高等數學（4）一元積分學

1、謝琳主講謝琳主講一元函數積分學一元函數積分學及其應用及其應用第三章第一、第二節(jié)作業(yè)題第三章第一、第二節(jié)作業(yè)題習題習題3.1: 3；4；5（3,4）；）；6；7（3,4）；）；8.習題習題3.2: 5；6；10. 【12】3.1定積分定積分（1）問題舉例）問題舉例（2）定積分概念）定積分概念-定義定義（3）幾何意義）幾何意義（4）可積的判定準則）可積的判定準則 （5）定積分運算的性質）定積分運算的性質1.問題舉例問題舉例 任何一種具有普遍應用性的數學方法，都是從人類任何一種具有普遍應用性的數學方法，都是從人類解決問題的過程中抽象出來的。解決問題的過程中抽象出來的。 定積分，作為一種運算方法，也是

2、如此，其實早在兩定積分，作為一種運算方法，也是如此，其實早在兩千多年前的古希臘，就已經產生了定積分的思想方法。千多年前的古希臘，就已經產生了定積分的思想方法。在中國古代，也有類似的一些思想萌芽。當然，那時在中國古代，也有類似的一些思想萌芽。當然，那時候還沒能使其成熟，也就沒有準確完整的形式化定義。候還沒能使其成熟，也就沒有準確完整的形式化定義。 下面考慮兩個具體問題：下面考慮兩個具體問題：（1）曲邊梯形的面積如何確定？）曲邊梯形的面積如何確定？ 注：假設曲邊（是一條連續(xù)曲線）由函數注：假設曲邊（是一條連續(xù)曲線）由函數y=f(x) 所所刻畫?？坍?。 【例【例3-13-1】（曲邊梯形的面積）】（曲

3、邊梯形的面積） 設函數設函數f( (x) )在在 a, ,b 上連續(xù)，且上連續(xù)，且f( (x) )0，稱由曲線，稱由曲線y= =f( (x) )，直線，直線x= =a, ,x= =b ( (ba) )和和y=0=0圍成的平面圖形為曲邊梯形（圖圍成的平面圖形為曲邊梯形（圖3-13-1）由）由于任何由曲線圍成的平面圖形均由若干個曲邊梯形拼于任何由曲線圍成的平面圖形均由若干個曲邊梯形拼接而成，其面積自然就等于各個曲邊梯形面積之和接而成，其面積自然就等于各個曲邊梯形面積之和因此求曲邊梯形的面積即因此求曲邊梯形的面積即為求平面曲線所圍成圖形為求平面曲線所圍成圖形面積的關鍵初等幾何只面積的關鍵初等幾何只能

4、解決能解決f( (x)=)=ax+ +b的情形，的情形，因而需要在初等幾何的基因而需要在初等幾何的基礎上引進新的方法礎上引進新的方法a x1 x2 xi-1 xi xn-1 bxyo圖圖3-1（1）分劃）分劃 . 在在a,b中任意插入中任意插入n-1個分點個分點bxxxxxxannii 1110將將a,b分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間xi-1 , xi(i=1,2,n)，并記，并記xi , xi-1的長度為的長度為xi=xi-xi-1，用直線，用直線x=xi將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成n個小個小曲邊梯形曲邊梯形.我們可以分我們可以分4 4步完成曲步完成曲邊梯形面積的計算。邊梯形面積的計算。其中最關

5、鍵的最后一其中最關鍵的最后一步，又是取極限步，又是取極限：a x1 x2 xi-1 xi xn-1 bxyo圖圖3-1（2）代替）代替 . 當當xi(i=1,2,n)都很小時，函數都很小時，函數y=f(x)在在每個小區(qū)間每個小區(qū)間xi , xi-1上的變化很小，因此小曲邊梯形可上的變化很小，因此小曲邊梯形可以近似地看作矩形，從而在以近似地看作矩形，從而在xi , xi-1上任取一點上任取一點i，用，用f( (i) )作為該近似矩形的高，矩形面積作為該近似矩形的高，矩形面積即為小曲邊梯形面積即為小曲邊梯形面積的近似值的近似值.), 2 , 1()(nixfSiii a x1 x2 xi-1 xi

6、 xn-1 bxyo圖圖3-1（4）取極限）取極限 . 記記 ，由上述三個過程易知，由上述三個過程易知，隨著隨著 ，和式，和式 將無限地接近曲邊梯形面積的將無限地接近曲邊梯形面積的“真值真值”S，因此很自然地將，因此很自然地將 時時 的極限值規(guī)的極限值規(guī)定為曲邊梯形的面積，即定為曲邊梯形的面積，即max1inix 0 niiS10 niiS1iinixfS )(lim10 （3）求和）求和 . 上述上述n個小矩形面積之和就是曲邊梯形面積個小矩形面積之和就是曲邊梯形面積S的近似值，即的近似值，即iniiniixfSS 11)( （2）物質密度分布不均勻的細棒質量的確定。）物質密度分布不均勻的細棒

