數理統(tǒng)計基本概念（課堂PPT）

1、數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念第六章第六章 數理統(tǒng)計的基本概念數理統(tǒng)計的基本概念6.1 總體、樣本與統(tǒng)計量總體、樣本與統(tǒng)計量6.2 常用統(tǒng)計分布常用統(tǒng)計分布數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 一、引言一、引言數理統(tǒng)計數理統(tǒng)計以概率論為理論基礎以概率論為理論基礎, ,研究研究 2) 研究如何合理地研究如何合理地分析隨機數據分析隨機數據從而作出從而作出科學的科學的推斷推斷 ( (稱為稱為統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷).).6.1 總體、樣本與統(tǒng)計量總體、樣本與統(tǒng)計量 1）研究如何以有效的方式研究如何以有效的方式收集和整理收集和整理隨隨機數據機數據; ;數理統(tǒng)計的引入數理統(tǒng)計的引入數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概

2、念 兩類工作有密切聯系兩類工作有密切聯系. .將主要介紹統(tǒng)計推斷方面的內容將主要介紹統(tǒng)計推斷方面的內容. .總體總體：研究對象的全體所組成的集合：研究對象的全體所組成的集合. .個體個體：組成總體的每個單位元素：組成總體的每個單位元素. . 例例1 要考察本校男生的身體情況，則將本校要考察本校男生的身體情況，則將本校的所有男生視為一個總體，而每一位男生就是的所有男生視為一個總體，而每一位男生就是一個個體一個個體. .二、總體二、總體數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 如，關心電子元件的壽命，則壽命如，關心電子元件的壽命，則壽命 X 為其為其一個數量指標，且一個數量指標，且 X 是服從指數分布的隨

3、機是服從指數分布的隨機變量變量. . 例例2 考察某廠生產的電子元器件的質量，將全考察某廠生產的電子元器件的質量，將全部產品視為總體，每一個元器件即為一個個體部產品視為總體，每一個元器件即為一個個體. . 通常需要對總體的一項或幾項通常需要對總體的一項或幾項數量指標數量指標進進行研究行研究. . 如僅考慮男生的身高和體重如僅考慮男生的身高和體重(X, Y) , ,不考慮不考慮男生的視力、胸圍等男生的視力、胸圍等. . 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念以后將以后將( (實際實際) )總體和數量指標總體和數量指標X等同等同起來起來. .總總 體體 是是 隨隨 機機 變變 量量 由于上述數量指標往往

4、是由于上述數量指標往往是隨機變量隨機變量，具有，具有一定的分布一定的分布. .總體分布總體分布是指是指數量指標數量指標 X的分布的分布. .三、樣本三、樣本 一般，從總體中抽取一部分一般，從總體中抽取一部分( (取取 n 個個) )進進行觀測，再依據這行觀測，再依據這 n個個體的試驗個個體的試驗( (或觀察或觀察) )的結果去推斷總體的性質的結果去推斷總體的性質. .數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 樣本樣本: : 按照按照一定的規(guī)則一定的規(guī)則從總體中抽取的從總體中抽取的一部分個體一部分個體. .抽樣抽樣：抽取樣本的過程：抽取樣本的過程. .樣本容量樣本容量：樣本中個體的數目：樣本中個體的數目

5、 n . 將第將第 i 個個體的對應指標記為個個體的對應指標記為 Xi，i=1,2, , n, 構成的隨機向量構成的隨機向量 (X1 , X2 , , Xn )稱為樣本稱為樣本. 樣本樣本是一組隨機變量是一組隨機變量，其具體試驗其具體試驗(觀察觀察)數值記為：數值記為：x1 , x2 , , xn ，稱為，稱為樣本觀測值樣本觀測值，簡稱簡稱樣本值樣本值.數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念為使樣本具有代表性，抽樣應滿足什么條件為使樣本具有代表性，抽樣應滿足什么條件從民意測驗看抽樣從民意測驗看抽樣?（1）Xi 與總體同分布；與總體同分布；（2） X1 , X2 , , Xn 相互獨立相互獨立. 定義

6、定義6.1.1 設設X1 , X2 , , Xn是來自總體是來自總體X的樣本，如果的樣本，如果相互獨立相互獨立且每個分量與總體且每個分量與總體同分布同分布，稱其為，稱其為簡單隨機樣本簡單隨機樣本，簡稱樣本，簡稱樣本.數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 若總體若總體X的分布函數為的分布函數為 F(x), 則樣本則樣本X1 , X2 , , Xn的聯合分布函數為的聯合分布函數為,),(221121nnnxXxXxXPxxxF nkkXxFk1)(數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 51151)(1ixiiiiipxpxXP).5 , 2 , 1(, 1, 0 ixi 故

