黃金分割專項(xiàng)練習(xí)進(jìn)步30題

1、黃金分割專項(xiàng)練習(xí)1 .定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC ?AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).如圖 2,ABC中，AB=AC=1，/A=36 ° ,BD 平分/ABC 交 AC 于點(diǎn) D .(1 )求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2 )求出線段AD的長(zhǎng).副虬2 .如圖，用長(zhǎng)為 40cm 的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)矩形 ABCD (AB > AD ).DC >40cmAB(1 )若這個(gè)矩形的面積等于99cm 2，求AB的長(zhǎng)度；(2) 這個(gè)矩形的面積可能等于101cm 2嗎？若能，求出 AB的長(zhǎng)度，若不能，說明理由；k/5 - 1(3) 若這個(gè)矩形為黃金矩形(A

2、D與AB之比等于黃金比一),求該矩形的面積.(結(jié)果保留根號(hào))9 .在數(shù)學(xué)上稱長(zhǎng)與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形，如在矩形ABCD中，當(dāng)_ :時(shí)，稱矩形ABCD為黃金矩形ABCD .請(qǐng)你證明黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.10 .如圖，設(shè) AB是已知線段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中點(diǎn)E,連接EB;延長(zhǎng)DA至F,使EF=EB ;以線段AF為邊作正方形 AFGH .則點(diǎn)H是AB的黃金分割點(diǎn).為什么說上述的方法作出的點(diǎn)H是這條線段的黃金分割點(diǎn)，你能說出其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?，說一說.12 .已知AB=2，點(diǎn)C是AB的黃金分割線，點(diǎn) D在AB上，且AD2=BD ?AB

3、，求J的值.14 .五角星是我們常見的圖形，如圖所示，其中，點(diǎn)C, D分別是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=20cm ，求EC+CD的長(zhǎng).0.618時(shí)，是比較好看的黃15 .人的肚臍是人的身高的黃金分割點(diǎn)，一般來講，當(dāng)肚臍到腳底的長(zhǎng)度與身高的比為 金身段.一個(gè)身高1.70m的人，他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為多少時(shí)才是黃金身段（保留兩位小數(shù)）？17 .如圖，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且 AP > BP,設(shè)以AP為邊長(zhǎng)的正方形面積為 S1,以PB為寬和以AB為長(zhǎng)的矩形面積為 S2，試比較S1與S2的大小.18 如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且 D為AE的黃金分割點(diǎn)，即-B

4、E交DC于點(diǎn)F,已知 宀71，求CF的長(zhǎng).AP RP20 .（如圖1 ），點(diǎn)P將線段AB分成一條較小線段 AP和一條較大線段 BP,如果算堆，那么稱點(diǎn)P為線段ABDr AB的黃金分割點(diǎn)，設(shè)AP RP=k，則k就是黃金比，并且 k-0.618 .Br Ab（1 ）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰 APB （如圖2）,等腰AAPB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為:滿足冷 +r0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義:（2）如圖1，設(shè)AB=1 ,請(qǐng)你說明為什么 k約為0.618 ;（3 ）由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直

5、線I將一個(gè)面積為S1 S oS的圖形分成面積為 S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1 V S2）,如果=,那么稱直線I為該圖形的黃金分割線.（如圖3）,點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線 CP是ABC的黃金分割線嗎？請(qǐng)說明理由；（4 ）圖3中的ABC的黃金分割線有幾條?21 在人體軀干（腳底到肚臍的長(zhǎng)度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即比例越接近0.618，越給人以美感張女士原來腳底到肚臍的長(zhǎng)度與身高的比為 0.60，她的身高為1.60m，她應(yīng)該選擇多高的高跟鞋穿上看 起來更美？（精確到十分位）23 .如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E,再折出線段A

6、E ,然后通過折疊 使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B '，因而EB'=EB .類似地，在 AB上折出點(diǎn)B使AB =AB '.這時(shí)B 就是AB的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.25 .如圖，在 ABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上，且 DB=DC=AC ，已知/ ACE=108 ° , BC=2 .（1 求/B的度數(shù)；（2 ）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于 36 °的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的比（或者底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比）- 1等于黃金比2 寫出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說明理由； 求AD的長(zhǎng)； 在直線AB或BC上是否存在點(diǎn)P （點(diǎn)A、B除外

