高斯積分法講義（課堂PPT）

1、14.5 4.5 高斯求積公式高斯求積公式2 4.5.1 4.5.1 一般理論一般理論 求積公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(含有 個待定參數(shù)22n).,1 ,0(,nkAxkk 當(dāng) 為等距節(jié)點時得到的插值求積公式其代數(shù)精度至少為 次. kxn 如果適當(dāng)選取 有可能使求積公式具有 次代數(shù)精度，這類求積公式稱為高斯高斯(Gauss)求積公式求積公式. ), 1 ,0(nkxk12n3 為具有一般性，研究帶權(quán)積分,)()(badxxxfI這里 為權(quán)函數(shù)，)( x類似(1.3)，求積公式為 , )()()(0nkkkbaxfAdxxxf（5.1）為不依賴于 的求積系數(shù).),1 ,0(nkAk

2、)( xf使（5.1）具有 次代數(shù)精度.12n), 1 ,0(nkxk為求積節(jié)點，, ),1 ,0(nkkkAx及可適當(dāng)選取 定義定義4 4如果求積公式(5.1)具有 次代數(shù)精度，12n則稱其節(jié)點 為高斯點高斯點，相應(yīng)公式(5.1)稱為高斯求積公式高斯求積公式.),1 ,0(nkxk4 根據(jù)定義要使(5.1)具有 次代數(shù)精度，只要對12n),12,1 ,0(,)(nmxxfm.12, 1 , 0)(0nmdxxxxAnkbammkk（5.2）當(dāng)給定權(quán)函數(shù) ，求出右端積分，則可由(5.2)解得 )( x).,1 ,0(nkAxkk及令(5.1)精確成立，即5 例例5 5).()()(110010

3、 xfAxfAdxxfx（5.3） 解解令公式(5.3)對于 準(zhǔn)確成立，32, 1)(xxxxf;3210 AA試構(gòu)造下列積分的高斯求積公式： 得 ;520000AxAx;72121020AxAx（5.4）.92131030AxAx6由于 ,)()(1011001100AxxAAxAxAx利用(5.4)的第1式，可將第2式化為 .52)(321010Axxx同樣地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分別得 ;72)(5211010Axxxx從上面三個式子消去 有 ,)(101Axx.92)(72121010Axxxx7.92)5272(72;72)3252(52100100 xxxxxx

4、進(jìn)一步整理得 .9252)(72;7232)(5210101010 xxxxxxxx由此解出 ,910,2151010 xxxx從而 8.277556.0,389111.0;289949.0,821162.01010AAxx這樣，形如(5.3)的高斯公式是 )821162.0(389111.0)(10fdxxfx).289949.0(277556.0f 由于非線性方程組(5.2)較復(fù)雜，通常 就很難求解. 2n故一般不通過解方程(5.2)求 ，), 1 ,0(nkAxkk及而從分析高斯點的特性來構(gòu)造高斯求積公式. 9 定理定理5 5bxxxan10是高斯點的充分必要條件是以這些節(jié)點為零點的多項

5、式)()()(101nnxxxxxxx與任何次數(shù)不超過 的多項式 帶權(quán) 正交，n)( xP)( x.0)()()(1bandxxxxP（5.5） 證明證明即插值型求積公式(5.1)的節(jié)點必要性. ,H)(nxP設(shè),H)()(121nnxxP則10nxxx,10是高斯點，因此，如果 精確成立，)()()(1xxPxfn . )()()()()(011nkknkkbanxxPAdxxxxP因),1 ,0(0)(1nkxkn即有故(5.5)成立. 則求積公式(5.1)對于 充分性. 用 除 ，)(1xn )( xf記商為 ，)( xP余式為 ，)( xq即 , )()()()(1xqxxPxfn其中

6、 . nxqxPH)(),(,H)(12nxf對于由(5.5)可得 .)()()()(babadxxxqdxxxf（5.6）11由于求積公式(5.1)是插值型的，它對于 是精確的，nxqH)(. )()()(0nkkkbaxqAdxxxq即 再注意到),1 ,0(0)(1nkxkn), 1 ,0()()(nkxfxqkk知從而由(5.6)有babadxxxqdxxxf)()()()(. )(0nkkkxfA12可見求積公式(5.1)對一切次數(shù)不超過 的多項式均精確成立. 因此， 為高斯點. 12n),1 ,0(nkxk 定理表明在 上帶權(quán) 的 次正交多項式的零點就是求積公式(5.1)的高斯點.

