裂項(xiàng)相消_倒序求和_錯(cuò)位相減_迭加_迭代_迭乘綜合講解

1、數(shù)列復(fù)習(xí)與訓(xùn)練新方案嘗試黃岡中學(xué) 吳校紅 大家知道，在課本的數(shù)列一章中，首先介紹了數(shù)列的有關(guān)概念與表示方法，接著介紹了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，最后介紹了數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用教材內(nèi)容比較少，而且很簡(jiǎn)單但是，高考對(duì)于這一章的考查既全面，也有一定的深度，基本上已列為選拔優(yōu)秀學(xué)生的重點(diǎn)的考點(diǎn)因此合理組織好這一章的高考復(fù)習(xí)成為考生數(shù)學(xué)能不能得高分的關(guān)鍵因素之一過去，我們往往是利用別人已編好的資料按部就班地組織復(fù)習(xí)，等這一章復(fù)習(xí)完了的時(shí)候，學(xué)生們反應(yīng)數(shù)列的題目還是不會(huì)做，說(shuō)心里總是沒有底兒，可見收獲是甚微的原因是這些資料上的知識(shí)并沒有內(nèi)化為學(xué)生的知識(shí)因此，對(duì)本章的復(fù)習(xí)方法我們進(jìn)行了

2、一些新的嘗試，學(xué)生反應(yīng)還不錯(cuò)下面將我們對(duì)數(shù)列這一章的復(fù)習(xí)與訓(xùn)練方法做一介紹，以期待起到拋磚引玉的作用復(fù)習(xí)的指導(dǎo)思想是什么呢？可以多倡導(dǎo)學(xué)生自我完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成合理的知識(shí)體系；必須對(duì)教材的重點(diǎn)內(nèi)容有所提升；在訓(xùn)練上必須做到有條不紊，對(duì)各類題型必須網(wǎng)絡(luò)到邊到角；加強(qiáng)對(duì)熱點(diǎn)考點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練；突出數(shù)列這一章中的重要思想方法的講解與訓(xùn)練的力度那么，如何合理對(duì)這一章的復(fù)習(xí)進(jìn)行規(guī)劃與實(shí)施呢？針對(duì)上面的指導(dǎo)思想，我們將這一章的復(fù)習(xí)劃分為以下四個(gè)部分：第一部分 用類比法歸納數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)回顧等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，可以看出，將等差數(shù)列的定義中的“差”改為“比（商）”、“公差”改為“公比”即得等比數(shù)列的定義也

3、就是通過類比可以看出“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”的聯(lián)系2004年北京高考試題就出了一道“等和數(shù)列”的題目，那么，什么是等和數(shù)列，就只需將“等差數(shù)列”中定義中的“差”字改為“和”字即可要有效地把握好這一章的知識(shí)可以放手讓學(xué)生自己去梳理知識(shí)、去完善知識(shí)體系老師可以指出，將等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)通過類比就可以得出等比數(shù)列的相應(yīng)知識(shí)，好比寫對(duì)聯(lián)，只要將“差”改為“商”，將“和”改為積，將“算術(shù)平均值”改為“幾何平均值”，等等，即可給學(xué)生充足的時(shí)間，讓他們?nèi)ネ诰虮菊轮R(shí)的內(nèi)涵可以讓總結(jié)得全面具體又突出了重點(diǎn)的學(xué)生在班上交流，給學(xué)生一個(gè)自學(xué)為主同時(shí)能展示與提升自己的機(jī)會(huì)與空間下面，列舉一位總結(jié)得比較好的學(xué)生的歸

4、納成果：等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)比較一覽表等 差 數(shù) 列等 比 數(shù) 列定 義 一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公差一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公比 遞推關(guān)系 （） （） （） （） （） （）通項(xiàng)公式 （） （） （）（）求和公式 （） ()()求積公式 () () (，)主要性質(zhì)若p+q=s+r, p、q、s、rN*,則.對(duì)任意c>0,c1,為等比數(shù)列.若、分別為兩等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.數(shù)列為等差數(shù)列.若為正項(xiàng)等差自然數(shù)列，則為等差