7、），使 PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點(diǎn)P,簡(jiǎn)要說明畫出點(diǎn)P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由.BF AG > GD )PADBCB28 折紙與證明用紙折出黃金分割點(diǎn)：第一步：如圖（1 ）,先將一張正方形紙片 ABCD對(duì)折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的對(duì)角線第二步：如圖（2），將AB邊折到BF上，得到折痕BG,試說明點(diǎn)G為線段AD的黃金分割點(diǎn)（29 .三角形中，頂角等于 36。的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖 1，在ABC中，已知：AB=AC，且/A=36(1 )在圖1中，用尺規(guī)作 AB的垂直平分線交 AC于D，并連接BD (保留作圖痕跡，不寫作法)(2) A

8、BCD是不是黃金三角形？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理由;，且AiBi=AB，請(qǐng)直接寫出(3) 設(shè)器斗試求k的值；(4) 如圖 2，在AiBiCi 中，已知 AiBi=A 1C1，/Ai=10830 如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)某研究小組在進(jìn)行rlD AV課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線I將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為Si, S2，如果那么稱直線I為該圖形的黃金分割線. 3 1(1 )研究小組猜想：在ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)(如圖2),則直線CD是MBC的黃

9、金分割線.你 認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？(2)請(qǐng)你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線?(3) 研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交 AB于點(diǎn)E,再過點(diǎn)D作直線DF /CE,交AC于點(diǎn)F,連接EF (如圖3 ),則直線EF也是ABC的黃金分割線.請(qǐng)你說明理由.(4) 如圖4，點(diǎn)E是平行四邊形 ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn) E作EF/AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是平行四邊形 ABCD的黃金分割線.請(qǐng)你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點(diǎn).圖1B黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題參考答案5C=(1801 . (1 )證明：T AB=AC=1-

10、A) =2 (180 ° -36 ° )=722BD平分A ABC交AC于點(diǎn)D ,AABD= ZCBD=AABC=362/ZBDC=180 ° H36 °-2 °=72DA=DB , BD=BC ,AD=BD=BC易得ABDC s念bc ,BC : AC=CD : BC，即卩 BC2=CD ?AC ,AD 2=CD ?AC ,點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2 )設(shè) AD=x，貝U CD=AC - AD=1 - x,VAD 2=CD ?AC ,x2=1 - x，解得 X1= I ',Vs -1即AD的長(zhǎng)為 _2X2=2 .解：(1 )設(shè)

11、AB=xcm ，貝U AD=(20 - x) cm ,根據(jù)題意得x (20 - x) =99 ,整理得 x2 - 20x+99=0 ，解得 X1=9 , X2=11 ,當(dāng) x=9 時(shí)，20 - x=11 ;當(dāng) x=11時(shí)，20 - 1仁9 ,而 AB > AD,所以x=11，即AB的長(zhǎng)為11cm ;(2)不能理由如下：設(shè) AB=xcm ，貝V AD= (20 - x) cm ,根據(jù)題意得x (20 - x) =101 ,整理得x2- 20x+10仁0,因?yàn)?202 - 4 X10仁-4 V 0,所以方程沒有實(shí)數(shù)解,所以這個(gè)矩形的面積可能等于101cm 2(3 )設(shè) AB=xcm ，貝U

12、AD= ( 20 - x) cm ,根據(jù)題意得20 - x= ；x,解得x=10(.! - 1 ),則 20 - x=10(3 - 口), 所以矩形的面積=10 (一 - 1 )?10 (3 - 口)= (400 口- 800 ) cm 2 .3 .解：(1 )vZA=36 °,AB=AC , 厶BC= /ACB=72 ° ,BD 平分/ABC ,JCBD= /ABD=36。，啟 DC=72 AD=BD , BC=BD ,BC s/bdc ,坐禺即迎=AB BC' AC AD'AD 2=AC ?CD .點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).(2 )點(diǎn)D是線段AC的黃金

13、分割點(diǎn),AD=ACVAC=2 ,AD=- 14 .解：(1 )腰與底之比為黃金比為黃金比如圖，(2)作法：畫線段 AB作為三角形底邊;取AB的一半作 AB的垂線 AC，連接BC,在BC上取CD=CA .分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心、以BD為半徑劃弧，交點(diǎn)為 E;分別連接EA、EB,則AABE即是所求的三角形.(3)證明：設(shè) AB=2，貝U AC=1 , BC= . H, AE=BE=BD=BC - CD= n - 1 ,的黃金分割點(diǎn)，6 .解：(1 )設(shè) AC=x，貝U BC=AB - AC=1 - x,AC則 AP=2 X或 AP=2 -( 1 ) =3 - 口;=BC ?AB ,.X2=1 X(

