2AVP2 23 3/ / 2 2P2l2l即：即：120T (6 1)第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算abABC1c?P=1P=1ABCab1R已知已知 求求1c虛功方程虛功方程設(shè)虛力狀態(tài)設(shè)虛力狀態(tài)abR0bPaR110cR1111cab小結(jié)：小結(jié)： （1 1）形式是虛功方程，實質(zhì)是幾

11、何方程；）形式是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程；（2 2）在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出）在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出 與已知位移相應(yīng)的支座反力。與已知位移相應(yīng)的支座反力。構(gòu)造一個平衡力系構(gòu)造一個平衡力系；（3 3）特點是用靜力平衡條件解決幾何問題。）特點是用靜力平衡條件解決幾何問題。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。虛設(shè)力系求剛體體系位移虛設(shè)力系求剛體體系位移第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算二、變形體系的虛功原理二、變形體系的虛功原理1212(6-2)TV變說明：說明：1.1.虛功原理里存在兩個狀態(tài)：虛功原理

12、里存在兩個狀態(tài)：1)1)力狀態(tài)必須滿力狀態(tài)必須滿足平衡條件；足平衡條件；2)2)位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。2.2.原理適用于任何原理適用于任何 ( (線性和非線性線性和非線性) )的變形體，適用于的變形體，適用于任何結(jié)構(gòu)。任何結(jié)構(gòu)。3.3.原理應(yīng)用原理應(yīng)用 : :虛設(shè)力系求位移（虛力原理）虛設(shè)力系求位移（虛力原理）原理的表述：原理的表述： 體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能的位移和變形，體系上所有的位移和變形，體系上所有外力所作的虛功總和外力所作的虛功總和恒等于恒等于體系體系各截面所有內(nèi)力在微段變形位移上作的虛功總和各

13、截面所有內(nèi)力在微段變形位移上作的虛功總和。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算位移狀態(tài)位移狀態(tài)2VAABP PqM M三、虛功方程三、虛功方程VB給定位移狀態(tài)給定位移狀態(tài)2 2微段微段dSdS上內(nèi)力的變形虛功為上內(nèi)力的變形虛功為整個結(jié)構(gòu)內(nèi)力的變形虛功為整個結(jié)構(gòu)內(nèi)力的變形虛功為虛功方程為虛功方程為N N1 1N N1 1+dN+dN1 1V V1 1V V1 1+dV+dV1 1MM1 1MM1 1+dM+dM1 1dSdsdSd d2 2dS 2 2 2 2dsdsdS虛設(shè)力狀態(tài)虛設(shè)力狀態(tài)1 1dS力狀態(tài)力狀態(tài)1AB12121212dVM dN dVds 變12112

14、212(610)VM dN dVds變121211221 2(6 11)TVM dNdVds變d d 2 2PHAdS12TP 虛功原理：虛功原理：狀態(tài)狀態(tài)1 1的外力在狀態(tài)的外力在狀態(tài)2 2的位移上所作的虛功的位移上所作的虛功, ,等等于于狀態(tài)狀態(tài)1 1各微段的內(nèi)力在狀態(tài)各微段的內(nèi)力在狀態(tài)2 2相應(yīng)微段變形上所作的虛功相應(yīng)微段變形上所作的虛功之和。之和。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算三、虛功方程三、虛功方程當(dāng)虛位移是一組力引起時當(dāng)虛位移是一組力引起時，狀態(tài)，狀態(tài)2 2的微段變形是由的微段變形是由狀態(tài)狀態(tài)2 2相應(yīng)內(nèi)力引起的。相應(yīng)內(nèi)力引起的。由材料力學(xué)知識有：由

