《高等數(shù)學(xué)》(同濟大學(xué)第七版)上冊知識點總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)(同濟第七版)上冊-知識點總結(jié)第1章 函數(shù)與極限一. 函數(shù)的概念1.兩個無窮小的比較設(shè)且（1）l = 0，稱f (x)是比g(x)高階的無窮小，記以f (x) = 0，稱g(x)是比f(x)低階的無窮小。（2）l 0，稱f (x)與g(x)是同階無窮小。（3）l = 1，稱f (x)與g(x)是等價無窮小，記以f (x) g(x)2.常見的等價無窮小當(dāng)x 0時sin x x，tan x x， x， x，1 cos x ， 1 x ， x ， 二求極限的方法1 兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1. 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在準(zhǔn)則 2.（夾逼定理）設(shè)g(x) f (x) h(x) 若

2、，則2 兩個重要公式公式1公式23 用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換4 用泰勒公式當(dāng)時，有以下公式，可當(dāng)做等價無窮小更深層次5 洛必達(dá)法則定理1 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在（或為無窮大），則 這個定理說明：當(dāng)存在時，也存在且等于；當(dāng)為無窮大時，也是無窮大這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達(dá)（ospital）法則.型未定式定理2 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在（或為無窮大），則 注：上述關(guān)于時未定式型的洛必達(dá)法則，對于時未定式型同樣適用使用洛必達(dá)法則時必

3、須注意以下幾點：（1）洛必達(dá)法則只能適用于“”和“”型的未定式，其它的未定式須先化簡變形成“”或“”型才能運用該法則；（2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式(如果存在）7.利用定積分定義求極限 基本格式（如果存在）3 函數(shù)的間斷點的分類函數(shù)的間斷點分為兩類：（1） 第一類間斷點設(shè) 是函數(shù)y = f (x)的間斷點。如果f (x)在間斷點處的左、右極限都存在，則稱是f (x)的第一類間斷點。左右極限存在且相同但不等于該點的函數(shù)值為可去間斷點。左右極限不存在為跳躍間斷點。第一類間斷點

4、包括可去間斷點和跳躍間斷點。（2） 第二類間斷點第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f (x)，有以下幾個基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理1（有界定理）如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f (x)必在a,b上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值M 和最小值m 。定理3（介值定理）如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M 和m ，則對于介于m和M 之間的任何實數(shù)c，在a,b上至少存在一

5、個 ，使得f ( ) = c推論：如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f (a)與f (b)異號，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個點 ，使得f ( ) = 0這個推論也稱為零點定理第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一基本概念1可微和可導(dǎo)等價，都可以推出連續(xù)，但是連續(xù)不能推出可微和可導(dǎo)。二求導(dǎo)公式三常見求導(dǎo)1.復(fù)合函數(shù)運算法則2.由參數(shù)方程確定函數(shù)的運算法則設(shè)x =(t)，y =確定函數(shù)y = y(x)，其中存在，且 0，則3.反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)y = f (x)的反函數(shù)x = g(y)，兩者皆可導(dǎo)，且f (x) 0則4.隱函數(shù)運算法則設(shè)y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所確定，求y的方法如下：把F

6、(x, y) = 0兩邊的各項對x求導(dǎo)，把y 看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計算，然后再解出y 的表達(dá)式（允許出現(xiàn)y 變量）5.對數(shù)求導(dǎo)法則 （指數(shù)類型 如）先兩邊取對數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù)y。對數(shù)求導(dǎo)法主要用于：冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù)（注意定義域。 關(guān)于冪指函數(shù)y = f (x)g (x) 常用的一種方法,y = 這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運算法則進(jìn)行。6. 求n階導(dǎo)數(shù)（n 2，正整數(shù)）先求出 y, y, ,總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出y(n)，最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù)公式（1）（2）（3） ,（4） , (5),第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)

7、用一 .羅爾定理設(shè)函數(shù) f (x)滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3） f (a) = f (b)則存在 (a,b)，使得f ( ) = 0二 拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù) f (x)滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則存在 (a,b)，使得推論1若f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f (x) 0，則f (x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)。推論2若f (x) ,g(x) 在(a,b) 內(nèi)皆可導(dǎo)，且f (x) g(x)，則在(a,b)內(nèi)f (x) = g(x)+ c，其中c為一個常數(shù)。三 .柯西中值定理設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)滿足：（1）在閉區(qū)間