14、1 - x),整理得x2+x -仁0 ,解得X1-匯二-,X2=r 一(舍去)，22yTE - 1所以線段AC的長(zhǎng)度為-;2(2)設(shè)線段AD的長(zhǎng)度為x, AC=I ,TAD 2=CD ?AC ,.X2=| x(| - x), X1=Z, X2=_ 一 (舍去)，2 2線段AD的長(zhǎng)度 一 AC;2_ i(3)同理得到線段 AE的長(zhǎng)度AD ;2AB :上面各題的結(jié)果反映：若線段 AB分成兩條線段 AC和BC( AC > BC),且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)AC=AC : BC),貝U C點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)7 .解：D是AC的黃金分割點(diǎn).理由如下:在KBC 中，AB=AC，/A=365C=

15、 ZACB='2=72/1= Z2,j /24/ABC=36在BDC 中，/ BDC=180。-遂-ZC=72BC=BD .AD=BC .和BDC 中，/ 2= ZA，/C= ZC,s/bdc ,丄二旦又AB=AC , AD=BC=BDCD，AD 2=AC ?CD，即D是AC的黃金分割點(diǎn)8 .證明：T AB=AC，/A=36 ° , ZABC= - (180 ° -36 ° )=72 °2BD平分/ABC，交于AC于D,/DBC=丄X/ABC= 2X72 °=362 14= ZDBC , 又 vZC= ZC, /BCD s伽c , BC

16、_CDAB=AC ,BCCTAC=BCAB=AC=2 , BC= J 1 ,( . 口 1 ) 2=2 X(2 - AD ),解得 AD=.，'-,AD : AC=(頁1): 2 .點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).9 .證明：在 AB上截取 AE=BC , DF=BC，連接EF.AE=BC , DF=BC ,AE=DF=BC=AD又 vZADF=90 °四邊形AEFD是正方形.BE=檢-馳二尹BC - BC二忑;1 BC，.BE V5 _ 1瓦，BCFE是黃金矩形.矩形BCFE的寬與長(zhǎng)的比是黃金分割比，矩形 黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.DFc1111iAEB1

17、0 .解：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2 ,在Rt KEB中，依題意，得 AE=1 , AB=2 ,由勾股定理知EB= 廠,；'= _ =卜?' 口,AH=AF=EF - AE=EB - AE= . - 1 ,HB=AB - AH=3 -.廠；AH2= (/ ' j) 2=6 - 2 二AB?HB=2 X(3 - . J =6 - 2, AH 2=AB ?HB ,所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).11 .證明：(1 )v/A=36 ° ,zC=72厶BC=180 ° H36 ° 72 ° =72 ° ,SDB=108

18、76; ,念DB是等腰三角形，/BDC=180 °-zADC=180 ° -108 °72 ZBDC是等腰三角形，AD=BD=BC .(2 )v/DBC= /A=36 ° , C= ZC,念BC s/bdc ,BC: AC=CD : BC,BC2=AC ?DC ,VBC=AD ,AD 2=AC ?DC ,點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).12 .解：T D 在 AB 上，且 AD 2=BD ?AB ,點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn) 而點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn),-1 ,AD=ABkLAB=AB=32 2口或 AD= 1 , AC=3 -.",CD= . H- 1

19、 -( 3 . ") =2 涇：-4 ,CD_:.-=V5AC=範(fàn)_ 二13 .解：矩形 ABFE是黃金矩形.CD_2忑-4- 1=2或VAD=BC , DE=AB ,AE AE-DE BC-AE BC J 2- VS+l- 2 街-1犧 圈期 紐 V5-1222矩形ABFE是黃金矩形.14 .解：T D為AB的黃金分割點(diǎn)(AD > BD ),AD= AB=10 口- 10,2EC+CD=AC+CD=AD,EC+CD= (10 ： 10 ) cm .15 解：設(shè)他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為xm時(shí)才是黃金身段，根據(jù)題意得x: 1.70=0.618 ,即 x=1.70 X0.618 1.

20、1 (m ).pD=d?+Ap2='I=丘，答：他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為1.1m時(shí)才是黃金身段.16 .解：(1 )在Rt APD中，AP=1 , AD=2，由勾股定理知AM=AF=PF - AP=PD -1 ,DM=AD - AM=3 -一 ".故AM的長(zhǎng)為- 1 , DM的長(zhǎng)為3 -."(2 )點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).由于aAD點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).17 .解：點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且 AP > BP ,.ap2=bp "B ,又S1=AP2, S2=PB XAB , S1=S 2.18 解：四邊形ABCD為平行四邊形,JCBF= ZAEB