7、 ,ba)( x1n 有了求積節(jié)點 ，再利用),1 ,0(nkxknkbammkkdxxxxA0)(對 成立，nm,1 ,0的線性方程.).,1 ,0(nkAk解此方程則得 nAAA,10則得到一組關(guān)于求積系數(shù)13 下面討論高斯求積公式(5.1)的余項. 利用 在節(jié)點 的埃爾米特插值)( xf),1 ,0(nkxk,12nH., 1 , 0),()(),()(1212nkxfxHxfxHkknkkn于是 )()!22()()(21)22(12xnfHxfnnn 也可直接由 的插值多項式求出求積系數(shù) nxxx,10).,1 ,0(nkAk即 14兩端乘 ，并由 到 積分，則得 )( xab.)(

8、)()()(12fRdxxxHdxxxfInbanba（5.7）其中右端第一項積分對 次多項式精確成立，故 12nnkkknxfAIfR0)(由于,0)()(21xxn.)()()!22()(21)22(bannndxxxnffR（5.8）.)()()!22()(21)22(banndxxxnf由積分中值定理得(5.1)的余項為 關(guān)于高斯求積公式的穩(wěn)定性與收斂性，有： 15 定理定理6 6),1 ,0(nkAk 證明證明,)(0nkjjjkjkxxxxxl它是 次多項式，n因而 是 次多項式，)(2xlkn2. )()()(0022niikibakxlAdxxxl注意到,)(kiikxl高斯求

9、積公式(5.1)的求積系數(shù) 全是正的. 考察 故高斯求積公式(5.1)對于它能準(zhǔn)確成立，即有 ,kA上式右端實際上即等于從而有 16由本定理及定理2，則得 推論推論 定理定理7 7.)()()(lim0bankkkndxxxfxfA.0)()(2bakkdxxxlA定理得證. 高斯求積公式(5.1)是穩(wěn)定的. ,)(baCxf設(shè)即則高斯求積公式(5.1)收斂，17 4.5.2 4.5.2 高斯高斯- -勒讓德求積公式勒讓德求積公式 在高斯求積公式(5.1)中，,1 , 1由于勒讓德多項式是區(qū)間 上的正交多項式，因此，1 ,1勒讓德多項式 的零點就是求積公式(5.9)的高斯點. )(1xPn形如

10、(5.9)的高斯公式稱為高斯高斯- -勒讓德求積公式勒讓德求積公式. 區(qū)間為則得公式 , 1)(x若取權(quán)函數(shù). )()(011nkkkxfAdxxf（5.9）18).0()(011fAdxxf令它對 準(zhǔn)確成立，即可定出 1)(xf.20A 這樣構(gòu)造出的一點高斯-勒讓德求積公式為),0(21)(11fdxxf是中矩形公式. 若取 的零點 做節(jié)點構(gòu)造求積公式 xxP)(100 x 再取 的兩個零點 構(gòu)造求積公式 )13(21)(22xxP31),31()31()(1011fAfAdxxf19令它對 都準(zhǔn)確成立，有 xxf, 1)(.03131;21010AAAA由此解出, 110 AA).31()

11、31()(11ffdxxf三點高斯-勒讓德公式的形式是 ).515(95)0(98)515(95)(11fffdxxf表4-7列出高斯-勒讓德求積公式(5.9)的節(jié)點和系數(shù). 從而得到兩點高斯-勒讓德求積公式 2056888890478628702369269000000000538469309061798046521452034785480339981008611363038888889055555560000000007745967020000000157735030100000002000000000.Axnkk表4-721 由(5.8)式，,1 , 1)()!22()(1121)22(

