第一章數(shù)學(xué)美學(xué)

1、數(shù)學(xué)文化教案·第一章 數(shù)學(xué)美學(xué) 第一章 數(shù)學(xué)美學(xué)第一章概述：許多人的許多行為是出于審美動(dòng)機(jī)。這里說(shuō)了兩個(gè)“許多”，準(zhǔn)確地說(shuō)，所有正常的人都有審美活動(dòng)。越廣泛的審美活動(dòng)，使人越熱愛(ài)生活；越深入的審美活動(dòng)，使人有越強(qiáng)烈的追求和理想，越充滿生命活力。人們?cè)谂c數(shù)學(xué)接觸的過(guò)程中，也有審美活動(dòng)嗎?當(dāng)然，我們盼望有。因?yàn)椋绻谶@一過(guò)程中有廣泛的審美活動(dòng)，那就會(huì)使我們更加熱愛(ài)數(shù)學(xué)；如果這種活動(dòng)不斷深入，甚至?xí)刮覀儺a(chǎn)生充滿活力的數(shù)學(xué)理想，進(jìn)而有所成就。沒(méi)有可能讓所有的人成為數(shù)學(xué)家，現(xiàn)實(shí)生活中也不可能有很多的數(shù)學(xué)家。但是，應(yīng)該而且可能盼望幾乎所有的人愿意跟數(shù)學(xué)打交道，盼望有更多的人從數(shù)學(xué)那里獲益，也

2、盼望中國(guó)有更多一些數(shù)學(xué)家。中國(guó)古代曾是個(gè)數(shù)學(xué)水平很高的國(guó)家，歷史證明，中國(guó)人是擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的。新的世紀(jì)里，曾有人預(yù)言中國(guó)將成為數(shù)學(xué)大國(guó)?！耙粋€(gè)國(guó)家的科學(xué)水平可以用它消耗的數(shù)學(xué)來(lái)度量”(A·N·拉奧(Rao)語(yǔ))，繁榮昌盛的中國(guó)需要數(shù)學(xué)。利益的考慮是一個(gè)方面，然而僅僅只有利益的考慮，又不可能有大批杰出的數(shù)學(xué)家出現(xiàn)。如果你感到它是過(guò)于嚴(yán)肅的，甚至感到它是單調(diào)的、冷酷的、無(wú)情的，你會(huì)深入地接近它嗎?親切、激情在美感消失的時(shí)候都會(huì)消失，因而，創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動(dòng)也難以出現(xiàn)。自覺(jué)的審美需要是一種較高級(jí)的心理活動(dòng)，數(shù)學(xué)活動(dòng)中產(chǎn)生這種心理需要也要有一個(gè)過(guò)程。我們能否考慮這樣兩個(gè)目標(biāo)呢?一是使中學(xué)

3、高年級(jí)學(xué)生以及必須繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的大學(xué)生們都多少能從審美的角度看待數(shù)學(xué)；二是數(shù)學(xué)教師們，無(wú)論是哪一類學(xué)校的數(shù)學(xué)教師們，都具有一定的數(shù)學(xué)美學(xué)修養(yǎng)。沒(méi)有第二個(gè)目標(biāo)就不可能有第一個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。更基本的問(wèn)題是，數(shù)學(xué)真的是值得人們?nèi)バ蕾p的嗎?數(shù)學(xué)有美可言嗎?如果對(duì)這個(gè)問(wèn)題不做回答，前面的問(wèn)題都沒(méi)有意義了。進(jìn)一步的問(wèn)題，如“數(shù)學(xué)審美對(duì)人的一般審美能力的提高甚至對(duì)人的一般發(fā)展也有作用嗎”這一類問(wèn)題也以這個(gè)更基本的問(wèn)題為基礎(chǔ)。因此有必要先討論這個(gè)更基本的問(wèn)題。第一節(jié) 對(duì)正整數(shù)的美學(xué)審視一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解完美數(shù)、默森數(shù)、回文素?cái)?shù)、孿生素?cái)?shù)的奇異與美妙；2、由素?cái)?shù)的分布的若干特點(diǎn)體會(huì)人類對(duì)審美的追求；3、感受正