7、質量的確定。注：假設在細棒（看作一條線）的物質密度是連續(xù)變化注：假設在細棒（看作一條線）的物質密度是連續(xù)變化的，并且每一點的線密度已經由連續(xù)函數給出。的，并且每一點的線密度已經由連續(xù)函數給出。（3）變力所做的功如何確定？）變力所做的功如何確定？注：物體在力作用下做直線位移，但在位移過程中力注：物體在力作用下做直線位移，但在位移過程中力的大小是連續(xù)變化的。假設物體在每一位置所受的的大小是連續(xù)變化的。假設物體在每一位置所受的力由一個連續(xù)函數給出。力由一個連續(xù)函數給出。 此例作為自己思考問題。具體分析略。此例作為自己思考問題。具體分析略。 例【例【3-5】（求非均勻細棒的質量）設有一個質量分布】（求

8、非均勻細棒的質量）設有一個質量分布不均勻的細棒，先將其置于不均勻的細棒，先將其置于x軸上，左、右端點的坐標軸上，左、右端點的坐標分別為分別為a和和b（圖（圖3-2）.細棒上點細棒上點x處的線密度為處的線密度為( (x) )（假定（假定( (x x) )連續(xù)），下面求其質量連續(xù)），下面求其質量. .類似于例類似于例3-13-1中的中的方法，仍分方法，仍分4 4步計算：步計算：（1）分劃）分劃 . 在在a,b上任意插入上任意插入n-1個分點個分點bxxxxxxannii 1110將將細棒分成細棒分成n個小段，第個小段，第i段的長度為段的長度為xi=xi-xi-1.xbxxxxxaniii11210

9、 （圖（圖3-2）（2）代替）代替 . 當每個小區(qū)間的長度都很小時，當每個小區(qū)間的長度都很小時，(x)在在 xi ,xi-1上的變化也很小，因此可以近似地認為在上的變化也很小，因此可以近似地認為在xi , xi-1上質量是均勻分布的，線密度為上質量是均勻分布的，線密度為( (i) )（i是是xi , xi-1上上的任意一點），從而的任意一點），從而), 2 , 1()(nixmiii 就是這一段細棒質量的近似值就是這一段細棒質量的近似值.xbxxxxxaniii11210 （圖（圖3-2）（4）取極限）取極限 . 記記 ，顯然，當，顯然，當 時，時，和式和式 將無限地接近將無限地接近m，因此，

10、因此max1inix 0 niim1iinixm )(lim10 xbxxxxxaniii11210 （圖（圖3-2）（3）求和）求和 . 將將n段質量的近似值相加，即得細棒質量段質量的近似值相加，即得細棒質量m的近似值，即的近似值，即iininiixmm )(11 附錄。附錄。另一種做法。在上述近似替代與做和的時候，另一種做法。在上述近似替代與做和的時候，作如下處理。先約定符號：作如下處理。先約定符號：|1,2,xini ， 將區(qū)間分割點記為集合將區(qū)間分割點記為集合 ， 其中僅略去左邊端點其中僅略去左邊端點 。并記。并記0 xa max|iixxT 為分割為分割 的模。分別記的模。分別記稱稱

11、 ).1(1ixxxiii 1sup ( ),iiiMfxx 1inf ( ),iiimfxx 再分別做和：再分別做和：（大和與小和）（大和與小和） ixiiniiixMxMfS1);( ; )iiixs fmx a bxyo a bxyo 上（大）和隨著分劃的加細變得越來越??；上（大）和隨著分劃的加細變得越來越小；下（?。┖碗S著分劃的加細越來越大。下（?。┖碗S著分劃的加細越來越大。 但是上和總是大于下和。于是所有分劃的上和但是上和總是大于下和。于是所有分劃的上和所成集合有下界，因此有下確界；同理，下和有所成集合有下界，因此有下確界；同理，下和有上確界。這便分別是它們的極限（隨著分劃的不上確界

12、。這便分別是它們的極限（隨著分劃的不斷加細）。斷加細）。達布上（大）和與下（小）和變化趨勢的示意圖。達布上（大）和與下（小）和變化趨勢的示意圖。 （1）下面的不等式關系總是成立的：）下面的不等式關系總是成立的：（2）對任意正數）對任意正數 ，總存在，總存在 ， 使得有如下不等式成立：使得有如下不等式成立：ii,iixx1,iixx1);()();( fSxffsixi 及及( ; )()iiixS ffx 對于給定的函數對于給定的函數y=f (x) 、區(qū)間、區(qū)間a,b ，以及區(qū)間分，以及區(qū)間分化化 ，不難發(fā)現如下一些關系：，不難發(fā)現如下一些關系：niix 1；abmfmiii )(abMfMi

13、i )(因此有因此有 iiixxiixmffsxffii)();()(（3）于是下面的等價關系也是顯然的：）于是下面的等價關系也是顯然的：（4）易知小和）易知小和 是隨著分劃的加細遞增的，而是隨著分劃的加細遞增的，而 大和大和 是隨著分劃加細而遞減的，所以極限是隨著分劃加細而遞減的，所以極限( )s ( )S 存在并且存在并且 ixif)(lim0 0lim()iixfA 當且僅當當且僅當AfSfs );(lim);(lim00它們不相等，就意味著它們不相等，就意味著 不存在了。不存在了。0lim()s 0lim()S 與與 總是存在的。但是如果總是存在的。但是如果 ixif)(lim0 （5