7、故 ( X1 , X2 , , X5 ) 的聯合分布律為的聯合分布律為 51551)(1ixixiippPX1=x1 , X2 =x2, , X5 =x51(1),0,1xxP Xxppx 解：因解：因數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念),(21nXXX), 1 , 0(!11 inniikkeknii 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念則則 2212)(2221)2(),( inixnneXXX 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念判斷統(tǒng)計量判斷統(tǒng)計量是隨機變量且不含未知參數，稱是隨機變量且不含未知參數，稱 T為為統(tǒng)計量統(tǒng)計量. 對相應的樣本值對相應的樣本值( x1 , x2 , , xn ) ，稱

8、，稱 t =T( x1 , x2 , , xn ) 為統(tǒng)計量的為統(tǒng)計量的統(tǒng)計值統(tǒng)計值.四、統(tǒng)計量四、統(tǒng)計量 定義定義6.1.2 設設X1 , X2 , , Xn是總體是總體X的樣本，的樣本，T為為n元實值函數，若樣本的函數元實值函數，若樣本的函數T=T(X1 , X2 , , Xn)數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念2555121)1( , 2 , max , XXpXiXXXi 例例 1 設總體設總體 X B( 1 , p )，其中，其中 p 是未知是未知參數，參數， ( X1 , X2 , , X5 ) 是來自是來自 X 的簡單隨的簡單隨機樣本，機樣本， 1) 指出以下變量哪些是統(tǒng)計量，為什

9、么？指出以下變量哪些是統(tǒng)計量，為什么？2) 確定確定( X1 , X2 , , X5 ) 的聯合概率分布？的聯合概率分布？ 25pX 解解 只有只有 不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量,因因 p 是未知參數是未知參數.數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念總總 體體 是是 隨隨 機機 變變 量量 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 是是 隨機變量隨機變量( (或向量）或向量）樣樣 本本 是是 隨隨 機機 向向 量量數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念樣本均值樣本均值： 樣本方差樣本方差： niiXnX11 niiXXnS122)(11常見統(tǒng)計量：常見統(tǒng)計量：樣本樣本 k 階原點矩階原點矩： 樣本樣本k階中心矩階中心矩： nikikXnA1

10、111()nkkiiBXXn 統(tǒng)稱統(tǒng)稱樣本矩樣本矩數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念XA 12222221111niinBSXXAAnn 幾個重要關系式幾個重要關系式：X, S2, Ak, Bkx, s2, ak, bk統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計值統(tǒng)計值數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 思考思考 樣本矩與總體矩樣本矩與總體矩 ( (即第四章中定義即第四章中定義的矩的矩) ) 的概念有什么區(qū)別？的概念有什么區(qū)別？ 樣本矩樣本矩 是是 隨機變量隨機變量! ! 總體矩總體矩 是是 數值數值! !數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念總體、個體總體、個體簡單隨機樣本簡單隨機樣本統(tǒng)計量統(tǒng)計量 求樣本的聯求樣本的聯合分布律

11、或合分布律或密度函數密度函數樣本均值樣本均值樣本方差樣本方差樣本矩樣本矩數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 某廠生產的一批產品中次品率為某廠生產的一批產品中次品率為 p 。從中。從中抽取抽取1010件產品裝箱。件產品裝箱。數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念6.2 常用統(tǒng)計分布常用統(tǒng)計分布Rxexfx ,21)(22 上側分位數上側分位數u ( 0 1）滿足）滿足 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 udxxfuXP)(一、四種常用統(tǒng)計分布一、四種常用統(tǒng)計分布數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念對于正態(tài)分布有對于正態(tài)分布有：上側分上側分位點位點u 1)(u )(11uuXPuXP陰

12、影部分陰影部分面積為面積為 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念查表查表 如如 0.025 時，時， u ？975. 0025. 01)(025. 0 u96. 1025. 0 u數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 例例6.2.1 設隨機變量設隨機變量X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(0,1), 對給對給定的定的(0 45 ) )時，有時，有數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 2(n) 的的上側分位數上側分位數( 0 1 )： )(2222)()(ndxxfnP陰影部分面陰影部分面積為積為 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念例例6.2.3 查表計算概率查表計算概率?1.961.58,(0,1)1. XPN

13、X?24.996P6.262,(15)2.222 ),1 , 0(. 1NX58. 196. 196. 158. 1 XPXPXP 58. 1196. 1 XPXP918. 0)943. 01 (975. 0)58. 1 (1 )96. 1 ( 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念注意注意 應注意分布表的定義與查法！應注意分布表的定義與查法！(15)2.2224.996P6.2622 24.996P6.262P22 0.9250.050.975 996.24)15(262. 6)15(205. 02975. 0 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念3.自由度為自由度為 n的的 t 分布分布Tt(n)