15、材料力學(xué)知識有：22MddsEI22NddsEA 22VdsdsGA剪應(yīng)力沿截面高度不是均勻分布，引入剪應(yīng)力沿截面高度不是均勻分布，引入剪剪應(yīng)力不均勻分布系數(shù)應(yīng)力不均勻分布系數(shù) ，并將以上三式代并將以上三式代入虛功方程（入虛功方程（6-116-11），得：），得：22212111MNVTMdsNdsVdsEIEAGAVAABP PqM MVBdSdSd d2 2dS 2 2 2 2dsdsd d 2 2dS（6-146-14）位移狀態(tài)位移狀態(tài)2注：在確定各內(nèi)力表達(dá)式時，兩個狀態(tài)應(yīng)取同一正負(fù)號規(guī)定注：在確定各內(nèi)力表達(dá)式時，兩個狀態(tài)應(yīng)取同一正負(fù)號規(guī)定。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理

16、和結(jié)構(gòu)的位移計算Pq6-5 6-5 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算一、單位荷載法一、單位荷載法1iP 簡支梁在荷載作用下發(fā)生如圖虛線所示的變形，求其簡支梁在荷載作用下發(fā)生如圖虛線所示的變形，求其任一點任一點i i的全位移在某一方向的投影的全位移在某一方向的投影 ，iP應(yīng)用虛功原理，假想的在欲求應(yīng)用虛功原理，假想的在欲求位移方向虛設(shè)一個單位力位移方向虛設(shè)一個單位力 ，建立一個，建立一個虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)，原，原狀態(tài)為狀態(tài)為實際位移狀態(tài)實際位移狀態(tài)。1iP 位移狀態(tài)位移狀態(tài)P P力狀態(tài)力狀態(tài)i i由虛功方程，有：由虛功方程，有：ipipTV變其中：其中：1ipi

17、ipipipTP ipV變PPPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGAiPi第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 為狀態(tài)為狀態(tài)i i中單位力中單位力P=1P=1引起的彎矩、軸力和剪力。引起的彎矩、軸力和剪力。iiiMNV、 、6-5 6-5 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算由虛功方程，可得：由虛功方程，可得：其中：其中：1ipiipipipTP ipV變PPPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGA(615)PPPiPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGA其中：其中： 為狀態(tài)為狀態(tài)P P中實際荷中實際荷載引起的彎矩、軸力和剪力。載

18、引起的彎矩、軸力和剪力。PPPMNV、 式（式（6-156-15）便是平面桿系結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。）便是平面桿系結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。若若計算計算結(jié)果為正結(jié)果為正，表示所求位移，表示所求位移i i與虛設(shè)的單位力與虛設(shè)的單位力P Pi i=1=1方向相同方向相同，反之反向。這種方法又稱為，反之反向。這種方法又稱為單位荷載法單位荷載法。Pq1iP 位移狀態(tài)位移狀態(tài)P P力狀態(tài)力狀態(tài)i iiPi在確定各內(nèi)力表達(dá)式時，兩個狀在確定各內(nèi)力表達(dá)式時，兩個狀態(tài)應(yīng)取同一正負(fù)號規(guī)定態(tài)應(yīng)取同一正負(fù)號規(guī)定。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理應(yīng)用舉例虛功原理應(yīng)用舉例 例例6-

19、1:6-1:求圖求圖6-16a6-16a所示桁架結(jié)點所示桁架結(jié)點C C的豎向位移的豎向位移 。各。各桿桿EAEA為常數(shù)且相等。為常數(shù)且相等。解：為求解：為求C C點的豎向位移，應(yīng)在點的豎向位移，應(yīng)在C C點加一豎向單位力，建立虛設(shè)點加一豎向單位力，建立虛設(shè)力狀態(tài)。力狀態(tài)。vCdddPABCDABCD1iP 分別求結(jié)構(gòu)在實際荷載與單位分別求結(jié)構(gòu)在實際荷載與單位荷載作用下各桿的軸力荷載作用下各桿的軸力PiNN和2P2P2PP22P2P22P1 21 22 22 201212vC第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理應(yīng)用舉例虛功原理應(yīng)用舉例 例例6-1:6-1:求圖求