4、整數(shù)中的美學(xué)價(jià)值。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 對(duì)正整數(shù)的美學(xué)感受。三、教學(xué)過(guò)程： 每個(gè)人最初接觸的都是正整數(shù)。那么，我們每個(gè)人就可以首先問(wèn)自己：對(duì)正整數(shù)的感覺(jué)如何？很多的人可能說(shuō)“沒(méi)有什么感覺(jué)”。然而，正整數(shù)曾引起過(guò)無(wú)數(shù)人的興趣和喜好，而且是一個(gè)長(zhǎng)盛不衰的論題。1、完美數(shù)很早很早，人們就思索正整數(shù)的分解，看一個(gè)正整數(shù)是幾個(gè)正整數(shù)的乘積，也就是一個(gè)正整數(shù)能被哪些正整數(shù)整除的問(wèn)題。除了1和它自己而外的任何正整數(shù)都不能整除它時(shí)，稱它為素?cái)?shù)或質(zhì)數(shù)。例如，2是最小的素?cái)?shù)，也是惟一的偶素?cái)?shù)，在奇數(shù)當(dāng)中，最小的素?cái)?shù)是3，此外，5，7，U，13等都是素?cái)?shù)，但整數(shù)中很多不是素?cái)?shù)。若m整除n，稱m為n的一個(gè)因數(shù)，1和n

5、是兩個(gè)很特殊的因數(shù)?，F(xiàn)在考慮n的一切因數(shù)之和，假若n是一個(gè)素?cái)?shù)，那么n的因數(shù)之和是n +1，反過(guò)來(lái)也對(duì)，若n的因數(shù)之和是n +1；則n是素?cái)?shù)。有人問(wèn)：你喜歡哪個(gè)數(shù)，許多人未曾思索過(guò)，一時(shí)答不上。稍加思考，也覺(jué)得1，2，3，4，好像沒(méi)有什么差別。當(dāng)然，根據(jù)我們漢語(yǔ)的發(fā)音，有人喜歡8，因?yàn)槟撬坪跻馕吨鞍l(fā)”；也有人喜歡6，因?yàn)槟且馕吨樌?。但這并不是出自對(duì)數(shù)本身性質(zhì)的原因而產(chǎn)生的喜好。數(shù)有許多不同的性質(zhì)，人們可能不會(huì)因其有某種性質(zhì)而一定喜歡它，但是一些奇妙的性質(zhì)則很可能引起人們的興趣。奇妙的性質(zhì)也不少，人們對(duì)數(shù)的興趣也可能各不相同，也可能有多方面的興趣。6這個(gè)數(shù)的因數(shù)有1，2，3，6(暫約定1和6

6、自身亦算其因數(shù))，其和恰為12，6的兩倍；如果不計(jì)6自身，則其因數(shù)之和恰是它自己。28也具有這樣的性質(zhì)，其因數(shù)1，2，4，7，14之和恰等于28。這是第二個(gè)具有這種性質(zhì)的正整數(shù)。496，仔細(xì)看看，1，2，4，8，16，31，62，124，248是它的因數(shù)，它們的和也正等于496。第四個(gè)具有這種性質(zhì)的數(shù)稍難找一些，它是8 128?？墒牵磺О税俣嗄曛熬椭? 128具有其各因數(shù)之和恰為它自己(不計(jì)它自己)的性質(zhì)。人們把這種數(shù)稱之為完美數(shù)，即各因數(shù)之和為它的兩倍或不計(jì)它自己時(shí)恰等于它的那種數(shù)叫完美數(shù)。6，28，496，8128便是很久以前知道的4個(gè)最小的完美數(shù)?？磥?lái)，完美數(shù)不多，已可初步看到，前

