上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽新知杯試題3月28日

1、2010年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（新知杯）試題一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1函數(shù)的定義域是 ，值域是 .2.若n個(gè)正實(shí)數(shù)使等式 成立，則的值分別是 .3平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.兩平行直線t3之間與公共部分的面積記為S（t），則當(dāng)t變化時(shí)，S（t）的最大值是 .4設(shè)甲袋中有4只白球，5只紅球，6只黑球；乙袋中有7只白球，6只紅球，2只黑球.若從兩袋中各取一球，則兩球顏色不同的概率是 （用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）. 5已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是該雙曲線的右支上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若 ，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .6已知n2，則滿足0的 位十進(jìn)制正整數(shù) 共有 個(gè)（用數(shù)值作

2、答）.7設(shè)f（x）是整系數(shù)多項(xiàng)式，f（0）=11，又存在n個(gè)不同整數(shù)，使 則n的最大值是 .8. 、Q、AC 上，使， 則線段PQ長(zhǎng)的最小值為 .二、解答題9（本題滿分14分）如圖，走廊寬為3米，夾角為120，地面是水平的，走廊兩端足夠長(zhǎng).問保持水平位置通過走廊的木棒（不計(jì)粗細(xì)）的最大長(zhǎng)度是多少？10（本題滿分14分）已知由1，2，A，先從集合A中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，取出后把a(bǔ)放回集合A；然后再?gòu)募螦中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)11（本題滿分16分）已知、R，求證：，并說明等號(hào)成立的條件；已知實(shí)數(shù)a使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，不等式+都成立，求的最大值.12（本題滿分16分）正整數(shù)n滿足如下條件：對(duì)開區(qū)間（0，2009

3、）內(nèi)的每個(gè)正整數(shù)m，總存在正整數(shù)k，使得，求這種n的最小值.2010年上海高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（新知杯）試題解答及評(píng)分參考意見一填空題（7× 4 + 8× 4=60）1-2，6 （3）； （4）. 2. . 3. . 4. . 5. . 6. 502 . 7. 3 . 8. . B P 3 3 A Q二解答題（14× 2+ 16× 2=60） 9解：過走廊轉(zhuǎn)角內(nèi)頂點(diǎn)P任作水平直線交走廊外側(cè)于點(diǎn)A、B（如圖），則在水平位置通過走廊的木棒長(zhǎng)度AB.設(shè)，則. (4)當(dāng)變化時(shí)，上式的最小值即是在水 平位置通過走廊的木棒的最大長(zhǎng)度.由平均不等式及積化和差得 ， （9） 且

4、當(dāng)時(shí)，AB=12. 在水平位置能通過走廓的木棒的最大長(zhǎng)度是12米. （14）10. 解：>. （5） . （10） 故. （14）另解：當(dāng) a=1時(shí)，b=1或2，有2種取法. 當(dāng) a=2時(shí)，b的取值增加3，4，5，有2+3種取法.當(dāng) a=3時(shí)，b的取值增加6，7，8，有2+2×3種取法.當(dāng) a=333時(shí)，b有2+332×3種取法.當(dāng) 334 a1000時(shí)，b都有1000種取法. （5） （10）=. (14)11. (1)證：. 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. （6） (2) 解：設(shè)k為待定常數(shù)，且0k1, 則 . 令解得. 從而. 不等式 . 對(duì)任意實(shí)數(shù)、都成立. （11） 另一方面，取，由已知不等式得 ，. 綜上，. （16） 12解：， ， ， ，. （5）上式對(duì)區(qū)間（中的每個(gè)正整數(shù)m