12、dxxPnffRnnn這里 是最高項系數(shù)為1的勒讓德多項式. )(1xPn 由第3章(2.6)及(2.7) .)1()!2(!)(2nnnnxdxdnnxP.122;,0)()(11nmnnmdxxPxPmn公式(5.9)的余項 22得).1 , 1()()!22)(32()!1(2)22(3432nnnfnnnfR（5.10）當(dāng) 時，有 1n).(1351)4(1ffR它比區(qū)間 上辛普森公式的余項 1 ,1)(901)4(1ffR還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值. 當(dāng)積分區(qū)間不是 ，而是一般的區(qū)間 時，1 ,1,ba只要做變換 23,22batabx可將 化為 , ,ba1 ,1.222)

13、(11dtbatabfabdxxfba（5.10）對等式右端的積分即可使用高斯-勒讓德求積公式. 這時 24 例例6 6用4點( )的高斯-勒讓德求積公式計算 3n.cos202xdxxI 解解先將區(qū)間 化為 ，2,01 ,11123.)1(4cos)1(4dtttI根據(jù)表4-7中 的節(jié)點及系數(shù)值可求得 3n. )467401. 0(.467402. 0)(30IxfAIkkk準(zhǔn)確值由(5.11)有 25 4.5.3 4.5.3 高斯高斯- -切比雪夫求積公式切比雪夫求積公式 若 且取權(quán)函數(shù) ,1,1ba,11)(2xx則所建立的高斯公式為 . )(1)(0112nkkkxfAdxxxf（5.

14、12）稱為高斯高斯- -切比雪夫求積公式切比雪夫求積公式. 26 由于區(qū)間 上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交多項式是1 ,1211x切比雪夫多項式，因此求積公式(5.12)的高斯點是 次1n切比雪夫多項式的零點，即為 ), 1 ,0(2212cosnknkxk(5.12)的系數(shù) 使用時將 個節(jié)點公式改為,1nAk1nnnkkxfndxxxf1112),(1)(個節(jié)點，（5.13）2)12(cosnkxk于是高斯-切比雪夫求積公式寫成 27由(5.9)，余項 )()!2(22)2(2nnfnfR 帶權(quán)的高斯求積公式可用于計算奇異積分. （5.14）).1 , 1(28 例例7 7用5點( )的高斯-切比雪夫

15、求積公式計算積分 5n.1e112dxxIx 解解當(dāng) 時由公式(5.13)5n51cos1012e5kkI由(5.14)式，誤差 e!1029fR,e)(,e)()2(xnxxfxf這里可得 .977463.3.106.49294.6 4.6 數(shù)數(shù) 值值 微微 分分 數(shù)值微分就是用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值. 30 4.6.1 4.6.1 中點方法與誤差分析中點方法與誤差分析 按導(dǎo)數(shù)定義可以簡單地用差商近似導(dǎo)數(shù)，這樣立即得到幾種數(shù)值微分公式 ,)()()(hafhafaf其中 為一增量，稱為步長步長. . h,)()()(hhafafaf（6.1）.2)()()(hhafhafaf

16、31 后一種數(shù)值微分方法稱為中點方法，它其實是前兩種方法的算術(shù)平均. 但它的誤差階卻由 提高到 )(hO).(2hO 較為常用的是中點公式. 為利用中點公式 hhafhafhG2)()()(計算導(dǎo)數(shù)的近似值，首先必須選取合適的步長，為此需要進(jìn)行誤差分析. 分別將 在 處做泰勒展開有 )(hafax 32 )(!5)(!4)(!3)(!2)()()()5(5)4(432afhafhafhafhafhafhaf代入中點公式得 )(!5)(!3)()()5(42afhafhafhG 從截斷誤差的角度看，步長越小，計算結(jié)果越準(zhǔn)確. 其中 . )(maxxfMhax 且,6)()(2MhhGaf（6.2