14、）從直觀上看，）從直觀上看， 可以看做所求數值（面積、質可以看做所求數值（面積、質量、功）的不足近似值；量、功）的不足近似值； 可以看做其剩余近似可以看做其剩余近似值。隨著分劃的不斷加細，它們的近似程度也就越高。值。隨著分劃的不斷加細，它們的近似程度也就越高。( ; )s f ( ; )S f （6）進一步假設函數）進一步假設函數 y=f(x) 是連續(xù)的是連續(xù)的,那么那么 以上觀察表明，可以產生兩種在內容和本質上相同，但以上觀察表明，可以產生兩種在內容和本質上相同，但形式上略有區(qū)別的定積分定義方式。下面再總結一下。形式上略有區(qū)別的定積分定義方式。下面再總結一下。都是可以取到的。并且隨著分化越來

15、越細，它們的差都是可以取到的。并且隨著分化越來越細，它們的差也必然趨近于也必然趨近于0。于是，在這種情況下必然有。于是，在這種情況下必然有1sup ( ),iiiMfxx 1inf ( ),iiimfxx 0lim()s 0lim()S 小結小結：（：（A）如果所涉及的函數是常值函數，比如曲）如果所涉及的函數是常值函數，比如曲邊是與底邊平行的直線；物質密度是均勻的；位移邊是與底邊平行的直線；物質密度是均勻的；位移過程中力的大小恒定，那么計算就是一般的乘法。過程中力的大小恒定，那么計算就是一般的乘法。 所以上述計算方法是在涉及變化的時候對乘法運所以上述計算方法是在涉及變化的時候對乘法運算進行的復

16、合改造，主要的創(chuàng)新之處在于取算進行的復合改造，主要的創(chuàng)新之處在于取極限極限?。˙）上述幾個問題的解決方法都有四個相同的步驟）上述幾個問題的解決方法都有四個相同的步驟:（ii）在每個小區(qū)間上做近似替代的）在每個小區(qū)間上做近似替代的-有兩種在本質上相有兩種在本質上相同，但形式上略有區(qū)別的考慮方式同，但形式上略有區(qū)別的考慮方式： （a）一般替代；（一般替代；（b）不足近似和剩余近似結合考察。）不足近似和剩余近似結合考察。（i）對區(qū)間進行分劃。）對區(qū)間進行分劃。（iv）考察分劃的模趨近于）考察分劃的模趨近于0時，積分和的極限。時，積分和的極限。（iii）做和：積分和；達布上（大）和、下（?。┖?。）做和

17、：積分和；達布上（大）和、下（?。┖?。2.定積分的定義定積分的定義（1）定積分定義）定積分定義-兩種說法以及符號約定的說明。兩種說法以及符號約定的說明。 （2）派生概念的說明：積分和與黎曼和；）派生概念的說明：積分和與黎曼和； 達布上（大）和與達布下（?。┖?；達布上（大）和與達布下（?。┖?； 可積、定積分與黎曼積分；可積、定積分與黎曼積分； 被積函數、被積表達式、積分變量；被積函數、被積表達式、積分變量； 積分區(qū)間、積分區(qū)間、 積分上限與積分下限、積分符號。積分上限與積分下限、積分符號。（3）積分上、下限的兩個約定：上、下限相等與上、）積分上、下限的兩個約定：上、下限相等與上、下限顛倒。下限顛

18、倒。將這些相同的步驟抽象出來，就形成了定積分的概念。將這些相同的步驟抽象出來，就形成了定積分的概念。注：這里使用的符號與教材符號使用的對應和比較。注：這里使用的符號與教材符號使用的對應和比較。（4）一個不可積的典型例子）一個不可積的典型例子-狄里克萊函數。狄里克萊函數。 直觀說明直觀說明-太不連續(xù)的函數是不可積的。太不連續(xù)的函數是不可積的。注注1.一個定積分表達式，在上、下限給定，并且被一個定積分表達式，在上、下限給定，并且被積表達式中不含積分變量之外的其它變量符號積表達式中不含積分變量之外的其它變量符號時，它就是一個數。時，它就是一個數。 它在何種情況下表達一個函數？（它在何種情況下表達一個

19、函數？（i）被積表）被積表達式中含積分變量之外的參變量；達式中含積分變量之外的參變量；(ii)上、下限上、下限中至少有一個變化。中至少有一個變化。注注2.無論何種情況，就含義來說，定積分永遠表示無論何種情況，就含義來說，定積分永遠表示一個特殊變化過程的極限。一個特殊變化過程的極限。 是一個函數對應于一個區(qū)間分劃所做的積分和，是一個函數對應于一個區(qū)間分劃所做的積分和，在分劃無限加細的過程中所趨近的極限。在分劃無限加細的過程中所趨近的極限?！纠纠?-3】已知函數】已知函數f (x)在在a,b上滿足上滿足,0)(,0)(,0)( xfxfxf試從定積分的幾何意義，比較下述三個數的大小試從定積分的幾

20、何意義，比較下述三個數的大小.,)(1 badxxfI).()(23bfafabI ),()(2abbfI CAEDByxabo（1）有向面積的代數和。）有向面積的代數和。3.定積分的幾何意義定積分的幾何意義 （2）積分意義與直觀觀察的例子。）積分意義與直觀觀察的例子?！纠纠?-4】求】求 10dxex4.可積性（或定積分存在）的判定準則可積性（或定積分存在）的判定準則（1）必充條件）必充條件-即達布定理。實際上是定積分定即達布定理。實際上是定積分定義的另一個等價形式。前面已經介紹了。義的另一個等價形式。前面已經介紹了。 （2）一個必要條件：函數有界（給出證明）。）一個必要條件：函數有界（給