5、數(shù)列.為等差數(shù)列.，n>2m，m、n.若則.若p+q=s+r, p、q、s、rN*,則.對(duì)任意c>0,c1, 若an恒大于0，則為等差數(shù)列.若、為兩等比數(shù)列，則為等比數(shù)列.若an恒大于0，則數(shù)列為等比數(shù)列.若為正項(xiàng)等差自然數(shù)列，則為等比數(shù)列.為等比數(shù)列.，n>2m，m、n，.若則.此外，還要了解一些等差數(shù)列與等比數(shù)列中的重要結(jié)論，這些結(jié)論之間不具有對(duì)偶關(guān)系：重要結(jié)論等 差 數(shù) 列等 比 數(shù) 列若p、q，且,則.若且,則 p、q. =.若|q|<1,則.數(shù)列雙基復(fù)習(xí)訓(xùn)練（A）（滿分：100分 時(shí)間：60分種）一選擇題（共12道小題，每小題5分，共60分）1數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公

6、式是 （ ）A B C D 2已知數(shù)列滿足且，則 （ ） A B C D 3等差數(shù)列的首項(xiàng)，如果成等比數(shù)列，那么公差d等于 （ ） A2 B-2 C2或0 D 4數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列一定是 （ ） A遞增數(shù)列 B等差數(shù)列 C等比數(shù)列 D常數(shù)列 5凸五邊形各內(nèi)角度數(shù)成等差數(shù)列，則其中必有一個(gè)內(nèi)角等于 （ ） A B C D 6在和兩數(shù)之間插入個(gè)數(shù)，使它們與組成等差數(shù)列，則該數(shù)列公差為（ ） A B C D 7設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和, 則等于 （ ） A0 B1 C2 D3 8一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為48，前項(xiàng)和為60，那么前項(xiàng)和為 （ ） A84B75 C68 D639 設(shè)an是等差數(shù)列，Sn是前n

7、項(xiàng)的和，且S5 < S6, S6 = S7 > S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）Ad<0 Ba7=0CS9>S5DS6、S7均為Sn的最大值10是一個(gè)等差數(shù)列且，若，則等于 （ ）16 18 20 2211等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn,有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后來(lái)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，錯(cuò)誤的是 （ ）    S1 S2 S3 S412若相異三數(shù)a(b-c),b(c-a),c(a-b)組成以q為公比的等比數(shù)列，則q滿足的方程是 （ ）    A. q2-q+1=0 B、q4+q2-1=0

8、60;   C、q2+q+1=0 D、q4+q2+1=0選擇題答題卡(請(qǐng)將以上選擇題的答案填入下面的表格中)題號(hào)123456789101112答案二填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）13在等比數(shù)列中，則此數(shù)列前九項(xiàng)之積為 14若，且，則15在等比數(shù)列an中，a7·a11=6,a4+a14=5,則=_.16已知等差數(shù)列an中，a1、a3、a9成等比數(shù)列，則=_.三解答題（共兩道小題，每小題12分，共24分）17已知一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，試求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)18已知函數(shù)y= (nN*).(1)當(dāng)n=1,

9、2,3,時(shí)，已知函數(shù)的圖象和直線y=1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次記為a1,a2,a3,.求證：a1+a2+a3+an<1.(2)對(duì)每一個(gè)nN*,設(shè)An、Bn為已知函數(shù)圖象上與x軸距離為1的兩點(diǎn)，求證：n取任意一個(gè)正整數(shù)時(shí)，以線段AnBn為直徑的圓都與一條定直線相切，并求這條直線的方程和切點(diǎn)的坐標(biāo). 數(shù)列雙基復(fù)習(xí)訓(xùn)練（B）（滿分：100分 時(shí)間：60分種）一選擇題（共12道小題，每小題5分，共60分）1命題甲是“a,b,c成等比數(shù)列”，命題乙是“b=±”那么 （ ）A甲是乙的充分非必要條件 B甲是乙的必要非充分條件C甲是乙的充要條件 D甲不是乙的充分條件也不是必要條件 2已知等差數(shù)列an

10、中，則的值是 （ ）A15 B30 C31 D 64等比數(shù)列an中a2a1=9, a5a4=576 , 則的值等于 （ ）A46 B64 C D在ABC中，tanA是以-4為第三項(xiàng)，4為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，tanB是以為第三項(xiàng)，9為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則這個(gè)三角形是 （ ）A.鈍角三角形B.銳角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形5已知-9，a1, a2,-1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列；-9，b1, b2, b3,-1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則b2（a2a1）等于 （ ）A-8 B8 C- D6如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 （ ）Aan=2（n2+n+1）