21、 ,ZBCF= /BAE ,z.ZBCF s/eab,BC AEAD_CFAEAR,Vs iCF2 'AB= -+1代入得,把AD= I解得：CF=2 .故答案為：2 .19 .解：矩形EFDC是黃金矩形,證明：四邊形ABEF是正方形，矩形CDFE是黃金矩形.20 .解:(1 )滿足7.618丟寬+長(zhǎng)的矩形是黃金矩形;k )X1 ,BP2=AP XAB,得，BP=1 Xk=k，從而 AP=1 - k,解得k=M0.618 ;(3)因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，所以AP 二 BP二二 J-，設(shè)ABC的AB上的高為h，則sA£Pc"lBpxh_BF，WcJEFXh_B

22、P SnABC 訥 Xh 凰aapc aepcSABPC SAA0C直線CP是ABC的黃金分割線.(4 )由(2 )知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點(diǎn)Q，則AQ也是黃金分割線，設(shè) AQ與CP交于點(diǎn)W，則過點(diǎn)W的直線均是 ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條.21 解：根據(jù)已知條件得下半身長(zhǎng)是160 X0.6=96cm設(shè)選擇的高跟鞋的高度是xcm，則根據(jù)黃金分割的定義得:96+k160+7解得：x7.5cm .故她應(yīng)該選擇7.5cm左右的高跟鞋穿上看起來更美.22 .解：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2a ,在 RtAEB 中，依題意，得 AE=a , AB=2a , 由勾股定理知 EB= 胃

23、-|. ：-=! a,AH=AF=EF - AE=EB - AE= ( J 1) a, HB=AB - AH= (3 - . ) a;AH2= (6 - 2 口)a2 ,AB?HB=2a x(3 -) a= (6 - 2 口)a2,AH 2=AB ?HB , 所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).23 .證明：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn)，BE=1又B'E=BE=1 ,AB =AE - B E= !7- 1 ,AB J AB二（荷-1） ! 2點(diǎn)B是線段AB的黃金分割點(diǎn).24 .證明：正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2 , E為BC的中點(diǎn), BE=1AE=Uab2+BE 壟礦，EF=

24、BE=1 ,af=ae -ef= . - 1 ,AM=AF= . - 1 ,AM : AB=（體-1） : 2 ,點(diǎn)M是線段AB的黃金分割點(diǎn).25 .解：（1 ）VBD=DC=AC .貝U/B= ZDCB，/CDA= ZA .設(shè)ZB=x，則/ DCB=x，/CDA= ZA=2x .又 /BOC=108/B+ ZA=108 °.x+2x=108, x=36ZB=36 ° ;（2）有三個(gè)： BDC , ADC , ABAC .DB=DC，/B=36 ° , ZDBC是黃金三角形，（或CD=CA，/ACD=180 °-£DA -ZA=36 °

25、; .ZCDA是黃金三角形.或 vZACE=108 ° ,厶CB=72 ° .又zA=2x=72° ,厶=ZACB .BA=BC .ZBAC是黃金三角形. ABAC是黃金三角形，.AC” - 1祝，BC=2，：.心- 1 .VBA=BC=2 , BD=AC= . - 1 ,AD=BA - BD=2 -（.仃-1） =3 -.-, 存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)Pl、P2、P3 .i）以CD為底邊的黃金三角形：作 CD的垂直平分線分別交直線AB、BC得到點(diǎn)Pi、P2 .ii）以CD為腰的黃金三角形：以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧與 BC的交點(diǎn)為點(diǎn) P3.26 .證明：在正方

26、形 ABCD中，取AB=2a ,N為BC的中點(diǎn), NC= =BC=a .在Rt QNC中,陽二聲代+ (滋)佗l又NE=ND ,CE=NE - NC= (_ - 1) a.CE-(體-1)化齒-1忑 茲=.故矩形DCEF為黃金矩形.27 解：(1)ffl3S1(2) CM=AB (4 分)28 .證明：如圖，連接 GF，設(shè)正方形ABCD在 Rt BCF 中,貝U A 'F=BF - BA設(shè) AG=A 'G=x，貝U GD=1 - x,在 Rt /AGF 和 Rt QGF 中，有 A'F 2+A'G 2=DF 2+DG 2即礙 J）仏2二 Q） In） 2解得x=廠2即點(diǎn)G是AD的黃金分割點(diǎn)（AG > GD ）.A G D29 .解：（1）如圖所示;(2)ABCD是黃金三角形.證明如下：點(diǎn)D在AB的垂直平分線上,AD=BD ,厶BD= ZA .厶=36 °,AB=AC ,厶BC= ZC=72 ° ,厶BD= ZDBC=36 ° .又v/BDC= ZA+ ZABD=72 ° ,/BDC= ZC, BD=BC ,:./BCD是黃金三角形.(3 )設(shè) BC=x , AC=y ,由( 2)知，AD=