21、出證明）。注：但是這個等價條件并沒有提供直接觀察函數性質注：但是這個等價條件并沒有提供直接觀察函數性質就可以判斷函數是否在一段區(qū)間上可積的標準。僅就可以判斷函數是否在一段區(qū)間上可積的標準。僅僅是給出了定積分的另一個定義方式。僅是給出了定積分的另一個定義方式。 深入的判斷標準，需要更高級的數學概念（不要求）。深入的判斷標準，需要更高級的數學概念（不要求）。（3）幾個充分條件：連續(xù)；單調；只有有限個間斷點。）幾個充分條件：連續(xù)；單調；只有有限個間斷點。一個附加的討論一個附加的討論 利用積分上和（達布大和）與下和來定義積分，利用積分上和（達布大和）與下和來定義積分，實際上是一個更自然的定義方式。實際

22、上是一個更自然的定義方式。 因為給定一個分劃，無論是上和還是下和，都因為給定一個分劃，無論是上和還是下和，都是唯一確定的，不會再有什么變動。并且隨著分是唯一確定的，不會再有什么變動。并且隨著分劃的加細，它們的極限也總是存在的。所以用來劃的加細，它們的極限也總是存在的。所以用來判斷積分存在的時候，也很簡明。判斷積分存在的時候，也很簡明。 但是，對初學者來說，上下確界的概念總會有點但是，對初學者來說，上下確界的概念總會有點抽象。為了加深印象，下面討論一道抽象。為了加深印象，下面討論一道2013年高考，年高考，理科數學全國卷的一道考題。理科數學全國卷的一道考題。 仔細考察，不難發(fā)現，這道考試題的命題

23、思路，仔細考察，不難發(fā)現，這道考試題的命題思路，其實就來自于積分上和與積分的比較。其實就來自于積分上和與積分的比較。2013年高考全國大綱卷理科年高考全國大綱卷理科22題題 已知函數已知函數.1)1()1ln()(xxxxxf （1）若）若 時時 ，求，求 的最小值；的最小值；0 x0)( xf （2）設數列）設數列an的通項的通項 證明：證明：,131211nan 2ln412 naann 分析不等式兩端的直觀意義：分析不等式兩端的直觀意義：nnnnnnnnnaann41)121111(41212111412 其中其中 表示將函數表示將函數 做做“模模”為為1的分劃所得的上和（如圖的分劃所得

24、的上和（如圖1所示矩形的面積之和）所示矩形的面積之和）. )121111( nnn)2 ,(1nnxxy 而而 nndxxnn21ln2ln2ln等于曲線等于曲線 與與x軸圍成的曲邊梯形的面積軸圍成的曲邊梯形的面積.)2 ,(1nnxxy n n+1 n+2 2n-1 2nxyO（圖（圖1） n41 不等式的含義是：小矩形的面積和與曲邊梯形的面不等式的含義是：小矩形的面積和與曲邊梯形的面積之差大于積之差大于 . 分析其中一個小矩形（圖分析其中一個小矩形（圖2），發(fā)現其面積與相應），發(fā)現其面積與相應曲邊梯形面積之差大于圖中綠色三角形的面積曲邊梯形面積之差大于圖中綠色三角形的面積 這些小三角形的和

25、即為這些小三角形的和即為)111(21 kksknkknnk41)111(2112 k k+1xyO111 kk（圖（圖2） 從以上分析發(fā)現，不等式左邊表示如圖從以上分析發(fā)現，不等式左邊表示如圖2中帶陰影的中帶陰影的直角梯形面積之和，顯然其大于曲邊梯形的面積直角梯形面積之和，顯然其大于曲邊梯形的面積ln2. k k+1xyOk111 k（圖（圖3） 顯然圖顯然圖3中一個小直角梯形的面積大于相應的曲邊梯中一個小直角梯形的面積大于相應的曲邊梯形的面積，即形的面積，即.ln)1ln(1)111(211 kkkkkdxxkks即即. )11ln()1(212kkkk 對此不等式兩邊求和（對此不等式兩邊

26、求和（k從從n到到2n-1)即可得結論即可得結論.此不等式在（此不等式在（1）中已經證明）中已經證明.取取 則則,1kx . )1ln()1(212kkkkk . )1ln(22)2(xxxx 令令 由由(1)知知 x0 時，時，f (x)0)所圍所圍圖形的面圖形的面積積A.O（圖（圖3-15）xy2ayaa注意，在以極坐標表注意，在以極坐標表示曲線時，曲線與矢示曲線時，曲線與矢徑所圍的平面區(qū)域面徑所圍的平面區(qū)域面積的面積微元是：積的面積微元是：AdrdA )(212 本題中，由于圖形上下對稱，所以積分上限只需本題中，由于圖形上下對稱，所以積分上限只需要到要到 ，然后再乘以，然后再乘以2即可。