11、 Ban=3·2n Can=3n+1 Dan=2·3n7若兩個(gè)等差數(shù)列anbn前n項(xiàng)和An和Bn滿足（n*），則的值是A B C D （ ）8已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn,若S12>0，S13<0,則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)是 （ ）A第5項(xiàng) B第6項(xiàng) C第7項(xiàng) D 第8項(xiàng)9已知an是等比數(shù)列，a1=2,q=3,又第m項(xiàng)至第n項(xiàng)和為720，則m的值為 （ ）A1 B2 C3 D410在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中若a4·a7=9,則log3a1+log3a2+log3a10等于 （ ）A8 B10 C12 D 1411若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-

12、x+b=0(ab)的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a+b的值是 （）A.B.C.D. 12等比數(shù)列中，S10=10，S10=(1+)S5,則S40等于 （ ）A150 B-200 C150或-200 D 400或-50選擇題答題卡(請(qǐng)將以上選擇題的答案填入下面的表格中)題號(hào)123456789101112答案二填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）13等差數(shù)列an中a3=10, a3,a7,a9成等比數(shù)列，則公差d= _14在和4之間插入10個(gè)數(shù)，使它們成等比數(shù)列，則插入10個(gè)數(shù)的積為 _15集合M=mm=7k+3, kN*, 100<m<200的所有元素的和為 16若干個(gè)能唯

13、一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，下列an的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第_組.(寫出所有符合要求的組號(hào))S1與S2; a2與S3; a1與an; q與an.這里n為大于1的整數(shù),Sn為an的前n項(xiàng)和.三解答題（共兩道小題，每小題12分，共24分）17有4個(gè)數(shù)，其中第1、第3、第4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第1、第2、第4個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若首末兩個(gè)數(shù)之和為20，中間兩個(gè)數(shù)之積為80，求這四個(gè)數(shù)18陳老師購(gòu)買安居工程集資房一套72m2,單價(jià)為1000元/m2，國(guó)家一次性補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)，房地產(chǎn)開發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款，每

14、期為一年，等額付款，簽訂購(gòu)房合同后一年付款一次，再過一年又付款一次等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%（按復(fù)利計(jì)息），那么每年應(yīng)付款多少元？（計(jì)算結(jié)果精確到百元，可參考數(shù)據(jù)：1.075 91.921,1.075102.065,1.075112.221) 數(shù)列雙基復(fù)習(xí)訓(xùn)練（A）參考答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案二、填空題13.29(=512) 14.39815.或16.1或三、解答題17解: 設(shè)該等比數(shù)列an的公比為q, 項(xiàng)數(shù)為2n,則 所以,q=2又 ,所以，又已知所以，,所求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n=818解：(1)易知 an=()n, a1+a2+an=(2)

15、令y=1,求得An,Bn兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,1)和(2n,1)，以AnBn為直徑的圓的Cn的方程為配方得 所在圓Cn與y軸相切于原點(diǎn).數(shù)列雙基復(fù)習(xí)訓(xùn)練（B）參考答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案AABBADCCCBDA二、填空題13.0或14.3215.225016.三、解答題17解: 設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為.依題意有:求得或.18解：設(shè)每年應(yīng)付款x元.陳老師個(gè)人需付款72×1000-28800-14400=28800,由分期付款的知識(shí),可得方程:即 所以 .答: 陳老師每年應(yīng)付4200元.第三部分 用“模式化”方法抓好兩個(gè)專題的復(fù)習(xí)無(wú)論是從本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)還是從高考的命題規(guī)

16、律來(lái)看，數(shù)列問題的研究通常離不開對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的研究，所以我們把數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與前n項(xiàng)和的研究列為本章的兩個(gè)熱點(diǎn)專題教師仍只是起導(dǎo)學(xué)的作用，放手讓學(xué)生自己去查閱資料，整理出求通項(xiàng)公式的方法與求前n項(xiàng)和的方法“歸納-猜想-證明”是解決這兩類問題的重要方法，除此之外，還要使學(xué)生明確針對(duì)不同的數(shù)列類型,如何選擇最快捷的方法來(lái)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)的和？由此要求學(xué)生對(duì)這兩類問題進(jìn)行專題總結(jié)讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到“模式分析”、“層次解決”是解決數(shù)列問題的基本策略提倡學(xué)生將“模型”與“方法”對(duì)應(yīng)起來(lái)，以便在高考中能快速而又準(zhǔn)確地解決好數(shù)列問題教師篩選出學(xué)生中較好的歸納總結(jié)：求數(shù)列an通項(xiàng)公式的方法