7、八千多個(gè)正整數(shù)中才4個(gè)！物以稀為貴，完美數(shù)希罕。完美數(shù)，人們用美來(lái)形容數(shù)。順便看一下漢語(yǔ)里以“美”字組詞的情況。美好，把美與善聯(lián)系在一起；美妙，把美與奇異聯(lián)系在一起；美滿，把美與情感聯(lián)系在一起；美言、美談、美味、用美來(lái)形容一些行為和感覺(jué)。又有壯美、俊美、秀美、完美、對(duì)不同性質(zhì)的美的區(qū)分。漢語(yǔ)有關(guān)美的豐富詞匯本身反映了在我們文化中對(duì)美的多方面的準(zhǔn)確理解。用完美來(lái)形容6、28、496、這一類數(shù)也很恰當(dāng)。這種數(shù)的完美，一方面表現(xiàn)在它稀罕、奇妙，一方面表現(xiàn)在它的完滿，各因數(shù)和不多不少等于它自己。第五個(gè)完美數(shù)在哪里?很不容易尋找。在距離發(fā)現(xiàn)第四個(gè)完美數(shù)之后一千多年，于公元1538，年才發(fā)現(xiàn)第五個(gè)完美數(shù)3

8、3 550 336。又過(guò)了50年，才發(fā)現(xiàn)第六個(gè)是： 8 589 869 056尋找這種數(shù)那么難，卻還是有人去尋找，到現(xiàn)在為止也還只發(fā)現(xiàn)二十多個(gè)。為什么去尋找呢?是因?yàn)檫@種數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有什么特別的用途嗎?目前確實(shí)還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，是它的奇異和美麗吸引了許多的人。2、默森數(shù)在探尋完美數(shù)時(shí)，歐幾里得就已發(fā)現(xiàn)它可能是形如的數(shù)。容易驗(yàn)證，當(dāng)n =2時(shí)，正是；當(dāng)n =3時(shí)，即有還可看到； 正好，、是最小的4個(gè)完美數(shù)。也難怪第五、第六個(gè)完美數(shù)的發(fā)現(xiàn)要困難一些，、都不是完美數(shù)，而33 550 336= 8 589 869 056，才是第六個(gè)完美數(shù)。對(duì)這6個(gè)完美數(shù)的觀察可以發(fā)現(xiàn)，n = 2，3，5，7，13，17都

9、是素?cái)?shù)，此外，還可發(fā)現(xiàn)都是素?cái)?shù)。歐幾里得當(dāng)時(shí)就想到過(guò)，如果n和同時(shí)是素?cái)?shù)的時(shí)候是完美數(shù)。后來(lái)，在18世紀(jì)有一位數(shù)學(xué)家證明了偶完美數(shù)確實(shí)是形如的數(shù)，其中n與為素?cái)?shù)。這樣，形如的素?cái)?shù)就與完美數(shù)有十分密切的關(guān)系了。只要確定了是素?cái)?shù)，就很容易確定相應(yīng)的完美數(shù)了。形如的素?cái)?shù)被稱為默森素?cái)?shù)，并記為。默森本人只確證了當(dāng)n =2，3，5，7，13，17，19，31時(shí)是素?cái)?shù)，也就是說(shuō)他本人只發(fā)現(xiàn)了8個(gè)默森素?cái)?shù)，事實(shí)上，這8個(gè)之中的前6個(gè)是前人發(fā)現(xiàn)的。這都是距今350多年前的事了，然而默森素?cái)?shù)一直被人研究著。除了已提到的8個(gè)外，另外還有20個(gè)形如的默森數(shù)，其中n = 61，89，107，127，521，607，1