27、即可。 【例【例3-55】設有一正劈椎體（圖】設有一正劈椎體（圖3-17），其底是以），其底是以a為半徑的圓，高為為半徑的圓，高為h，頂為平行且等于底圓直徑的線，頂為平行且等于底圓直徑的線段，求它的體積段，求它的體積.Oxy-a-aaaxx+dx（圖（圖3-17）（b）平面截面面積的函數已知時的立體體積計算）平面截面面積的函數已知時的立體體積計算設截面面積函數為設截面面積函數為 ，)(xS則體積微元為：則體積微元為：SdxdV 分析分析-關鍵在關鍵在于設定合理的于設定合理的坐標系并給出坐標系并給出截面積函數：截面積函數：22xahS 關于旋轉體的體積：關于旋轉體的體積： 給定一條平面曲線，和一

28、條直線。讓曲線圍繞該給定一條平面曲線，和一條直線。讓曲線圍繞該直線旋轉一周，所圍空間區(qū)域便是一個旋轉體。直線旋轉一周，所圍空間區(qū)域便是一個旋轉體。 假設旋轉的曲線是一函數曲線假設旋轉的曲線是一函數曲線 ，并且，并且作為旋轉軸的直線就是作為旋轉軸的直線就是 x 軸。那么垂直于軸。那么垂直于x 軸所做軸所做的橫截面面積為：的橫截面面積為：)(xfy )()(22xfyxS 則體積微元為：則體積微元為：dxxfdV)(2 旋轉軸為旋轉軸為y軸，體積微元可類似導出，但要注意軸，體積微元可類似導出，但要注意函數表達式。函數表達式。【例【例3-56】求半徑為】求半徑為R，高為，高為h的正圓錐體的體積的正圓

29、錐體的體積.(圖圖3-20）ORhxy分析分析- 平面直線為：平面直線為： ； yhRx 旋轉軸為旋轉軸為y軸；軸；積分區(qū)間為：積分區(qū)間為： 0,R;截面函數為：截面函數為：22)()(yhRxyS 體積微元：體積微元：dyyhRdyySdVy22)()( 【例【例3-57】求半徑為】求半徑為r的圓繞同平面內圓外一條直線旋的圓繞同平面內圓外一條直線旋轉成的圓環(huán)體的體積，設圓心到直線的距離為轉成的圓環(huán)體的體積，設圓心到直線的距離為R(Rr).ORyx-r r（圖（圖3-21）分析分析-旋轉軸是旋轉軸是x軸；軸； 所求旋轉體可以看做上所求旋轉體可以看做上半圓周旋轉生成的旋轉半圓周旋轉生成的旋轉體消

30、掉下半圓周生成的體消掉下半圓周生成的旋轉體。于是所求的體旋轉體。于是所求的體積微元可以表示為：積微元可以表示為：dxxrRxrRdVx)()(222222 積分區(qū)間為積分區(qū)間為-r,r。dxxrR224 ；【例【例3-58】求擺線】求擺線一拱一拱 的弧長的弧長. .)20( t)0()cos1()sin( atayttax【例【例3-59】求對數螺線】求對數螺線 自自 到到 的一的一段弧長段弧長(a0). aer 0 （c）平面曲線的弧長）平面曲線的弧長 前面分別給出了函數、參數和極坐標曲線的弧微分：前面分別給出了函數、參數和極坐標曲線的弧微分： drrdtyxdxydstt22222)()(

31、)()(1 所以求弧長，也就是計算弧微分在對應區(qū)間的積分了。所以求弧長，也就是計算弧微分在對應區(qū)間的積分了。（d）旋轉體的側面積）旋轉體的側面積 設有連續(xù)一階導函數的函數設有連續(xù)一階導函數的函數 。由該函數。由該函數給出的函數曲線繞給出的函數曲線繞x軸旋轉一周，形成旋轉曲面，軸旋轉一周，形成旋轉曲面，即所謂旋轉體的側面。其側面積如何確定呢？即所謂旋轉體的側面。其側面積如何確定呢？)(xfy 設設 是自變量的一個增量，其對應曲線是自變量的一個增量，其對應曲線上的弧長增量為上的弧長增量為 ，旋轉體側面積的增量為，旋轉體側面積的增量為 ，則有如下關系式：則有如下關系式：0 xxx s S S )(2

32、xf s dxxfxfdsxf2)(1)(2)(2 即側面積微元是：即側面積微元是：dxxfxfdS2)(1)(2 【例【例3-60】設有曲線】設有曲線 ，過原點，過原點O(0,0)作其作其切線，求切線與曲線及切線，求切線與曲線及x軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉軸旋轉一周，所得到的旋轉體的全表面積一周，所得到的旋轉體的全表面積.1 xyOxy12(2,1)（圖（圖3-24）分析分析-這里要計算兩個這里要計算兩個旋轉體側面積的和。旋轉體側面積的和。當然第一步要先求當然第一步要先求出切線方程。然后出切線方程。然后直接利用公式計算直接利用公式計算（略）。（略）。3.定積分在物理（或力學

33、）方面的應用舉例定積分在物理（或力學）方面的應用舉例 從科學發(fā)展的角度看，微積分首先是應用在力從科學發(fā)展的角度看，微積分首先是應用在力學與物理學領域。幾百年前，正是因為微積分學與物理學領域。幾百年前，正是因為微積分的應用，物理學才有了突飛猛進的發(fā)展。以至的應用，物理學才有了突飛猛進的發(fā)展。以至于人們對數學有著特別的迷信和鐘愛。于人們對數學有著特別的迷信和鐘愛。 近代以來，有一種傾向，很多人認為：沒有數近代以來，有一種傾向，很多人認為：沒有數學應用的學科，就不被認為是科學。這也是所謂學應用的學科，就不被認為是科學。這也是所謂“科學主義科學主義”的特征之一。的特征之一。 盡管盡管“科學主義科學主義