17、1=+型累加法：=（）+（）+（）+ =+例1.已知數(shù)列滿足=1，=+（nN+），求.解 =+ =+1 =1 =1 （nN+）3=p+q 型（p、q為常數(shù)）方法：（1）+=， 再根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)求. （2）= 再用累加法求. （3）=+，先用累加法求再求.例3.已知的首項(xiàng)=a（a為常數(shù)），=2+1（nN+，n2），求.解 設(shè)=2（），則=1+1=2（+1）為公比為2的等比數(shù)列.+1=（a+1）·=（a+1）·12型累乘法：=··例2.已知數(shù)列滿足（nN+），=1，求.解 =·· =（n1）·（n2）1·1=（

18、n1）！ =（n1）！ （nN+）4=p+型（p為常數(shù)） 方法：變形得=+，則可用累加法求出，由此求.例4.已知滿足=2，=2+.求.解 =+1為等差數(shù)列.=n·5= pq 型（p、q為常數(shù)）特征根法：（1）時(shí)，=·+·（2）時(shí)，=（+·n）·例5.數(shù)列中，=2，=3，且2=+（nN+，n2），求.解 =2 =（+·n）·=+·n 7“已知，求”型方法：=（注意是否符合）例6.設(shè)為的前n項(xiàng)和，=（1），求（nN+）解 =（1） （nN+）當(dāng)n=1時(shí)，=（1）=3當(dāng)n2時(shí)，=（1）（1）=3 =（nN+）6= 型（A

19、、B、C、D為常數(shù)）特征根法：=（1）時(shí)，=C·（2）時(shí)， =例6. 已知=1，=（nN+），求.解 = =+C =1，=，代入，得C= 為首項(xiàng)為1，d=的等差數(shù)列.= =（nN+）8“已知，的關(guān)系，求”型方法：構(gòu)造與轉(zhuǎn)化的方法.例8. 已知的前n項(xiàng)和為，且+2（）=0（n2），=，求.解 依題意，得+2·=0=2=+2（n）=2n= ，=-=2××=（）=教師對(duì)以上總結(jié)在班上給予表?yè)P(yáng)并加以點(diǎn)評(píng)同時(shí)為了鞏固求數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的方法，教師還應(yīng)配備相應(yīng)的訓(xùn)練題，通過這些訓(xùn)練題進(jìn)一步加深與完善求數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和方法：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法訓(xùn)練題（滿分：1

20、00分 時(shí)間：60分鐘）一、選擇題(每小題5分,共12個(gè)小題,共60分)1、若一數(shù)列的前四項(xiàng)依次是2，0，2，0，則下列式子中，不能作為它的通項(xiàng)公式的是（ ） A、an= 1(1)n B、an=1(1)n1 C、 D、an=(1cosn)(n1)(n2)2、等差數(shù)列an中，d為公差，前n項(xiàng) 和為sn=-n2則 （ ）A、an=2n-1 d=-2 B、 an=2n-1 d=2 C、 an= -2n+1 d=-2 D、 an= -2n+1 d=2 3、若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，那么這個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng)為（ ）A、-1，1，3 B、2，1，0 C、2、1、3 D、2、1、64、數(shù)列中，則當(dāng)時(shí)，（ ）A、 B、

21、 C、 D、5、數(shù)列-1，7，-13，19，的通項(xiàng)公式（ ）A、2n-1 B、-6n+5 C、(-1)n×6n-5 D、(-1)n(6n-5)6、數(shù)列滿足=1, =，且 (n2)，則等于（ ） A、 B、()n-1 C、()n D、7、在等比數(shù)列an中前n項(xiàng)的和為sn，且sn=2n-1則a12+a22+···+an2等于 ( )A、 (2n-1)2 B、(2n-1)2 C、 4n-1 D、(4n-1)8、已知數(shù)列中，則的值是（ ）A、9900 B、9902 C、9904 D、11000 9、已知數(shù)列an中，則這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)為（ ）A、2n-1 B、2n

22、+1 C、 D、10、已知數(shù)列an中，對(duì)任意的滿足,且，則的值是（ ）A、8 B、12 C、16 D、3211、設(shè)函數(shù)f定義如下，數(shù)列xn滿足x0=5,且對(duì)任意自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2005的值為（ ）X12345f(x)41352A、1 B、2 C、4 D、512、把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序: 12 56 910 3 4 78 11則從2004到2006的箭頭方向依次為( ) 2005 2005A、2005 B、 2005 C、 D、 一、選擇題答題卡（請(qǐng)將選擇題的答案直接填入下面的表格中）題號(hào)123456789101112答案 二、填空題(每小題4分,共4個(gè)小題,共16分)