20、圖6-16a6-16a所示桁架結(jié)點所示桁架結(jié)點C C的豎向位移的豎向位移 。各。各桿桿EAEA為常數(shù)且相等。為常數(shù)且相等。vPPCiiNNNdsNlEAEAvCdddPABCDABCD1iP 2P2P2PP22P2P22P1 21 22 22 201212根據(jù)虛功方程（根據(jù)虛功方程（6-156-15）式，得：）式，得：12222 () () () 22 222PddPEAEA 1(2)2PdEA計算結(jié)果為正，說明計算結(jié)果為正，說明 的實際的實際位移方向與假設(shè)的單位力方向一位移方向與假設(shè)的單位力方向一致，即向下。致，即向下。vC第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算1.1

21、.梁和剛架：梁和剛架：PiPiM dsMEI（6-166-16）2.2.桁架：桁架：iPiPiPiPN N dsN NN N ldsEAEAEA（6-176-17）3. 3. 組合結(jié)構(gòu)：組合結(jié)構(gòu)：iPiPM M dsEI 梁iPN N lEA桁（6-186-18） 在實際計算時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況在實際計算時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況, ,式（式（6-156-15）可）可以簡化：以簡化：(615)PPPiPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGA第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算1.1.梁和剛架：梁和剛架：PiPiM dsMEI（6-166-16）2.2.桁架：桁架：i

22、PiPiPiPN N dsN NN N ldsEAEAEA（6-176-17）3. 3. 組合結(jié)構(gòu)：組合結(jié)構(gòu)：iPiPM M dsEI 梁iPN N lEA桁（6-186-18）討論一討論一: : 在實際計算時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況在實際計算時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況, ,式（式（6-156-15）可以簡化：可以簡化：(615)PPPiPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGA6-5 6-5 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算討論二：討論二：在應(yīng)用單位荷載法計算時，應(yīng)根據(jù)所求位移不在應(yīng)用單位荷載法計算時，應(yīng)根據(jù)

23、所求位移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)。（同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)。（P107-P107-表表6-16-1）例如例如: :A A求求AHAH實際狀態(tài)實際狀態(tài)P P虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)i iA A1 1A A求求 A A1 1虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)i iA AA A虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)i i虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)i iB B求求ABAB1 11 1B B求求 ABAB1 11 1P P第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 例例6-36-3：求圖示等截面梁：求圖示等截面梁B B端轉(zhuǎn)角。端轉(zhuǎn)角。EI=EI=常數(shù)。常數(shù)。解：解：1 1）虛設(shè)單位荷載）虛設(shè)單位荷載( (力狀態(tài)力狀態(tài)) )MP（x1）=

24、Px/2 (0 x1l/2)MP（x2）=P（lx）/2 (l/2 x2l)(0 xl)2 2）M MP P須分段寫須分段寫 ixMxl 216PlEI M=1M=1P Pl/2l/2EIEIA AB Bx x1 1x x2 220211()()()22lliPiPlM M dsxPxP lxxdxdxEIEIlEIl 第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算總結(jié)：總結(jié)：3.3.位移計算步驟：位移計算步驟： 1 1）虛設(shè)單位力狀態(tài)）虛設(shè)單位力狀態(tài); ; 2 2）列兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程）列兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程; ;3 3）按位移公式積分求位移。）按位移公式積分求位移。 1.EI

25、1.EI分段為常數(shù)則彎矩表達(dá)式應(yīng)分段寫。分段為常數(shù)則彎矩表達(dá)式應(yīng)分段寫。 2.2.在同一區(qū)段內(nèi)，在同一區(qū)段內(nèi)， 和和 的表達(dá)式坐標(biāo)原點應(yīng)在的表達(dá)式坐標(biāo)原點應(yīng)在同一位置。同一位置。 iMPM第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算練習(xí)：求圖示剛架練習(xí)：求圖示剛架A A點的豎向位移點的豎向位移AVAV。EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。ABCqL LLA實際狀態(tài)實際狀態(tài)虛設(shè)力狀態(tài)虛設(shè)力狀態(tài)AB1解：解： 1. 1. 虛設(shè)單位力狀態(tài)虛設(shè)單位力狀態(tài)x xx x選取坐標(biāo)如圖。選取坐標(biāo)如圖。則各桿彎矩方程為則各桿彎矩方程為: :ABAB段：段：, i ABMxBCBC段：段：, i BCML