34、”具有較大的片面性，但是作具有較大的片面性，但是作為常識，了解數學在物理學中有意義的應用，對為常識，了解數學在物理學中有意義的應用，對于接受過高等教育的人來說，也是必要的。于接受過高等教育的人來說，也是必要的?！纠纠?-61】設一彈簧在】設一彈簧在4N力的作用下伸長了力的作用下伸長了0.1m，試求使它伸長試求使它伸長0.5m，力所作的功，力所作的功.-x=0-x=0.1mx（圖（圖3-263-26）（a）作功的計算）作功的計算kxdxdxxFdW )(功微元為：功微元為：而由題設條件可以求得彈性系數：而由題設條件可以求得彈性系數：分析分析-這里需要的物理常識是這里需要的物理常識是 Hooke

35、定律：定律： 。因彈。因彈簧拉長時，其拉力變化，所以簧拉長時，其拉力變化，所以這是求這是求“變力做功變力做功”的問題。的問題。kxxF )()N/m(40 k即有：即有： 5 . 00)J(40 xdxW【例【例3-62】一個半球形容器，其半徑為】一個半球形容器，其半徑為R，容器中盛，容器中盛滿水，將容器中的水全部抽出容器口，需作多少功？滿水，將容器中的水全部抽出容器口，需作多少功？OyxRxx+dx（圖（圖3-27）分析分析-這是一個變力、變距作這是一個變力、變距作功累加的問題。設坐標系功累加的問題。設坐標系如圖（圖如圖（圖3-27）所示）所示.變力分析：在點變力分析：在點x到到x+dx處處

36、,所需所需的力是的力是“克服克服”對應水量的重力：對應水量的重力：dxyggdVVgF2 所要作用的距離是所要作用的距離是-x. 功微元為：功微元為：)(2dxygxdW 即：即：dxxRxgdW)(22 dxxRxgWR 022)(及及（b）液體靜壓力問題）液體靜壓力問題 問題：假設一平板與水面垂直，放置在水中，如問題：假設一平板與水面垂直，放置在水中，如何確定該平板一側面受到水壓力的大小。何確定該平板一側面受到水壓力的大小。 由于平板中處于不同水平位置的部分，所受壓由于平板中處于不同水平位置的部分，所受壓力是不同的。比如說，設在平板的某一水平線處力是不同的。比如說，設在平板的某一水平線處于

37、水深于水深x米處，那么該處的壓強便是：米處，那么該處的壓強便是： 。 gxp 問題屬于求問題屬于求“變壓強情況下匯合總壓力變壓強情況下匯合總壓力”的問題。的問題。 如前，這里的如前，這里的 表示水的密度，表示水的密度， 表示重力加速表示重力加速度。長度單位是度。長度單位是m(米米)。 g 如果函數如果函數 給出了深度為給出了深度為x時平板的水平時平板的水平長度，則壓力微元為：長度，則壓力微元為：)(xhy dxxgxhdF)( 【例【例3-63】有一等腰梯形閘門，其上底長】有一等腰梯形閘門，其上底長10m，下底，下底長長20m，該閘門所在的平面與水面垂直，且上底與水，該閘門所在的平面與水面垂直

38、，且上底與水面相齊，求該閘門一側所受的靜水壓力面相齊，求該閘門一側所受的靜水壓力.OAB(20,3)y5xx+dx20 x（圖（圖3-283-28）分析分析-這里，平板（即這里，平板（即閘門）水平長度函閘門）水平長度函數可以表示為：數可以表示為：)105(22)(xyxh 于是壓力微元為：于是壓力微元為：dxxgxdF)105(2 積分區(qū)間為：積分區(qū)間為：0,20.（c）引力問題）引力問題問題：考慮質點問題：考慮質點P，與一線狀物體之間的引力作用。，與一線狀物體之間的引力作用。 值得注意的是，這里所求的引力大小應該是各點值得注意的是，這里所求的引力大小應該是各點引力的合力。由于線狀物中各點與質

39、點之間的引力引力的合力。由于線狀物中各點與質點之間的引力作用，不僅僅大小不同，并且方向也不相同，所以作用，不僅僅大小不同，并且方向也不相同，所以不具有簡單的可加性不具有簡單的可加性。一般考慮質點所受引力指向。一般考慮質點所受引力指向線狀物的引力重心。這里僅考慮一個簡單情況，即線狀物的引力重心。這里僅考慮一個簡單情況，即線狀物的重心與質點的連線垂直于線狀物體。線狀物的重心與質點的連線垂直于線狀物體。 假設質點是單位質量。線狀物的質量為假設質點是單位質量。線狀物的質量為m,線狀線狀物體各點坐標為物體各點坐標為x。設。設x點與質點的距離可表示為點與質點的距離可表示為x的函數的函數 ?，F狀物體長度為。