10、 279，2 203，2281，3 217，4 253， 4423，9 689，9941，11 213，19937，21 701，23 209，44497，86243第28個(gè)默森素?cái)?shù)2 86 243 1已是一個(gè)非常大的數(shù)，這個(gè)數(shù)寫出來(lái)共有兩萬(wàn)五千多位。僅寫下這個(gè)數(shù)就要花幾個(gè)小時(shí)，用二三十頁(yè)紙，至于要判斷它是否素?cái)?shù)，那就難上加難了。你只要試試判斷641，811，977這樣的3位數(shù)是否素?cái)?shù)，就能體會(huì)到有一定的難度，更不要說(shuō)對(duì)十位數(shù)、百位數(shù)是否素?cái)?shù)判斷時(shí)的難度，對(duì)于像2 86 243 1這樣大的數(shù)，如果沒(méi)有計(jì)算機(jī)幫忙來(lái)判斷是難以想象的。默森數(shù)的研究在代數(shù)編碼等應(yīng)用學(xué)科中能派上用場(chǎng)。但是，長(zhǎng)久以來(lái)，對(duì)

11、這種素?cái)?shù)的研究并非由應(yīng)用而推動(dòng)的。應(yīng)用中也有美，應(yīng)用美。然而，關(guān)于整數(shù)的許多奇特性質(zhì)的研究常常出自人們對(duì)自然美的欣賞與追求，人類的智慧光芒也在其中閃爍，人也在這種追求中顯示自己的價(jià)值。3、回文素?cái)?shù)古人詩(shī)作中有一種“回文詩(shī)”，這種詩(shī)完全反過(guò)來(lái)念也成一首詩(shī)，如晚秋即景：煙霞映水碧迢迢，暮色秋色一雁遙。前嶺落暉殘照晚，邊城古樹(shù)冷蕭蕭。把這首詩(shī)從最后一個(gè)字“蕭”起倒過(guò)來(lái)念，即成了蕭蕭冷樹(shù)古城邊，晚照殘暉落嶺前。遙雁一色秋色暮，迢迢碧水映霞煙。數(shù)學(xué)中也有“回文質(zhì)數(shù)”(參見(jiàn)吳振奎等著數(shù)學(xué)中的美)。回文質(zhì)數(shù)是指那樣的素?cái)?shù)，將它的各位數(shù)碼完全倒過(guò)來(lái)寫，卻仍是素?cái)?shù)。例如，19是素?cái)?shù)，若倒過(guò)寫便是91，它不是素?cái)?shù)

12、(91=7×13)，所以19雖是素?cái)?shù)，但不是回文素?cái)?shù)。不是回文素?cái)?shù)的素?cái)?shù)很多。但是，如13這樣的素?cái)?shù)，倒過(guò)來(lái)寫是31，31則是素?cái)?shù)，所以13是回文素?cái)?shù)(13與3l互為素?cái)?shù))。此外，17與71、113與311、347與743、769與967等都是回文素?cái)?shù)。人們以像作詩(shī)的那樣的興趣去計(jì)算和研究回文素?cái)?shù)?；匚乃?cái)?shù)是一對(duì)對(duì)的，2位數(shù)回文素?cái)?shù)有4對(duì)；3位數(shù)的回文素?cái)?shù)共13對(duì)；4位數(shù)的有102對(duì)；5位數(shù)的有684對(duì)；究竟有多少對(duì)回文素?cái)?shù)，至今還不清楚。314 159是一個(gè)素?cái)?shù)，951 413也是個(gè)素?cái)?shù)。人們浮想聯(lián)翩，竟發(fā)現(xiàn)，的前六位數(shù)字是一個(gè)回文素?cái)?shù)。更容易看到，的前兩位數(shù)字31也是一個(gè)回文素?cái)?shù)