14、又稱學生氏分布又稱學生氏分布-第一個研究者第一個研究者以以Student作筆名發(fā)表文章作筆名發(fā)表文章. .RxnxnnnxfnT ,)1()2()21()(212 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念即即隨機變量隨機變量 T 服從服從自由度為自由度為 n 的的 t 分布分布. 定理定理2 設隨機變量設隨機變量X, Y 相互獨立相互獨立, X N(0,1)，Y 2(n)，則，則)(ntnYXT 結構定理結構定理數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 )()()(ntTdxxfntTP陰影部分面陰影部分面積為積為 t (n) 的的上側分位數上側分位數 t (n) ( 0 1 )：數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本

15、概念T 分布的特點分布的特點：1.關于縱軸對稱關于縱軸對稱：)()(1ntnt 例例 查表計算查表計算：0.95(20)?t 7247. 1)20()20()20(05. 005. 0195. 0 ttt解解數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念t t= t1 因因 =PTt=PT t=1 PT t故故 PTt=1.即即 t= t1 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念例例 查表計算查表計算：0.95(80)?t 解解645. 1)80()80(05. 005. 095. 0 utt)30()( nunt 2. n 較大時，較大時，).()(limxxfTn 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 4. F

16、分布分布 F F ( n1 , n2 )121121212222121212()2(),0( )() ()220,0nnnnnFnnnnxn xnxnnfxx 稱稱X 服從第一自由度為服從第一自由度為n1,第二自由度為第二自由度為n2的的F分布分布. .數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 定理定理3 設隨機變量設隨機變量X，Y 相互獨立相互獨立， X 2(n1) ，Y 2(n2)，則，則即隨機變量即隨機變量 F 服從第一自由度為服從第一自由度為n1，第二自，第二自由度為由度為n2 的的F分布分布.),(2121nnFnYnXF 結構定理結構定理數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念F ( n1 , n

17、2 )的的上側分位數上側分位數F ( n1 , n2 ) ( 0 1 )： ),(2121)(),(nnFFdxxfnnFFP陰影部分陰影部分面積為面積為 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念推論推論1推論推論2),(1),( 1221nnFFnnFF若若),(1),(),( 1221121nnFnnFnnFF 若若數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念證證),(11),(1211211nnFFPnnFFP ,),(11211 nnFFP),(112nnFF又因又因),(),(112211nnFnnF 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念二、抽樣分布定理二、抽樣分布定理定理定理1則則方差，方差，分別是樣本均

18、值和樣本分別是樣本均值和樣本的樣本的樣本是正態(tài)總體是正態(tài)總體設設2221,),(,.,SXNXXXXn ;)1(2相相互互獨獨立立與與SX2(2)( ,);XNn );1(1)3(222 nSn )1()4( ntnSX 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念應用例應用例)1 , 0()2(:)4(NnXU 由由證明證明)1()1()3(222 nSnV 由由可可得得再再由由定定理理是是相相互互獨獨立立的的和和可可知知由由2 . 2 . 6 ,)1(VU11)1()1(22 nSnnXnVU )1( ntnSX 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念定理定理2)1, 1()1(2122222121 nnF

19、SSF 設正態(tài)總體設正態(tài)總體 X 與與 Y 相互獨立，相互獨立， X , 樣本為樣本為(X1,X2， X n1),樣樣本均值和樣本方差為本均值和樣本方差為 ；21, SX),(211 N Y ，樣本為，樣本為( Y1,Y2， Y n2)，樣本均值和樣本方差為樣本均值和樣本方差為 .22, SY),(222 N有有時，時，當當2221)2( 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念YX )2(11)()(212121 nntnnSYXTw 2)1()1(21222211 nnSnSnSw其其中中， 分析分析 證明證明: (2) 服從服從正態(tài)分布正態(tài)分布，Sw2可化為可化為 2分布分布,二者組合而成的統(tǒng)計

20、量應服從二者組合而成的統(tǒng)計量應服從 t 分布分布.22221 因因數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念)11( ,(22121 nnNYX 故故)1 , 0(11)()(2121NnnYXU 令令分分布布的的可可加加性性，由由2 )2()1()1(2122222211 nnSnSnV 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念 因因 ， 相互獨立，故相互獨立，故U 與與 V也相互也相互 獨立，從而獨立，從而21,SX22,SY2)(21 nnVUT2)(11w)()(212121 nntnnSYX 數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計基本概念例例 2 2 設設nXXX,21是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本，記記 kiiknkXkX1)1(1，求統(tǒng)計量，求統(tǒng)計量kkXX 1的分布的分布 ( (nk 1) )。 解解 由由 ,11)(11)(1111 kikiikkXEkXE 同同理理 )(kXE 所以所以0)(1 kkXXE數理統(tǒng)計基本概念數理統(tǒng)計