8、a,b上皆連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g(x) 0則存在 (a,b)使得（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g(x) = x 時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四.泰勒公式（ 估值 求極限（麥克勞林）定理 1（皮亞諾余項的n 階泰勒公式）設(shè)f (x)在0 x 處有n 階導(dǎo)數(shù)，則有公式，稱為皮亞諾余項定理2（拉格朗日余項的n 階泰勒公式）設(shè)f (x)在包含0 x 的區(qū)間(a,b)內(nèi)有n +1階導(dǎo)數(shù)，在a,b上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對xa,b，有公式 ，,稱為拉格朗日余項上面展開式稱為以0(x) 為中心的n 階泰勒公式。當(dāng)=0 時，也稱為n階麥克勞林公式。常用公式(

9、前8個)五導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一基本知識設(shè)函數(shù)f (x)在處可導(dǎo)，且為f (x)的一個極值點，則。我們稱x 滿足的 稱為的駐點，可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是駐點，反之不然。極值點只能是駐點或不可導(dǎo)點，所以只要從這兩種點中進(jìn)一步去判斷。極值點判斷方法1. 第一充分條件 在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則若當(dāng)時,，當(dāng)時，則為極大值點；若當(dāng)時，當(dāng)時，則為極小值點；若在的兩側(cè)不變號，則不是極值點.2.第二充分條件在處二階可導(dǎo)，且，則若，則為極大值點；若，則為極小值點.3.泰勒公式判別法（用的比較少，可以自行百度）二.凹凸性與拐點1凹凸的定義設(shè)f (x)在區(qū)間I 上連續(xù)，若對任意不同的兩點1 2 x , x ，恒有則稱f (x)在

10、I 上是凸（凹）的。在幾何上，曲線y = f (x)上任意兩點的割線在曲線下（上）面，則y = f (x)是凸（凹）的。如果曲線y = f (x)有切線的話，每一點的切線都在曲線之上（下）則y = f (x)是凸（凹）的。2拐點的定義曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。3凹凸性的判別和拐點的求法設(shè)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果在(a,b)內(nèi)的每一點x，恒有 0，則曲線y = f (x)在(a,b)內(nèi)是凹的；如果在(a,b)內(nèi)的每一點x，恒有 0，則曲線y = f (x)在(a,b)內(nèi)是凸的。求曲線y = f (x)的拐點的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)；第二步：求出使二階導(dǎo)

11、數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點 ；第三步：對于以上的連續(xù)點，檢驗各點兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號，如果符號不同，該點就是拐點的橫坐標(biāo)；第四步：求出拐點的縱坐標(biāo)。三漸近線的求法四曲率第四章 不定積分一基本積分表：二換元積分法和分部積分法換元積分法（1）第一類換元法（湊微分）：（2）第二類換元法（變量代換）：分部積分法 使用分部積分法時被積函數(shù)中誰看作誰看作有一定規(guī)律。記住口訣，反對冪指三為，靠前就為，例如，應(yīng)該是為，因為反三角函數(shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他。三有理函數(shù)積分 有理函數(shù)： ，其中是多項式。 簡單有理函數(shù)：1 1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.第五章 定積分一概念與

12、性質(zhì)1、 定義：2、 性質(zhì)：（10條）( 3 )3.基本定理變上限積分：設(shè)，則推廣：NL公式：若為的一個原函數(shù)，則4.定積分的換元積分法和分部積分法二定積分的特殊性質(zhì)第6章 定積分的應(yīng)用一 平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)： 2.極坐標(biāo)：二 體積1.旋轉(zhuǎn)體體積：a)曲邊梯形軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積： b)曲邊梯形軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積： （柱殼法）三.弧長1.直角坐標(biāo)：2.參數(shù)方程：極坐標(biāo)：第七章 微分方程一 概念1.微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).2.解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.(1).變量可分離的方程，兩邊積分(2).齊次型方程，設(shè)，則；或，設(shè)，則(3).一階線性微分方程用常數(shù)變易法或用公式： (4).可降階的高階微分方程1、，兩邊積分次；2、（不顯含有），令，則；3