40、現狀物體長度為 。)(xrr ldxxrlmGdF)(/12）（ 于是引力微元可以表示為：于是引力微元可以表示為：萬有引力系數記為萬有引力系數記為 。截取現狀物體一小段。截取現狀物體一小段 。 Gx 但是這個引力指向那一小段的重心。假設但是這個引力指向那一小段的重心。假設 ， 0 xxx 可以近似認為引力指向可以近似認為引力指向 。將力分解，則平行與線。將力分解，則平行與線 狀物的分力為狀物的分力為0。而這個力指向物體重心方向的分力。而這個力指向物體重心方向的分力（引力微元）的大小為：（引力微元）的大小為：0 x|)(cos|2dxxrmGdFo )(|cos|xra 則有：則有： （ 的符號

41、由正向的規(guī)定確定）。的符號由正向的規(guī)定確定）。 cos其中其中 是質點與是質點與 點連線與質點與重心連線之間點連線與質點與重心連線之間的夾角。又假設質點與線狀物（重心）距為的夾角。又假設質點與線狀物（重心）距為 ，a 0 x【例【例3-64】設長度為】設長度為l，質量為，質量為m的均勻細棒，其垂直的均勻細棒，其垂直平分線上距此棒距離為平分線上距此棒距離為a處，有一質量為單位處，有一質量為單位1的質點的質點P.試求細棒對質點的引力試求細棒對質點的引力.2l 2lx x+dxxyOP（圖（圖3-293-29）分析分析-按照圖示設坐標系，按照圖示設坐標系，由于對質點由于對質點P的引力方向指的引力方向

42、指向縱軸的負方向，所以線向縱軸的負方向，所以線段段 與與y軸夾角余弦是軸夾角余弦是負值，即負值，即 。Px)(cosxra 注意到注意到22)(xaxr 即有即有dxxalGmaxradFdFdFxy2322o)()()( 引力微元為引力微元為:3.6 反常積分（暇積分）反常積分（暇積分）1.無窮區(qū)間的反常積分無窮區(qū)間的反常積分2.無界函數的反常積分無界函數的反常積分3.反常積分的收斂判別法反常積分的收斂判別法引言引言-問題的提出問題的提出引言引言-問題的提出與解決的思路問題的提出與解決的思路 前面所討論的定積分都要求滿足兩個條件：一前面所討論的定積分都要求滿足兩個條件：一是被積函數有界，二是

43、積分區(qū)間為有限區(qū)間。總之是被積函數有界，二是積分區(qū)間為有限區(qū)間?？傊痪湓?，就是要求某種一句話，就是要求某種“有限性有限性”的限制。的限制。 但是在與現實有關的理論模型中，人們會經常遇到但是在與現實有關的理論模型中，人們會經常遇到與無限有關的積分。比如說，擺脫星球引力的初始速與無限有關的積分。比如說，擺脫星球引力的初始速度問題；無界區(qū)域的面積問題等等。度問題；無界區(qū)域的面積問題等等。 既然與無限有關，很容易想到，解決這些問題的既然與無限有關，很容易想到，解決這些問題的核核心，還是極限方法。其實，所謂反常積分問題，不過心，還是極限方法。其實，所謂反常積分問題，不過是一個函數（變上限積分）的極限問

44、題。是一個函數（變上限積分）的極限問題。 當然，討論極限，就必然涉及到是否存在極限的當然，討論極限，就必然涉及到是否存在極限的 問題。斂散性判斷就是重要內容，不僅僅只是計算。問題。斂散性判斷就是重要內容，不僅僅只是計算?！纠纠?-65】自地面垂直向上發(fā)射火箭，火箭質量為】自地面垂直向上發(fā)射火箭，火箭質量為m，試計算將火箭發(fā)射到距離地面的高度為試計算將火箭發(fā)射到距離地面的高度為h時所作的功，時所作的功，并由此計算初速度至少為多少時，才能使火箭超出地并由此計算初速度至少為多少時，才能使火箭超出地球引力范圍？球引力范圍？1.無窮區(qū)間上的反常積分無窮區(qū)間上的反常積分 （1）引例）引例- 力學的發(fā)展使

45、人們認識到離開地球飛力學的發(fā)展使人們認識到離開地球飛向太空，必須有能力制造出很快的速度才行。于向太空，必須有能力制造出很快的速度才行。于是很早就有人考慮了擺脫地球引力的問題，是很早就有人考慮了擺脫地球引力的問題， 下面就討論所謂第二宇宙速度是怎么得來的。下面就討論所謂第二宇宙速度是怎么得來的。分析分析-根據萬有引力定律，只要在限距根據萬有引力定律，只要在限距離之內，地球的引力就總是存在的。離之內，地球的引力就總是存在的。這時靜止的物體就依然會這時靜止的物體就依然會“落落”向向地球。由功能轉化原理，所謂擺脫地球。由功能轉化原理，所謂擺脫地球引力，就是物體初速所產生的地球引力，就是物體初速所產生的

46、動能，足以將物體送到無窮遠處。動能，足以將物體送到無窮遠處。也就是其動能，與克服地球引力將也就是其動能，與克服地球引力將物體送到無窮遠處的所做的功要相等。物體送到無窮遠處的所做的功要相等。ORx2)(xMmGxF 220mvE 于是該問題的核心就是求變力作功。但是積分區(qū)間于是該問題的核心就是求變力作功。但是積分區(qū)間卻是卻是 。實際上這里需要解的是如下方程：。實際上這里需要解的是如下方程：, RWE dxxMmGmvR 2202即即于是產生了無窮區(qū)間的積分是如何定義的問題。于是產生了無窮區(qū)間的積分是如何定義的問題。 （2）無窮區(qū)間積分的定義）無窮區(qū)間積分的定義-反常積分（舊稱廣義積分）反常積分（