23、13、，則_.14、設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列，且，則它的通項(xiàng)公式是_.15、設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_.16、，則_.三、解答題(共24分)17、(12分)寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（1）， （2）（3）7，77，777，7777， （4），,18、(12分)已知數(shù)列中，前項(xiàng)和與的關(guān)系是 ，試求通項(xiàng)公式.數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法訓(xùn)練題參考答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案DCCADADBCCBC二、填空題13、 14、 15、 16、三、解答題17、（1） （2） （3） （4）18、解：首先由易求遞推公式： 將上面n1個(gè)等式相乘得：求數(shù)列an的前n項(xiàng)和的方法（1）倒序相

24、加法（2）公式法 此種方法主要針對(duì)類似等差數(shù)列中,具有這樣特點(diǎn)的數(shù)列此種方法是針對(duì)于有公式可套的數(shù)列，如等差、等比數(shù)列，關(guān)鍵是觀察數(shù)列的特點(diǎn)，找出對(duì)應(yīng)的公式例：等差數(shù)列求和 把項(xiàng)的次序反過來(lái)，則：+得：公式： 等差數(shù)列： 等比數(shù)列： ； 1+2+3+n = ； （3）錯(cuò)位相減法（4）分組化歸法此種方法主要用于數(shù)列的求和，其中為等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，只需用便可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和，但要注意討論q=1和q1兩種情況此方法主要用于無(wú)法整體求和的數(shù)列，可將其通項(xiàng)寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進(jìn)行求和，再綜合求出所有項(xiàng)的和例：試化簡(jiǎn)下列和式： 解：若x=1，則Sn=1+2+3+n = 若x

25、1,則 兩式相減得：+ 例：求數(shù)列1，+的和.解： （5）奇偶求和法（6）裂項(xiàng)相消法此種方法是針對(duì)于奇、偶數(shù)項(xiàng)，要考慮符號(hào)的數(shù)列，要求Sn，就必須分奇偶來(lái)討論，最后進(jìn)行綜合此方法主要針對(duì)這樣的求和，其中an是等差數(shù)列例：求和解：當(dāng)n = 2k (kN+)時(shí), 當(dāng)， 綜合得：例：an為首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列，求解： (7)分類討論（8）歸納猜想證明此方法是針對(duì)數(shù)列的其中幾項(xiàng)符號(hào)與另外的項(xiàng)不同，而求各項(xiàng)絕對(duì)值的和的問題，主要是要分段求.此種方法是針對(duì)無(wú)法求出通項(xiàng)或無(wú)法根據(jù)通項(xiàng)求出各項(xiàng)之和的數(shù)列，先用不完全歸納法猜出的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明之.例：已知等比數(shù)列中，=64，q=，設(shè)=lo

26、g2，求數(shù)列|的前n項(xiàng)和.解：= log2=（1）當(dāng)7時(shí)，0此時(shí)，=+（2）當(dāng)7時(shí)，<0此時(shí)，=+42（8）+（7）= +42（8）例：求和=+解：，觀察得：=（待定系數(shù)法）證明：（1）當(dāng)=1時(shí)，=1= =1時(shí)成立. （2）假設(shè)當(dāng)=k時(shí)，= 則=k+1時(shí)，=+ =+ = =k+1時(shí)，成立.由（1）、（2）知，對(duì)一切nN*，=.數(shù)列的求和訓(xùn)練題（滿分：100分 時(shí)間：90分鐘）一、選擇題(每小題5分,共12個(gè)小題,共60分)1、數(shù)列a n的通項(xiàng)公式是a n = (nN*),若前n項(xiàng)的和為10,則項(xiàng)數(shù)為（ ） A11 B99 C120 D121 2、數(shù)列an中,a1= 60,且a n+1 =

27、an + 3,則這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)的絕對(duì)值之和為 （ ） A495 B765 C3105 D120 3、化簡(jiǎn)S n = n+(n1)×2+(n2)×2 2+2×2 n2+2 n1的結(jié)果是（ ） A2 n+1+2n2 B2 n+1n+2 C2 nn2 D2 n+1n2 4、若數(shù)列an是公差為的等差數(shù)列,它的前100項(xiàng)和為145, 則a1 +a3+a5+ +a 99 的值是（ ） A60 B72.5 C85 D120 5、數(shù)列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+2 2+2 n1),前n項(xiàng)的和是（ ） A2 n B2 n2 C2 n+1n2 Dn2n6、設(shè)數(shù)列x