26、2. 2. 實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為ABAB段：段：BCBC段：段：x xx x2,2P ABqxM 2,2P BCqLM 3. 3. 代入公式（代入公式（6-166-16）得）得458qLEI()iPAVM M dsEI20()(2)ldxxqxEI20()(2)ldxLqLEI第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算6-6 6-6 圖乘法圖乘法 在桿件數(shù)量多、荷載復(fù)雜的情況下在桿件數(shù)量多、荷載復(fù)雜的情況下, ,積分計算復(fù)雜。積分計算復(fù)雜。下面介紹計算位移的圖乘法。下面介紹計算位移的圖乘法。iPiPM MdsEI 剛架與梁的位移計算公式為：剛架與

27、梁的位移計算公式為：若在積分段內(nèi)若在積分段內(nèi)桿件為直桿桿件為直桿：iPiPM MdxEI 第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算一、圖乘法公式的證明一、圖乘法公式的證明taniMxBiPiPAMMd xE I 1tanBPAxM dxEItanBPAx M dxEI0tanxEI0(6 21)yEIMMP P圖圖xy形心形心C面積面積 ABOABM MP PiMdxdxd d =M=MP Pdxdxx xx x0 0iM圖y y0 0y y0 0=x=x0 0tgtg 即積分即積分 等于等于曲線圖形的面積曲線圖形的面積乘以乘以其形心所對應(yīng)其形心所對應(yīng)的直線圖形的縱標(biāo)的直

28、線圖形的縱標(biāo)BiPAM M dxtanBAxdEI第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算1.1.必須符合上述圖乘的三個條件；必須符合上述圖乘的三個條件；2.2.縱坐標(biāo)值縱坐標(biāo)值y y0 0應(yīng)從直線圖形上取得；應(yīng)從直線圖形上取得；3.3.正負(fù)號：當(dāng)兩彎矩圖在基線同側(cè)取正，反之取負(fù)。正負(fù)號：當(dāng)兩彎矩圖在基線同側(cè)取正，反之取負(fù)。三、應(yīng)用圖乘法的注意點：三、應(yīng)用圖乘法的注意點：二、圖乘法所滿足的條二、圖乘法所滿足的條件件 1. 1. 和和 兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形（ 總是直線或折線總是直線或折線）；）； PMiMiM2.2.桿軸為直線；桿

29、軸為直線；3.3.桿件抗彎剛度桿件抗彎剛度EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。BiPiPAMMd xE I 0(621)yEI第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 例例1: 1: 求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁B B點的豎向線位移，點的豎向線位移，EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。解：解：1 1）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖。）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖。pVCiMMdxEI 2 2）分別作）分別作 圖和圖和 圖圖PMiM3 3）進(jìn)行圖形相乘，則得：）進(jìn)行圖形相乘，則得：112()()23llPlEI0yEI33PlEI12lPl 02 3ylBAPl1iP BAPlBAPMiMBAl3l2 3l第六章第六章 虛

30、功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算二次拋物線：二次拋物線：=2hl/33l/4l/4二次拋物線：二次拋物線：=hl/3頂點頂點lh2l/3l/3=hl/2(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labh四、幾種常見圖形的面積及其形心位置四、幾種常見圖形的面積及其形心位置h第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算5l/83l/8二次拋物線：二次拋物線：=2hl/34l/5l/5h三次拋物線三次拋物線=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線次拋物線=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點注：圖中所示拋物線均為標(biāo)注：圖中所示拋物線均為標(biāo)準(zhǔn)拋物線，即頂點處