47、舊稱廣義積分） 反常積分的收斂與發(fā)散；反常積分的收斂與發(fā)散； 在整個數軸上反常積分的定義及其斂散性；在整個數軸上反常積分的定義及其斂散性； 幾個記號的約定：幾個記號的約定： axFF| )()(、 )(xF、等等。等等。 有了上述定義，求所謂第二宇宙速度，其核心就有了上述定義，求所謂第二宇宙速度，其核心就是前一問題所得結果在是前一問題所得結果在 趨向于正無窮時的極限。趨向于正無窮時的極限。即求解方程：即求解方程：hdxxGMmdxxGMmmvhRRhR 220lim2（略）。（略）。【例【例3-66】計算】計算 .1,1,120202xdxxdxxdx【例【例3-67】計算】計算 為常數為常數

48、. 00, pdttept【例【例3-68】討論】討論 （p為任意實數）的斂散性為任意實數）的斂散性. 11dxxpOyxy=f (x)a( (圖圖3-323-32） 反常積分的幾何反常積分的幾何意義：見右側圖意義：見右側圖示。其實這也啟示。其實這也啟發(fā)考慮無界函數發(fā)考慮無界函數的反常積分。的反常積分。（3）例題計算與說明）例題計算與說明附加的例：計算反常積分附加的例：計算反常積分 12)1(xxdxI解解設設txtan ，則則 當且即當當且即當 。x2 t于是于是dttttttdtI 24242sincos) 1(tantansec 2ln21 注注1.反常積分的計算過程，也一樣可以做變量代

49、換、反常積分的計算過程，也一樣可以做變量代換、分部積分。特別是變換之后成為定積分了，說明分部積分。特別是變換之后成為定積分了，說明原來的反常積分是收斂的。原來的反常積分是收斂的。注注2.另外，上題還有其它變換方式，如令另外，上題還有其它變換方式，如令 。不妨考慮一下其計算的結果。看看需要注意點什不妨考慮一下其計算的結果?？纯葱枰⒁恻c什么。么。tx 2【例【例3-69】有一熱電子】有一熱電子e-從原點處的陰極出發(fā)（圖從原點處的陰極出發(fā)（圖3-33），射向），射向x=b處的極板，設飛行速度處的極板，設飛行速度v與飛過的距離與飛過的距離的平方根成正比，即的平方根成正比，即其中其中k為常數，求熱電子

50、為常數，求熱電子e-從陰極到極板飛行的時間從陰極到極板飛行的時間T.xkdtdx xbx 0（圖（圖3-33）2.無界函數的反常積分無界函數的反常積分（1）引例）引例分析分析-在這個問題中，給出了速度函數和位移，求在這個問題中，給出了速度函數和位移，求所需要的時間。如果速度為常數時，可以直接所需要的時間。如果速度為常數時，可以直接由速度的倒數乘以位移，即可得到所需的時間。由速度的倒數乘以位移，即可得到所需的時間。由于速度是隨著位移變化的，因此求解所需時由于速度是隨著位移變化的，因此求解所需時間便是一個積分問題。間便是一個積分問題。xkdxdt 其時間微元是：其時間微元是：；積分區(qū)間為；積分區(qū)間

51、為0，b。但是，被積函數在但是，被積函數在0點處是沒有定義的，并且點處是沒有定義的，并且0點是被積函數的第二類間斷點。函數在這點點是被積函數的第二類間斷點。函數在這點附近無界。這種情況下，唯一可以考慮的就附近無界。這種情況下，唯一可以考慮的就是是變下限積分的極限，既考慮變下限積分的極限，既考慮)lim(22limlim000 bkxkxkdxbb【例【例3-70】計算】計算.022 axadx【例【例3-72】討論積分】討論積分 的斂散性的斂散性. 112xdx【例【例3-71】計算】計算.)1(12032 dxx（2）無界函數反常積分（亦稱暇積分）的定義）無界函數反常積分（亦稱暇積分）的定義

52、說明：函數的奇點概念；關于被積函數的奇點存說明：函數的奇點概念；關于被積函數的奇點存在于積分區(qū)間端點單側或雙側的反常積分；關在于積分區(qū)間端點單側或雙側的反常積分；關于函數奇點存在于積分區(qū)間內部的反常積分。于函數奇點存在于積分區(qū)間內部的反常積分。注：后面兩例表注：后面兩例表明，明，積分時要積分時要特別注意積分特別注意積分區(qū)間內的奇點。區(qū)間內的奇點。（3）例題計算：）例題計算： 不注意被積函數的奇點，將得出錯誤的計算結果。不注意被積函數的奇點，將得出錯誤的計算結果。3.反常積分的收斂比較判別法反常積分的收斂比較判別法 從定義不難看出，所謂反常積分，其實就是一類從定義不難看出，所謂反常積分，其實就是一類特殊函數在某點出的極限（包括考慮兩側極限）。特殊函數在某點出的極限（包括考慮兩側極限）。 然而，求極限，都是根據具體情況運用不同的方然而，求極限，都是根據具體情況運用不同的方法，并沒有固定的計算法則。更重要的是，很多情法，并沒有固