直線與圓錐曲線綜合問題

1、直線與圓錐曲線綜合問題一考點(diǎn)分析。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離.直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個(gè)一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、.直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則它的弦長上面的公式實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因?yàn)椋\(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)直線斜率不存在是,則.注: 1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論

2、，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運(yùn)算；2.當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，二是點(diǎn)差法；3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個(gè)途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍,二是建立不等式，通過解不等式求范圍.二考試探究圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)之一.高考對圓錐曲線的考查，總體上是以知識應(yīng)用和問題探究為主，一般是給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡單的幾何性質(zhì)；或給出曲線滿足的條件，判斷（求）其軌跡；或給出直線與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系，討論與其有關(guān)的其他問題（如直線的方程、直線的條數(shù)、弦長、曲線中參變量的取值范圍等）；或考查圓錐曲線與其他知識綜合（如

3、不等式、函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)等）的問題等.1. （2006年北京卷，文科，19）橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且（）求橢圓C的方程；（）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線l的方程.解析（）由橢圓的定義及勾股定理求出a,b,c的值即可，（）可以設(shè)出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求出直線方程，也可以利用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求出直線方程.答案解法一：()因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4,所

4、以橢圓C的方程為1.()設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）.已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）.從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對稱.所以 解得，所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，所以

5、x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)2（2008年山東卷，文科，22）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線是上異于橢圓中心的點(diǎn)（1）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值解析（）由三角形面積公式和點(diǎn)到直線的距離公式可得關(guān)于a，b的方程組， 曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，顯然為焦點(diǎn)在x軸的橢圓；（）（1）

6、設(shè)出的方程，聯(lián)立直線與橢圓得到方程組后，由可得的軌跡方程，注意或不存在時(shí)所得方程仍然成立；（2）由直線的方程：和橢圓方程聯(lián)立后表示出由不等式放縮即可求出最小值.答案（）由題意得又，解得，因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）（1）假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，解方程組得，所以設(shè)，由題意知，所以，即，因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以直線的方程為，即，因此，又，所以，故又當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立綜上所述，的軌跡方程為（2）當(dāng)存在且時(shí)，由（1）得，由解得，所以，解法一：由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即時(shí)等號成立，此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜上所述，的面積的最小值為解法二：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)

7、等號成立，即時(shí)等號成立，此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜上所述，的面積的最小值為3（廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008屆高三第三次模擬考試，理科，20）已知拋物線x2=y，直線L：(m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (mR且m1)與拋物線交于A，B兩點(diǎn).（1） 當(dāng)m=0時(shí)，試用x,y的不等式組表示由直線L和拋物線圍成的封閉圖形所在平面區(qū)域(包邊界) ,并求該區(qū)域的面積.（2）求證：對任意不為零的實(shí)數(shù)m，拋物線的頂點(diǎn)都在以線段AB為直徑的圓C上；并求圓C的圓心的軌跡方程.（3）將拋物線x2=y的圖像按向量=（4，16）移動(dòng)后得到函數(shù)y=f(x)的圖像，若問是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=

8、g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.解析（1）所要表示的平面區(qū)域包括邊界，要注意不等式取等號，由定積分即可求出相應(yīng)的面積，計(jì)算時(shí)可以整體代入；（2）證明拋物線的頂點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓C上，即證明，圓C的圓心的軌跡可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式利用“代入法”求得；（3）構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋詙=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)問題就可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)正零點(diǎn)的問題，要對的單調(diào)性進(jìn)行討論，從而求出使得由兩個(gè)正零點(diǎn)的的取值范圍解 ：.（3）依題意，f(x)=-x2+8x,令因?yàn)閤0，要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)的圖

9、象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)x（0，1）時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)x（1，3）時(shí)，是減函數(shù)當(dāng)x（3，+）時(shí)，是增函數(shù)當(dāng)x=1或x=3時(shí)，又因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)， 當(dāng)所以要使有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須 即m=7或當(dāng)m=7或時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn).4（2008年廣東卷，文科，20）設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為如圖所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必

10、具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）解析（1）由已知可求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出拋物線在點(diǎn)的切線方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓方程也可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出，得出橢圓方程和拋物線方程；（2）以為直角和以為直角的直角三角形顯然各一個(gè)，以為直角的直角三角形是否存在可以轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的方程是否有解的問題，從而可以求出滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù).答案（1）由得，當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理 以為直角的只有一個(gè)。若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。關(guān)于的二次方程

11、有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。高考預(yù)測1. （2007年山東高考真題模擬試卷八，理科，22）橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)F1（c，0）、F2（c，0），M是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足（）求離心率e的取值范圍；（）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為求此時(shí)橢圓G的方程；（）設(shè)斜率為k（k0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由.答案（I）設(shè)M（x0，y0） 又 由得代入式整理得 又 解得 （）（i）當(dāng)設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，則若0由

12、（舍去）若b3，當(dāng)y=3時(shí)，|HN|2有最大值2b2+18由2b2+18=50得b2=16所求橢圓方程為 （ii）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），則由 又直線PQ直線l 直線PQ方程為將點(diǎn)Q（x0，y0）代入上式得， 由得Q（解1）而Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部 由此得 故當(dāng)時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對稱. （解2）AB所在直線方程為由得 顯然1+2k20而 直線l與橢圓有兩不同的交點(diǎn)A、B 0 解得故當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對稱。（ii）另解；設(shè)直線l的方程為y=kx+b由得設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），則 又直線PQ直線l 直線PQ方程為將點(diǎn)Q（x0，y0）代入上式得， 將代入x1，x2是（*）的兩根代入得當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對稱2（2008年山東卷，理科，22）如圖，設(shè)拋物線方程為為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為（I）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（II）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；（III）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，