31、的切線準(zhǔn)拋物線，即頂點處的切線與基線平行。與基線平行。h頂點頂點四、幾種常見圖形的面積及其形心位置四、幾種常見圖形的面積及其形心位置第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 例例6-4: 6-4: 求圖求圖6-24a6-24a所示簡支梁跨中所示簡支梁跨中C C點的豎向線位點的豎向線位移，移，EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。(P113)(P113)CBAq /2l/2l解：解：1 1）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖。）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖。CBA28ql1iP pVCiMMdxEI /4l2 2）分別作）分別作 圖和圖和 圖圖PMiM3 3）進(jìn)行圖形相乘，則得：）進(jìn)行圖形相乘，則得：PMiM21

32、25()()232884lqllEI0yEI45384qlEI115 32yl當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a a）曲桿或）曲桿或EI=EIEI=EI（X X）時，只能用積分法求位移；）時，只能用積分法求位移；b b）當(dāng)分段為常數(shù)或）當(dāng)分段為常數(shù)或 均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加；均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加；iPMM、第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算ll 例例6-5: 6-5: 求圖求圖6-25a6-25a所示剛架支座所示剛架支座D D處的水平位移，處的水平位移，E E為為常數(shù)。常數(shù)。(P114)(P114)解：解：1

33、 1）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖。）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖。20224113()2221132211()()22338212HDyqlllEIEIqlqllqllllEIEI 2 2）分別作）分別作 圖和圖和 圖圖PMiM3 3）進(jìn)行圖形相乘，則得：）進(jìn)行圖形相乘，則得：ABDCI2Ill1iP PMiM232qlqlq第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算1.1.必須符合上述圖乘的三個條件；必須符合上述圖乘的三個條件；2.2.縱坐標(biāo)值縱坐標(biāo)值y y0 0應(yīng)從直線圖形上取得；應(yīng)從直線圖形上取得；3.3.正負(fù)號：當(dāng)兩彎矩圖在基線同側(cè)取正，反之取負(fù)。正負(fù)號：當(dāng)兩彎矩圖在基線同側(cè)取正，反

34、之取負(fù)。三、應(yīng)用圖乘法的注意點：三、應(yīng)用圖乘法的注意點：二、圖乘法所滿足的條二、圖乘法所滿足的條件件 1. 1. 和和 兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形（ 總是直線或折線總是直線或折線）；）； PMiMiM2.2.桿軸為直線；桿軸為直線；3.3.桿件抗彎剛度桿件抗彎剛度EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):一、圖乘法公式一、圖乘法公式 piPiMMdxEI0yEI第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算二次拋物線：二次拋物線：=2hl/33l/4l/4二次拋物線：二次拋物線：=hl/3頂點頂點lh2l/3l/3=hl/2(a+l)/3(b+l)

35、/3=hl/2labh四、幾種常見圖形的面積及其形心位置四、幾種常見圖形的面積及其形心位置h第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算5l/83l/8二次拋物線：二次拋物線：=2hl/34l/5l/5h三次拋物線三次拋物線=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線次拋物線=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點注：圖中所示拋物線均為標(biāo)注：圖中所示拋物線均為標(biāo)準(zhǔn)拋物線，即頂點處的切線準(zhǔn)拋物線，即頂點處的切線與基線平行。與基線平行。h頂點頂點四、幾種常見圖形的面積及其形心位置四、幾種常見圖形的面積及其形心位置第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移

36、計算B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIBMi五、圖乘法應(yīng)用時的幾種常見簡化方式五、圖乘法應(yīng)用時的幾種常見簡化方式第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB當(dāng)兩個圖形均為直線當(dāng)兩個圖形均為直線圖形時圖形時, ,取哪個圖形的取哪個圖形的面積均可。面積均可。第六章第六章

37、虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算21112(2 2 23411111)2 2242 2 234()16BlPlEIlPllPlPlEI 4/PlMPB求求12111()()24216BPlPllEIEI 取取y y0 0的圖形必的圖形必須是直線須是直線, ,不能是曲不能是曲線或折線線或折線. .AB2/ lEI2/ lP2/1能用能用 M Mi i圖面積乘圖面積乘M MP P圖豎標(biāo)嗎圖豎標(biāo)嗎? ?Mi第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算B求求1ABmkN 20mkN 40m10EIMP)(100)203260(110211EIEIB)(100)2110