28、 n滿足logax n+1 =1+ log a x n ,且x 1+x 2 + +x 100 =100,則x 101+x 102 +x 200的值為（ ） A100a B101a 2 C101a 100 D100a 100 7、已知數(shù)列a n的前n項(xiàng)的和S n = n 24n+1,則|a 1|+|a 2|+|a 10|的值是（ ） A56 B61 C65 D678、已知f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1) =2,則f(1)+f(2)+f(n)不能是（ ） Af(1)+2f(1)+nf(1) Bf Cn(n+1) Dn(n+1)×f(1) 9、將一條寬為的長(zhǎng)紙條繞在一個(gè)直徑為的厚

29、紙筒上,共繞了圈,成為一個(gè)直徑為的圓筒,這條紙條的長(zhǎng)度是 （ ）A. B. C. D. 10、一小球從的高處自由落下,每一次著地后又彈回原來(lái)高度的一半,當(dāng)它第次落地時(shí),小球共經(jīng)過的路程是 （ ）A. B. C. D. 11、若等差數(shù)列中,則 （ ）A.4 B.4 C.2 D.212、已知數(shù)列的前項(xiàng)和=，那么的值是 （ ）（A）3 （B）1 （C）3 （D）1一、選擇題答題卡（請(qǐng)將選擇題的答案直接填入下面的表格中）題號(hào)123456789101112答案 二、填空題(每小題4分,共4個(gè)小題,共16分)13、a n是等差數(shù)列，且a n 0,則+ + = _.14、數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 則數(shù)列

30、的前2m項(xiàng)的和S2m = _. 15、求和：=_.16、設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求和：=_.三、解答題(共24分)17、（12分）已知等比數(shù)列前項(xiàng)的和為2,其后2n項(xiàng)的和為12,求再后面3n項(xiàng)的和.18、（12分）正數(shù)排成n行n列其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比相等，已知,求的值數(shù)列的求和訓(xùn)練題參考答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案CBDACDDDACBD二、填空題13、 14、 15、 16、 三、解答題17、解： 數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn，S2nSn,S3nS2n，也成等比數(shù)列，公比為qn，于是，問題轉(zhuǎn)化為已知A1=2, A1qn

31、+A1q2n=12, 要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值由前面兩式相加，解得：q2n+qn+1=7 qn=2或qn=-3 A1q3n+A1q4n+A1q5n=A1q3n(1+ qn+ q2n)=2 q3n(1+7)=14（qn）3=18、略解：依題意，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比相等，設(shè)這個(gè)公比為，又設(shè)第一行組成的等差數(shù)列的公差為，可得方程組： 兩式相減得： 第四部分 深化數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法一直以來(lái)，數(shù)列總是高考考查的必考與重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.那么高考在這一部分有沒有一定的命題規(guī)律呢?有!這體現(xiàn)在高考對(duì)數(shù)列的考查體現(xiàn)了以下的五個(gè)亮點(diǎn),這五個(gè)亮點(diǎn)體現(xiàn)了對(duì)課本中的數(shù)列部分所滲透的

32、數(shù)學(xué)思想與方法的考查: 一、聯(lián)想與類比數(shù)列部分的基礎(chǔ)知識(shí)是等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩種特殊的數(shù)列將等差數(shù)列的定義與等比數(shù)列的定義進(jìn)行類比分析，可得出其中的對(duì)偶關(guān)系：“相加”對(duì)“相乘”、“相減”對(duì)“相除”、“和”對(duì)“積”、“差”對(duì)“商”利用這些對(duì)偶關(guān)系，我們就像寫對(duì)聯(lián)一樣，可以由等差數(shù)列中的有關(guān)結(jié)論輕松地得出等比數(shù)列中的相關(guān)結(jié)論例如:在等差數(shù)列中,距首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等.對(duì)偶地有:在等比數(shù)列中,距首末兩端等距離的兩項(xiàng)的積相等.【例】（2000年上海高考題）在等差數(shù)列an中，若a10=0,則有等式a1+a2+a3+an= a1+a2+a3+a19-n(n<19,nN*)成立.類比以上性質(zhì)

