天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)管類

1、2012年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（經(jīng)管類）一. 填空題（本題15分，每小題3分）:1. 設(shè)，則=6.2. 設(shè)函數(shù)連續(xù)且不等于0，又，則. 3. 半徑為R的無蓋半球形容器中裝滿水，然后慢慢地使容器傾斜，則流出的水量V=.4. 設(shè)函數(shù)可微，且,.又設(shè)平面區(qū)域，則.5. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處二階可導(dǎo)，且，則二. 選擇題（本題15分，每小題3分）:1. 設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，則（D）(A)1, (B)e, (C) (D) 2. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x=0的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且滿足，則有 （ B ）(A) 在點(diǎn)x=0處不一定可導(dǎo)(B) 在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且 (C) 在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且 (D) 在點(diǎn)x

2、=0處取得極小值3. 設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間和上的圖形分別是直徑為1的上半圓周和下班圓周，在區(qū)間和上的圖形分別是直徑為2的下半圓周和上半圓周。如果，那么非負(fù)的范圍是（A ）(A)整個(gè) (B)僅為(C)僅為 (D)僅為4. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且.記，則 （ B ）(A) (B) (C) (D) 5. 設(shè)在有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足，則（B）(A)0， (B)1， (C)2， (D)3三. 設(shè)，n=1,2,，.求極限。解：由已知 4分因此，。 7分四. 設(shè)函數(shù)由方程確定，且可導(dǎo)，試求的極值。解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo) 2分由于，解得 （1）當(dāng)時(shí)，代入方程：解得， 4分這時(shí)，。（1）式的兩邊對(duì)x求導(dǎo)由 可知在

3、處取得極大值，其極大值為 7分五. 求積分解 令 ，則 3分 7分關(guān)于的另一解法。令,，則因此， 六. 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，且，求。解:由題設(shè)及，得 ， 2分則 因，故 4分解得 因此，從而 7分七. 求積分，其中n為正整數(shù)解：應(yīng)用分部積分法 2分 4分 7分八. 設(shè)曲線C與曲線和的位置如圖是曲線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與曲線和圍成的圖形記為A，過點(diǎn)P垂直于y軸的直線與曲線和圍城的圖形記為B。若A和B分別繞y軸旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積相等，求曲線的方程。解：設(shè)曲線的方程為，。A和B分別繞y旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)體體積記為和 ，則，應(yīng)用薄殼法 3分（或者，用另一種方法：）由題設(shè)，對(duì)任意的x&

4、gt;0有=，即約去后，兩端對(duì)x求導(dǎo)，得，解得 5分令，則。因此，曲線的方程為或 7分九. 假設(shè)函數(shù)滿足且對(duì)于，證明 存在，且證： 根據(jù)微積分基本定理由已知且當(dāng)時(shí)，即是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)2分所以 5分可見單增且有上界，因而存在，且 7分十. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且，單調(diào)增加，證明證 令則。求導(dǎo)，得， 3分則。再求導(dǎo)，得 5分于是，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加。由，得，即 7分十一.一個(gè)半徑為的小球嵌入一個(gè)半徑為1的球中，二球面的交線恰為一個(gè)半徑為r的圓（即小球的大圓，如右圖）。問當(dāng)r為何值時(shí)，位于小球內(nèi)，大球外的那部分立體的體積達(dá)到最大?解：如圖，設(shè)小球的球心為，以大球球心為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系。半個(gè)小球的體積。大球（單位球）中以為高的球缺體積為因此，位于小球內(nèi)，大球外的那部分立體的體積為 3分 5分令，得唯一駐點(diǎn)。而此實(shí)際問題的最大值存在，因此，當(dāng)時(shí)，位于小球內(nèi)，大球外的那部分立體的體積達(dá)到最大。 7分十二.設(shè)是以原點(diǎn)和三點(diǎn)（0,1,0），（1,1,1），（0,1,1）為頂點(diǎn)的四面體。（1） 將表示為“先z次y后x”的三次積分。（2） 試證明解：（1）可表示為故, 2分證：（2）設(shè)，則，且 4分。 7分