13、。是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其各位數(shù)字似乎是毫無(wú)規(guī)律的，可是人們也發(fā)現(xiàn)了它許多奇妙而有趣的性質(zhì)。這僅是一例。19世紀(jì)下半葉，不僅證明了是無(wú)理數(shù)，而且還證明了它不是代數(shù)無(wú)理數(shù)，即證明了它是超越數(shù)。我們對(duì)此稍加解釋。是一個(gè)無(wú)理數(shù)，但它是代數(shù)方程的根；也是一個(gè)無(wú)理數(shù)，但它是方程的根。，等一類無(wú)理數(shù)稱為代數(shù)無(wú)理數(shù)。雖是無(wú)理數(shù)，但它不是任何有理系數(shù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)或相應(yīng)方程的根。因此，是超越無(wú)理數(shù)。證明為一超越數(shù)是一項(xiàng)很艱難的工作，完成這一證明也是對(duì)的認(rèn)識(shí)的一個(gè)飛躍。幾千年前，人們就在思考圓周長(zhǎng)與其直徑之比，稱為圓周率，兩百多年前才用這樣一個(gè)希臘字母表示它，一百多年前才證明它不僅是無(wú)理數(shù)，還是一個(gè)超越數(shù)。對(duì)的這

14、種深入認(rèn)識(shí)，主要體現(xiàn)了人類探索真理的一種精神?，F(xiàn)實(shí)生活里，10個(gè)人中知道是無(wú)理數(shù)的可能有9人，而不知道它是超越數(shù)的，10個(gè)人之中也可能有9個(gè)；記得的前4位小數(shù)的，10人之中至少有9位，記得的前7位小數(shù)的，10人之中至多有9位，記得的前10位小數(shù)的，10人之中未必有一位。事實(shí)上，般人記得前4位就夠了；即使是土木工程師，記得7位也夠用了；如果要計(jì)算地球周界并要求精確到一英寸之內(nèi)，也只需要用到的10位小數(shù)。如果講實(shí)用，人們用不著計(jì)算冗的更多位小數(shù)了，可是，我國(guó)南北朝時(shí)期的祖沖之就已算到了的7位小數(shù)；16世紀(jì)時(shí)歐洲人算到35位。近代有了計(jì)算機(jī)之后，能夠算到更多位了，1958年已算到了的一萬(wàn)位小數(shù)；19

15、87年則算到了一億位以上；1995年算到了40多億位。沒(méi)有計(jì)算機(jī)，這一結(jié)果是難以想象的，如果將這40多億位數(shù)字打印出來(lái)，需用厚厚的一萬(wàn)本書(shū)！ 關(guān)于，還可注意到這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：它的小數(shù)點(diǎn)后的前三位數(shù)字141的和1+4+1=6是第一個(gè)完美數(shù)；前七位數(shù)字1 415 926之和 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28恰是第二個(gè)完美數(shù)28真是不可思議。4、孿生素?cái)?shù)大于2的素?cái)?shù)必然是奇數(shù)，連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)都是素?cái)?shù)的情形引起人們很大的興趣。例如，3與5這樣兩個(gè)連著的奇數(shù)同是素?cái)?shù)；5與7，11與13也是連著的成對(duì)出現(xiàn)的素?cái)?shù)。稱這種相連出現(xiàn)的一對(duì)素?cái)?shù)為孿生素?cái)?shù)，它們像“孿生兄弟”一樣。用

16、比較數(shù)學(xué)化的說(shuō)法便是：當(dāng)與+2同為素?cái)?shù)時(shí)，稱與+2為一對(duì)孿生素?cái)?shù)。孿生素?cái)?shù)在數(shù)的群體之中，就像“孿生兄弟”在人的群體中特別被人關(guān)注一樣。接下去，我們還容易立即看到幾對(duì)孿生素?cái)?shù)：17，19；29，31；41，43；59，61；71，73；101，103；107，109；137，139； 更大的，4位數(shù)的孿生素?cái)?shù)，如 3 389，3 391；4967，4969；找出10位數(shù)以上的孿生素?cái)?shù)就十分不容易了，如99 999 999 959，99 999 999 961；1 000 000 009 649，1 000 000 009 651；70年代末發(fā)現(xiàn)了更大的孿生素?cái)?shù)：297×2546 l，