33、，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若b9=1,則有等式_成立.【解析】我們從更一般的角度來(lái)分析等差數(shù)列an.由題設(shè),如果ak=0,那么有a1+a2+a3+an= a1+a2+a3+a2k-1-n(n<2k-1,nN*)成立.又如果k+n=p+q,其中k,n,p,q是自然數(shù).對(duì)于等差數(shù)列an有ak+an=ap+aq;對(duì)于等比數(shù)列bn有bkbn=bpbq.這樣我們可以得出結(jié)論:如果bk=1,則有等式b1b2b3bn= b1b2b3b2k-1-n(n<2k-1,nN*)成立.結(jié)合本題k=9.2k-1-n=2×9-1-n=17-n.于是應(yīng)填：b1b2b3bn= b1b2b3b17-n(n&

34、lt;17,nN*).【點(diǎn)評(píng)】本題是一道小巧而富于思考的妙題.主要考查觀察分析能力,抽象概括能力,考查運(yùn)用聯(lián)想與類比的思想方法由等差數(shù)列an而得到等比數(shù)列bn的新的一般性結(jié)論.有關(guān)這方面的詳細(xì)總結(jié)請(qǐng)?jiān)斠娗懊娴牡炔顢?shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)比較一覽表二、遞歸與遞推如果知道數(shù)列的前一項(xiàng)或前幾項(xiàng),并且知道遞推公式,就可以遞推地把所有項(xiàng)都找出來(lái),這就是遞推法.因?yàn)楹竺娴捻?xiàng)總是歸結(jié)(返回)到用前面的項(xiàng)表示,所以也叫遞歸法.【例2】已知S0=10+20+30+n0=n(n的一次式)S1=1+2+3+n=(n的二次式)求：S2=12+22+32+n2=?【解析】為了遞歸用S0，S1表示S2，須找到一個(gè)遞推公式

35、.猜想S2是n的三次式，于是想到簡(jiǎn)單的恒等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1移項(xiàng)得 （n+1）3-n3=3n2+3n+1 （遞推公式）于是有 n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+1 33-23=3·22+3·2+1 23-13=3·12+3·1+1疊加，消去相同項(xiàng)，得（n+1）3-1=3S2+3S1+S0（遞推公式） S2=（n+1）3-1-3S1-S0 =（n+1）3-1-3·-n =(2n3+3n2+n) =n(n+1)(2n+1). (n的二次三項(xiàng)式)【點(diǎn)評(píng)】由此可見，遞推法不僅能用于證明遞歸數(shù)列命題的結(jié)論，而且能用于尋

36、求結(jié)論.【例3】（2005年，北京模擬）猴子第一天摘下若干個(gè)桃子，當(dāng)即吃了一半，還不過癮，又多吃了一個(gè)第二天早上又將剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一個(gè)以后第天早上都吃前一天剩下的一半后還要吃一個(gè)到第十天早上想吃時(shí)，見只剩下一個(gè)桃子了求第一天共摘了多少個(gè)桃子？【解析】設(shè)從第一天開始順次每天還沒有吃時(shí)的桃子數(shù)組成的數(shù)列為an，由題意可得設(shè)，由前面介紹的求通項(xiàng)的方法可以求得解得即第一天猴子共摘了1534個(gè)摘子【點(diǎn)評(píng)】由上面的遞推關(guān)系可得，已知可求，已知可求，由此可求出，這就是遞歸法研究數(shù)列的通項(xiàng)的思想其實(shí)就是遞歸的思想三、猜想與論證 如果一個(gè)命題的特殊情況甚多，不便于用窮舉歸納法，這時(shí)往往先研究少數(shù)（

37、或個(gè)別）情況以求得結(jié)論，這就是不完全歸納法.這種方法雖然結(jié)論不一定正確,但對(duì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得到正確結(jié)論有重要幫助作用.對(duì)猜想的結(jié)論只要加以嚴(yán)密的論證,就保證了猜想結(jié)論的正確性.【例4】已知各項(xiàng)都是正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列an滿足以下條件:a1=1,an+1>an(nN*);an+12+an2-2an+1an-2an+1-2an+1=0(nN*)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【分析】在遞推公式中,依次令n=1,2,3,同時(shí)注意到題設(shè)告訴我們?cè)摂?shù)列是遞增的正項(xiàng)數(shù)列,可以求得a2=4,a3=9,a4=16,由此可以猜想:an=n2;如果猜想正確,那么=n,為公差為1,首項(xiàng)也為1的等差數(shù)列,于是只須證明-=1. 【解】