17、）33 再考察舍入誤差. 按中點公式，當(dāng) 很小時，因 與 很接近，直接相減會造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失. h)(haf)(haf 因此，從舍入誤差的角度來看，步長是不宜太小的. 例如，用中點公式求 在 處的一階導(dǎo)數(shù) xxf)(2x.222)(hhhhG取4位數(shù)字計算. 結(jié)果見表4-8(導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確值 ). 353553.0)2(f343000.00001.03500.0005.03535.01.03000.00005.03500.001.03564.05.03500.0001.03530.005.03660.01)()()(hGhhGhhGh8-表4 從表4-8中看到 的逼近效果最好，如果進(jìn)一步縮小

18、步長，則逼近效果反而越差. 1.0h則計算 的舍入誤差上界為 )(af 這是因為當(dāng) 及 分別有差入誤差 及 )(haf)(haf1.2,2)()()(21hhhGafaf,max21若令35它表明 越小，舍入誤差 越大，故它是病態(tài)的. h)(af 用中點公式(6.1)計算 的誤差上界為 )(af ,6)(2hMhhE要使誤差 最小，步長 不宜太大，也不宜太小. )(hEh其最優(yōu)步長應(yīng)為 ./33Mhopt36 4.6.2 4.6.2 插值型的求導(dǎo)公式插值型的求導(dǎo)公式 對于列表函數(shù) :)(xfy nnyyyyyxxxxx210210運用插值原理，可以建立插值多項式 作為它的近似. )(xPyn

19、由于多項式的求導(dǎo)比較容易，我們?nèi)?的值作為 的近似值，這樣建立的數(shù)值公式 )(xPn)(xf )()(xPxfn（6.3）統(tǒng)稱插值型的求導(dǎo)公式插值型的求導(dǎo)公式. 37 即使 與 的值相差不多，)(xf)(xPn與導(dǎo)數(shù)的真值 仍然可能差別很大.)(xf 導(dǎo)數(shù)的近似值 )(xPn 因而在使用求導(dǎo)公式(6.3)時應(yīng)特別注意誤差的分析. 依據(jù)插值余項定理，求導(dǎo)公式(6.3)的余項為 )()!1()()()(1)1(xnfxPxfnnn式中 . )()(01niinxxx),()!1()()1(1nnfdxdnx38 但如果限定求某個節(jié)點 上的導(dǎo)數(shù)值，那么第二項中kx 由于 是 的未知函數(shù)，所以對隨意給

20、出的點 ，xx誤差是無法預(yù)估的. 因式 變?yōu)榱?，這時余項公式為)(1knx).()!1()()()(1)1(knnknkxnfxPxf（6.4） 下面僅考察節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值并假定所給節(jié)點是等距的. 39 1. 兩點公式 設(shè)已給出兩個節(jié)點 上的函數(shù)值10, xx),(),(10 xfxf).()()(101001011xfxxxxxfxxxxxP對上式兩端求導(dǎo)，記 ，有 hxx01),()(1)(101xfxfhxP做線性插值 于是有下列求導(dǎo)公式： ).()(1)();()(1)(01110101xfxfhxPxfxfhxP40利用余項公式(6.4)知，帶余項的兩點公式是 );(2)()(1)(0

21、10fhxfxfhxf ).(2)()(1)(011fhxfxfhxf 41 2. 三點公式 設(shè)已給出三個節(jié)點 上的函數(shù)值，hxxhxxx2,02010做二次插值 )()()()(02010212xfxxxxxxxxxP)()()(1210120 xfxxxxxxxx),()()(2120210 xfxxxxxxxx令 上式可表示為 ,0thxx42).()1(21)()2()()2)(1(21)(21002xfttxfttxfttthxP兩端對 求導(dǎo)，有 t).()12()()44()()32(21)(21002xftxftxfththxP（6.5）式中撇號（）表示對變量 求導(dǎo)數(shù). x43)