17、297×2546 + 1隨之又發(fā)現(xiàn)1 159 142 985×22 304 1， 1 159 142 985×22 304 +1已經(jīng)知道，十萬(wàn)以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)有一千多對(duì)，一億以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)有十萬(wàn)對(duì)以上。究竟有多少對(duì)孿生素?cái)?shù)呢?德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道猜想有無(wú)窮多對(duì)！順便指出，德國(guó)、英國(guó)、法國(guó)、美國(guó)等都是在關(guān)于數(shù)的理論研究方面水平較高的國(guó)家。美國(guó)被認(rèn)為是十分講究實(shí)用的國(guó)家，可是，諸如數(shù)的理論這樣一些并不以應(yīng)用為主要目的的研究的水平卻極高。應(yīng)當(dāng)怎樣解釋這種現(xiàn)象呢?美學(xué)能解釋嗎?是數(shù)學(xué)美學(xué)的吸引力嗎?人們還發(fā)現(xiàn)所謂四生素?cái)?shù)并研究它，這4個(gè)素?cái)?shù)的尾數(shù)為1、3、7、9，且它們?cè)趎

18、15;10與(n +1)×10之間，下面是幾組四生素?cái)?shù)的例子：11， 13， 17， 19；101， 103， 107， 109；191， 193， 197， 199；821， 823， 827， 829；1 481，1 483，1 487，1 489；人們又進(jìn)一步研究了由素?cái)?shù)組成的等差數(shù)列(又稱算術(shù)數(shù)列，等比數(shù)列則稱幾何數(shù)列)。例如，3，5，7就形成了一個(gè)公差為2的等差素?cái)?shù)列。47，53，59則構(gòu)成了一個(gè)公差等于6的算術(shù)素?cái)?shù)數(shù)列。后來(lái)人們找到了達(dá)10項(xiàng)之多的算術(shù)素?cái)?shù)列，其首項(xiàng)是199，公差是210：199， 409， 619， 829，1 039，1 249， 1 459， 1 6

19、69， 1 879， 2 0891977年發(fā)現(xiàn)了有17項(xiàng)的算術(shù)素?cái)?shù)列。1978年發(fā)現(xiàn)了有18項(xiàng)的算術(shù)素?cái)?shù)列。1984年，康奈爾大學(xué)教授Pritchard發(fā)現(xiàn)了有19項(xiàng)的算術(shù)素?cái)?shù)列，其首項(xiàng)與公差分別是：8 297 644 387，4 180 566 3905、素?cái)?shù)的分布的若干特點(diǎn)素?cái)?shù)的分布狀況是人們研究的重要問(wèn)題之一。孿生素?cái)?shù)、四生素?cái)?shù)、算術(shù)素?cái)?shù)列的狀況在一定程度上也反映了素?cái)?shù)分布的某種特點(diǎn)。它的分布看似沒(méi)有規(guī)律，可是人們總是力圖從“萬(wàn)里晴空”中看出點(diǎn)什么來(lái)。(1) 素?cái)?shù)怎樣分布?在1至100之間有25個(gè)素?cái)?shù)，在100至200之間有21個(gè)素?cái)?shù)，在200至300之間有16個(gè)，在300至400之間也

20、是16個(gè)，在400至500之間有17個(gè)，在500至600之間則只有14個(gè)素?cái)?shù)了，600至700之間又有16個(gè)，700至800之間是14個(gè)，800至900之間是15個(gè)，900至1 000之間是14個(gè)。這樣看來(lái)，在每100個(gè)連續(xù)的整數(shù)中，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)似乎在逐漸減少，但有起伏，看不出什么規(guī)律。細(xì)心觀察(也可以說(shuō)細(xì)心欣賞)的人們不會(huì)就此罷休，還會(huì)繼續(xù)觀察下去的。再看看，在1至100之間的100個(gè)整數(shù)中，有25個(gè)素?cái)?shù)，素?cái)?shù)占14；在1至1 000之間的1 000個(gè)整數(shù)中，有168個(gè)素?cái)?shù)，大約只占16了；在1至10000之間的10000個(gè)整數(shù)之中，有1 229個(gè)素?cái)?shù)，素?cái)?shù)不到18了；在1至100 000的十