38、對(duì)題設(shè)條件變形得:(an+1-an-1)2=4an 所以 an+1=an+1+2(為什么)即()2=(+1)2-=1,而a1=1,an+1>an(nN*)數(shù)列為公差為1,首項(xiàng)也為1的等差數(shù)列=1+(n-1)·1=n, an=n2(nN*). 【點(diǎn)評(píng)】本題如果不事先進(jìn)行歸納猜想,就很難找到以上的簡(jiǎn)單解法.正如一位偉人所說(shuō):沒有大膽的猜想,便沒有偉大的發(fā)現(xiàn).四、順?biāo)寂c逆思數(shù)列部分中的許多重要結(jié)論,把它們作為一個(gè)個(gè)的命題,那么在這些真命題中,有的逆命題是成立的,但有的逆命題是不成立的.平常,我們要自覺地多加以思考.我們知道,如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,那么它的前n項(xiàng)和公式為:Sn=n(a

39、1+an);反過來(lái),如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為:Sn=n(a1+an),那么這個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列呢？這就是1995年的一道文科高考?jí)狠S題,回答是肯定的.再如,我們知道,兩個(gè)等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列,那么兩個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和組成的新數(shù)列是不是等比數(shù)列呢?這便是2000年的一道高考探索題,需要我們進(jìn)行分類與討論后才能做出正確的回答.高考對(duì)我們的要求是,要求我們能夠進(jìn)行主動(dòng)性的學(xué)習(xí),所以平常我們要養(yǎng)成自覺地提出問題,分析問題與解答問題的好習(xí)慣.【例5】(2004年高考題·湖北卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=a2-()n-1-b2-(n+1)( )n-1(n=1,

40、2,3)，其中a、b是非零常數(shù).則存在數(shù)列xn、yn使得（A） an=xn+yn,其中xn是等差數(shù)列，yn是等比數(shù)列（B） an=xn+yn,其中xn和yn都是等差數(shù)列（C） an=xnyn,其中xn是等差數(shù)列，yn是等比數(shù)列（D） an=xnyn,其中xn和yn都是等比數(shù)列 【解析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的一般形式為Sn=An2+Bn；等比數(shù)列在公比不等于1(公比等于1時(shí)可把它當(dāng)成等差數(shù)列對(duì)待)的時(shí)候，其前n項(xiàng)和的一般形式為Sn=C-C·qn(C0).因?yàn)閮蓚€(gè)等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，故應(yīng)排斥（B）；又因?yàn)閮蓚€(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，故應(yīng)排斥（

41、D）;假設(shè)選(A),則Sn= An2+Bn+ C-C·qn(C0),對(duì)比條件分析知必有A=0且B=0,于是a2-()n-1-b2-(n+1)( )n-1= C-C·qn(C0),此不可能,排斥(A);所以選(C). 【說(shuō)明】順?biāo)寂c逆思也就是要求我們注意運(yùn)用邏輯分析的方法去分析問題與解決問題,要注意命題的等價(jià)形式,如一個(gè)命題的原命題與它的逆否命題是等價(jià)的,而當(dāng)一個(gè)命題為真命題時(shí),它的逆命題卻不一定為真;要注意正難則反的思維策略,，如此等等. 五、求和與放縮由于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)列知識(shí)的要求，加之?dāng)?shù)列知識(shí)是一塊只有調(diào)整未作刪減的內(nèi)容，高考命題組的高校教師熱衷于不等式與遞歸數(shù)列的綜合應(yīng)是十分正常的，這類命題能較好體現(xiàn)課本知識(shí)內(nèi)容與能力要求的關(guān)系，復(fù)習(xí)中應(yīng)該是一個(gè)重點(diǎn)，同學(xué)們必須明確對(duì)這類問題的三種處理方法（一是利用轉(zhuǎn)化，化歸為等差或等比數(shù)列問題解決；二是可能借助數(shù)學(xué)歸納法解決；三是可望求出通項(xiàng)公式后一般性解決）數(shù)列與不等式的綜合通常涉及數(shù)列求和問題,有的題中的和式不能事先求和,但放縮以后的式子可能可以求和,求和方法通常有兩種,一是直接利用等差或等比數(shù)列等求和公式,二是裂項(xiàng)求和、分組求和、錯(cuò)位相減求和等.有關(guān)數(shù)列的求和方法請(qǐng)?jiān)斠娗懊娴那髷?shù)列an的前n項(xiàng)和的方法這里特別要提到的是,高考中數(shù)列的求和問題常與不等式相結(jié)合,