10 正交陣與特征值問題窄1

1、第十講 正交陣、特征值問題教學(xué)目的：1. 介紹正交陣和正交變換；2. 介紹方陣的特征值與特征向量：概念、算法、性質(zhì)。務(wù)使學(xué)生熟練掌握！教學(xué)內(nèi)容：第五章：§ 5.2 三、正交陣與正交變換；第六章：§ 6.1 特征值與特征向量。教案提綱：l 首先回顧上一講：內(nèi)積與基本度量；正交組與正交化；正交基；第五章：§ 5.2，三、正交陣與正交變換： 1. 正交陣：定義5.12 （比較：對(duì)稱陣、可逆陣、向量的內(nèi)積、單位向量，注意區(qū)別）；定義5.12 設(shè)矩陣, 若有，則稱為正交陣。l 定義也可以是。 2. 正交陣的性質(zhì)：定理5.5，特別是（4）；定理5.5 正交陣有以下性質(zhì)： （1

2、）正交陣可逆，其逆陣即其轉(zhuǎn)置，且仍為正交陣； （2）正交陣的行列式為； （3）正交陣之積仍為正交陣； （4）階正交陣的行（列）向量組構(gòu)成的正交規(guī)范基。 3. 正交變換：定義5.13（簡(jiǎn)介正交變換的性質(zhì)）。（暫略，見附錄）。l 階段性習(xí)題：p.126: 4, 5, 9, 10, 13。第六章：§ 6.1 特征值與特征向量：一、特征值與特征向量： 1. 概念：定義6.1 設(shè)是階方陣，若有數(shù)和非零列向量，滿足等式 ， （6.1）則稱為的一個(gè)特征值，為的屬于特征值的一個(gè)特征向量。 2. 求法：特征多項(xiàng)式（特征方程）特征根（特征值）特征向量（特征子空間）。算法原理：將定義式（6.1）寫成， （

3、6.2）這是關(guān)于的齊次線性方程組，它有非零解當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)行列式為零，即 （6.3）即 （6.4） (6.4) 的左端展開是一個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式，稱為的特征多項(xiàng)式，記作，(6.4)式即是，是關(guān)于的次方程，稱為的特征方程。據(jù)代數(shù)基本定理，這個(gè)方程在復(fù)數(shù)域上有且僅有個(gè)根，稱為特征根，記作，它們就是所求的矩陣的特征值。由此可知：階方陣有且僅有個(gè)特征值。將這些特征值逐一代入齊次方程（6.2），解出的所有非零解向量，就是屬于各特征值的全部特征向量。具體說，對(duì)任一特征值，解齊次方程組 ， （6.5）稱為特征方程組，所有的非零解都是屬于的特征向量。例 6.1 求的特征值和特征向量。解 的特征多項(xiàng)式，于是解得的

4、特征值為：。下面分別求特征向量：對(duì)于，解齊次方程組，即得基礎(chǔ)解系，因此屬于的全部特征向量為。對(duì)于，解齊次方程組，即，得基礎(chǔ)解系，因此屬于的全部特征向量為。例 6.2 求 的全部特征值和特征向量。解 的特征多項(xiàng)式為 ，所以的特征值為（二重根）。：解，由，得基礎(chǔ)解系，則屬于的所有特征向量為。：解，由得基礎(chǔ)解系，則屬于的全部特征向量為（不全為零）。讓學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)（p.146，6-1(3)）。二、特征值和特征向量的性質(zhì)：1.韋達(dá)定理：定理6.1；（引入矩陣的跡）；定理6.1 若的特征值為，則有：（1）； （6.6）（2）。 根據(jù)多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達(dá)定理）即可導(dǎo)出上述結(jié)論（詳細(xì)證明可參見所附文

5、獻(xiàn)9，p.216）。式中的，稱為的跡（trace），定義為的主對(duì)角元素之和。2.特征子空間：（同一特征值定理6.2 設(shè)是的任一特征值，若都是屬于的特征向量，則的任意非零線性組合仍是屬于的特征向量。3.屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)：定理6.3；4.屬于重特征值的特征子空間至多維：講述結(jié)論，不證明，只舉例；“代數(shù)重?cái)?shù)”與“幾何重?cái)?shù)”5.特征值和特征向量在矩陣運(yùn)算中的變化：定理6.4 設(shè)是方陣的任一特征值，是所屬的任一特征向量，則有如下結(jié)論：（1），是的特征值，是的屬于的特征向量； （2），是的特征值，是的屬于的特征向量； （3）若是的多項(xiàng)式，則是的特征值，是的屬于的特征向量； （4）若可逆，則，且是的特征值，是的屬于的特征向量； （5）若可逆，則是的特征值，是的屬于的特征向量； （6）也是的特征值，。（例6.3及一個(gè)補(bǔ)例）例6.3 設(shè)的特征值為1、2、3，證明不可逆。證 易見，一個(gè)補(bǔ)例設(shè)多項(xiàng)式，而向量是的屬于特征值2的特征向量，試驗(yàn)證仍是的特征向量，并問其相應(yīng)的特征值是什么？從理論上講，由定理6.4已有，且容易算出，下面我們來驗(yàn)證這一結(jié)果。首先展開行列式：因此 ，于是，可見仍是的特征