21、萬(wàn)個(gè)整數(shù)之中，有素?cái)?shù)9 592個(gè)，不到110了。這種觀察，似乎可明顯地看到，素?cái)?shù)漸漸地比較稀疏了?？墒?，這并不算看出了很明確的變化規(guī)律。還有一種不同角度的觀察。在2與4之間有素?cái)?shù)3，在3與6之間有素?cái)?shù)5，在4與8之間有素?cái)?shù)7，在5與10之間有素?cái)?shù)7，在6與12之間有素?cái)?shù)7、11，在7與14之間有素?cái)?shù)11、13，在8與16之間有素?cái)?shù)11、13，。有一位先生一直觀察到600 000，發(fā)現(xiàn)在一個(gè)正整數(shù)n和它的兩倍2 n之間至少有一個(gè)素?cái)?shù)，于是他猜想，雖然，素?cái)?shù)是越來(lái)越分布得稀疏了，但在任何n與2 n之間至少有一個(gè)素?cái)?shù)，亦即，即令稀疏，也不至于在一個(gè)整數(shù)橫跨到這一整數(shù)兩倍的區(qū)段內(nèi)沒(méi)有一個(gè)素?cái)?shù)。如果這個(gè)

22、猜想成立，那也表明，分布越來(lái)越稀疏的素?cái)?shù)，其分布還是有一定規(guī)律的。在那位先生提出這個(gè)猜想之后9年，一位俄國(guó)數(shù)學(xué)家證明了他的猜想是對(duì)的，即當(dāng)n 2時(shí)，對(duì)一切n，在，n與2 n之間必有一素?cái)?shù)。其實(shí)，當(dāng)n 4時(shí)，對(duì)一切n ，在n與2 n，之間就必定至少有一素?cái)?shù)。 (2) 素?cái)?shù)有多少個(gè)?由上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，立即可知素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。因?yàn)椋?與2·2=2 2之間有一個(gè)素?cái)?shù)； 2 2與2·2 2 =2 3之間也有一個(gè)素?cái)?shù)，這兩個(gè)素?cái)?shù)肯定不相同；爾后，我們又知道，2 3與24 之間至少有一素?cái)?shù)；一般來(lái)說(shuō)，對(duì)任何，n，2 n與2 n1之間至少有一素?cái)?shù)，這就表明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)(證明這一點(diǎn)已有多種

23、辦法)。證明對(duì)任何n在n與2 n之間至少有一素?cái)?shù)，這是19世紀(jì)的事。然而，在公元前，就用反證法證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。假定素?cái)?shù)只有有限個(gè)，記為S個(gè)，所有的S個(gè)素?cái)?shù)記為P1，P2，Ps。我們馬上可以考察下面這樣一個(gè)數(shù)： P = P1 + P2 + + Ps + 1，P顯然是比P1，P2，Ps都大的一個(gè)正整數(shù)，看看它是素?cái)?shù)還是合數(shù)(非素?cái)?shù))? 欲對(duì)此作出判斷，須了解這樣一個(gè)很容易理解的命題：任何合數(shù)至少能被一素?cái)?shù)整除?，F(xiàn)在又容易看出，P不能被P1，P2，Ps整除。按假設(shè)，即P不能被任何素?cái)?shù)整除，所以P不是合數(shù)，而是素?cái)?shù)。此外，也顯然可知P > Pi，(i =1，2，S)。這樣，我們就在所有素?cái)?shù)P1，P2，Ps之外又找出一個(gè)素?cái)?shù)P來(lái)了。這證明，素?cái)?shù)不可能是有限個(gè)。素?cái)?shù)分布比較稀疏，