38、2032601021(1EIEIB402060204020112(104023111002010)()23BEIEIMi第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算1MP)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2qlMiB求求第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算C求求C C截面豎向位移截面豎向位移MP)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEI

39、B16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lqMi第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 例例6-86-8：圖示梁：圖示梁EIEI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C C點豎向位移。點豎向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C220311 33()3824 22845( )128CyqllllqllEIEIqlEI8/2ql20311132221()24cyqlllEIEIqlEI 第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算

40、虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算32/2qliM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C0222412112(3 2322 22 223 211)2 283 217( )384cyEIlqlllqllEIlqllqlEI 8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql 例例6-86-8：圖示梁：圖示梁EIEI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C C點豎向位移。點豎向位移。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算02224113121()3 284 22 243 2282 217( )384cyEIlqlllqlllqllEIqlEI q8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2

41、ql 例例6-86-8：圖示梁：圖示梁EIEI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C C點豎向位移。點豎向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C8/2qlq8/2ql2/qlAC第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算例：試求等截面簡支梁例：試求等截面簡支梁C C截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。 ql/5 4l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=M0222312138212(125252(5)1)35833()100CyE IqllE Ilqllq lqlE I 11C第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算122Faqa22Faqaa練習(xí)

42、：求圖示梁在已知荷載作用下，練習(xí)：求圖示梁在已知荷載作用下，A A截面的角位截面的角位移移 ，及，及C C截面的豎向線位移截面的豎向線位移 。EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。AVCiMaaABCqF解：解：1 1）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖）建立虛設(shè)狀態(tài)，如圖c)c)、d d）；）；PM28qaiM1iM 1iP ) a) b) c) d2 2）分別作荷載和單位力作用）分別作荷載和單位力作用下的彎矩圖；下的彎矩圖；3 3）圖乘：）圖乘：2231111()2231()()612Aa FaqaEIFaqaEI 第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算22341122 ()223382127(

43、)( )3224VCaaaqaaFaqaEIFaqaEI22Faqa22FaqaFM28qaaiM1iF練習(xí)：求圖示梁在已知荷載作用下，練習(xí)：求圖示梁在已知荷載作用下，A A截面的角位截面的角位移移 ，及，及C C截面的豎向線位移截面的豎向線位移 。EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。AVC第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 桿件溫度變化時，靜定結(jié)構(gòu)不會引起內(nèi)力，但材料桿件溫度變化時，靜定結(jié)構(gòu)不會引起內(nèi)力，但材料會發(fā)生膨脹和收縮，從而引起截面的應(yīng)變，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生會發(fā)生膨脹和收縮，從而引起截面的應(yīng)變，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移。變形和位移。BA01t c02t c上邊緣溫度上升上邊緣溫度

44、上升 ，下邊緣溫度上升下邊緣溫度上升 。1ot C2ot C6-7 6-7 靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變引起的位移計算靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變引起的位移計算BAit1iP 則由虛功原理則由虛功原理(6-11)(6-11)，有：，有：1ititititM dN dV d （A A）假設(shè)假設(shè) 。21tt第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算形心軸處的溫度形心軸處的溫度112210121ht ht htttthh當(dāng)當(dāng) 時時12hh0122ttt材料線膨脹系數(shù)材料線膨脹系數(shù) ，則微段，則微段 的變形的變形ds0tdt ds 21ttttddsdshhBAds01t c02t c2t ds1

45、t dsdt2hds1th1h2t溫度沿截面厚度為線性分布，溫度沿截面厚度為線性分布，變形后，截面保持為平面。變形后，截面保持為平面。溫度變形包括沿軸線方向拉溫度變形包括沿軸線方向拉伸變形伸變形 和截面轉(zhuǎn)角和截面轉(zhuǎn)角 。tdtd不產(chǎn)生剪切變形不產(chǎn)生剪切變形0tt dsdtd0td第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算將上式代入（將上式代入（A A）式可得式）式可得式( 6-22 )( 6-22 )：0itiitMdsNt dsh 正負(fù)號規(guī)定：正負(fù)號規(guī)定： 軸力軸力 以拉為正，以拉為正，iN以溫度升高為正以溫度升高為正0t 與與 引起的彎曲為同一方向時，其乘積為正；反之為