22、;()(4)(321)(21002xfxfxfhxP 分別取 得到三種三點公式： ,2, 1 ,0t);()(21)(2012xfxfhxP).(3)(4)(21)(21022xfxfxfhxP帶余項的三點求導(dǎo)公式為 );(3)()(4)(321)(22100fhxfxfxfhxf );(6)()(21)(2201fhxfxfhxf （6.6）44其中的公式(6.6)是中點公式. 它比其余兩個三點公式少用了一個函數(shù)值. 用插值多項式 作為 的近似函數(shù)，還可以建立高階數(shù)值微分公式： )(xf)(xPn, 2 , 1)()()()(kxPxfknk).(3)(3)(4)(21)(22102fhxf

23、xfxfhxf 例如，將式(6.5)再對 求導(dǎo)一次，有 t),()(2)(1)(210202xfxfxfhthxP 45于是有 ).()(2)(1)(111212hxfxfhxfhxP 而帶余項的二階三點公式如下： ).(12)()(2)(1)()(211121kfhhxfxfhxfhxf （6.7）46 4.6.3 4.6.3 利用數(shù)值積分求導(dǎo)利用數(shù)值積分求導(dǎo) 微分是積分的逆運算，因此可利用數(shù)值積分的方法來計算數(shù)值微分. 設(shè) 是一個充分光滑的函數(shù)，)(xf, 1 ,0nabhnk),1, 1()()()(1111nkdxxxfxfkkxxkk（6.8）對上式右邊積分采用不同的求積公式就可得到

24、不同的數(shù)值微分公式. ,),()(khaxxfxk則有47 例如，用中矩形公式(1.2)，則得 ).,(),()2(241)(2)(11311 kkkkkxxxxhxhdxxkk從而得到中點微分公式 ).(62)()()(211kkkkfhhxfxfxf 若對(6.8)右端積分用辛普森求積公式，則有 ),(90)()(4)(3)()4(51111kkkkxxhxxxhdxxkk).,(11kkkxx48略去上式余項，并記 的近似值為 則得到辛普森數(shù)值微分公式 )()(kkxfx,km).1, 1()()(341111nkxfxfhmmmkkkkk這是關(guān)于 的 個方程組，nmmm,101n 已知

25、，)(nnxfm)()()()()()()()()()(41141141142331313300231221nnnhnnhhhnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfmmmm（6.9）),(00 xfm若 則可得49這是關(guān)于 的三對角方程組，且系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)的，可用追趕法求解(見第5章5.4節(jié)). 11,nmm 如果端點導(dǎo)數(shù)值不知道，那么對(6.9)中第1個和第 個方程可分別用 及 的中點微分公式近似，1n)(1xf )(1nxf).()(21),()(2101021xfxfhmxfxfhmnn然后求22,nmm即為 的近似值. )(,),(22nxfxf即取50 例例8 8給定

26、的一張數(shù)據(jù)表(表4-9左部)，xxf)(并給定 及 的值(見表4-9). )100(f )105(f 解解.24538260.029560227.029704785.024851482.041141141144321mmmm解之得),4,3,2, 1( imi 利用辛普森數(shù)值微分公式求 在)(xf104,103,102,101x上的一階導(dǎo)數(shù). 結(jié)果見表4-9. 根據(jù)(6.9)有 5130.04879500710.2469507105530.0490290330.0490290319803903.10104430.0492664630.0492664614889157.10103360.0495073770.0495073709950494.1010220.0497518690.0497518504987562.1010110.0500000000000000.101000)()()(kkkkkkxfmxfxxfxk9-4 表52 4.6.4 4.6.4 三次樣條求導(dǎo)三次樣條求導(dǎo) 三次樣條函數(shù) 與 ，不但函數(shù)值很接近，而且