46、負(fù)。引起的彎曲為同一方向時，其乘積為正；反之為負(fù)。iM t0iiitiMtNtlh對于直桿：對于直桿：iiMiiM dsN dsNl則有：則有：BAds01t c02t c2t ds1t dsdt2hds1th1h2t0tt dsdtd第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算一、位移計算公式一、位移計算公式 0(623)iiitMtNt lh ：材料的線膨脹系數(shù)。：材料的線膨脹系數(shù)。 ：桿件截面兩側(cè)的溫度改變之差（：桿件截面兩側(cè)的溫度改變之差（計算時取絕對值計算時取絕對值）。）。 如果，溫度差如果，溫度差 ，則只有軸力項。，則只有軸力項。 t0t ：分別表示結(jié)構(gòu)作用虛設(shè)單

47、位力時的軸力和彎矩：分別表示結(jié)構(gòu)作用虛設(shè)單位力時的軸力和彎矩圖的面積。圖的面積。 ,iiMNt t0 0 ：形心軸線處溫度：形心軸線處溫度, ,當(dāng)桿件截面對稱于形心軸時，當(dāng)桿件截面對稱于形心軸時， 122ttt正負(fù)規(guī)定正負(fù)規(guī)定: :實際溫度變化引起的變形和虛擬單位力引起的實際溫度變化引起的變形和虛擬單位力引起的變形相同取正，反之取負(fù)。變形相同取正，反之取負(fù)。第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算二、桁架，在溫度改變時，其位移公式為二、桁架，在溫度改變時，其位移公式為 ： iiitttNlNl 三、桁架裝配誤差，引起的位移計算公式，與溫度變?nèi)?、桁架裝配誤差，引起的位移計算

48、公式，與溫度變化時相似化時相似: : iiNl 為虛設(shè)單位力狀態(tài)中各桿軸力，以拉為正；為虛設(shè)單位力狀態(tài)中各桿軸力，以拉為正； 為桿件的制造誤差，伸長為正，縮短為負(fù)。為桿件的制造誤差，伸長為正，縮短為負(fù)。liN第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 例例6-96-9：求圖示剛架：求圖示剛架K K點的豎向位移。各桿截面相同，點的豎向位移。各桿截面相同，為矩形截面。為矩形截面。0( 2 )22tttt ( 2 )3tttt ,0iK ViMtNt lh233 1(2)2 1(2)202tltltll 3594tliM1iP iN1iP l1120hl2t2t2tt2l2llK

49、第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算練習(xí)：求圖示剛架練習(xí)：求圖示剛架C C點的豎向位移。各桿截面為矩形點的豎向位移。各桿截面為矩形, ,高高h(yuǎn)。LL01010C C1L LNP=1P=1MP=1P=1010052tC10010tC0iciMtNt lh 210 3( 15)2LLh 35(1)LLh第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算計算公式可簡寫為計算公式可簡寫為: :(6 - 26)iCRc K Kk1c2c3cKK K1R2R3R6-8 6-8 靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移計算靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移計算 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時不產(chǎn)生內(nèi)力和靜定結(jié)構(gòu)支座移動時不產(chǎn)生內(nèi)力和變形，只產(chǎn)生變形，只產(chǎn)生剛體位移剛體位移。 剛體虛功原理：剛體虛功原理：給平衡體系以任何給平衡體系以任何微小的剛性位移，微小的剛性位移，作用于體系上所有外作用于體系上所有外力所作虛功之和等于零。力所作虛功之和等于零。iCPi=1120T11223310iCR cR cR c 112233()iCR cR cR c 第六章第六章 虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)的位移計算 例例6-11: 6-11: 圖圖6-35a6-35a所示剛架，右支座的水平移所示