優(yōu)化設(shè)計方法

1、3.3最優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)化設(shè)計方法是指采用最優(yōu)化準(zhǔn)則來設(shè)計的方法。在 FIR DF的最優(yōu)化設(shè)計中 ,最優(yōu)化準(zhǔn)則有均方誤差最小化準(zhǔn)則和等波紋切比雪夫逼近(也稱最大誤差最小化)準(zhǔn)則兩種。實際設(shè)計中 ,只有采用窗函數(shù)法中的矩形窗 才能滿足前一種最優(yōu)化準(zhǔn)則 ,但由于吉布斯 (Gibbs )效應(yīng)的存在，使其根本不能滿足設(shè)計的要求。為了滿足設(shè)計的要求 ,可以采用其它的窗函數(shù)來消除吉布斯效應(yīng) ,但此時的設(shè)計已經(jīng)不能滿足該最優(yōu)化準(zhǔn)則了。因此 ,要完成 FIR DF的最優(yōu)化設(shè)計 ,只能采用后一種優(yōu)化準(zhǔn)則來實現(xiàn)。在濾波器的設(shè)計中 ,通常情況下通帶和阻帶的誤差要求是不一樣的。等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則就是通過對通帶和阻帶使

2、用不同的加權(quán)函數(shù) ,實現(xiàn)在不同頻段(通常指的是通帶和阻帶)的加權(quán)誤差最大值相同 ,從而實現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá)到最小值。盡管窗函數(shù)法與頻率采樣法在FIR數(shù)濾波器的設(shè)計中有著廣泛的應(yīng)用, 但兩者不是最優(yōu)化的設(shè)計 。通常線性相位濾波在不同的頻帶內(nèi)逼近的最大容許誤差要求不同。等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則就是通過通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù),實現(xiàn)在不同頻段(通常指的是通帶和阻帶) 的加權(quán)誤差最大值相同,從而實現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá)到最小值，即使得 和之間的最大絕對誤差最小。 等波紋切比雪夫逼近是采用加權(quán)逼近誤差，它可以表示為： (3-4)其中，為逼近誤差加權(quán)函數(shù)在誤差要求高的頻段

3、上，可以取較大的加權(quán)值，否則，應(yīng)當(dāng)取較小的加權(quán)值。 盡管按照 FIR 數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng) h(n)的對稱性和 N的奇、偶性，F(xiàn)IR 數(shù)字濾波器可以分為 4 種類型，但濾波器的頻率響應(yīng)可以寫成統(tǒng)一的形式： (3-5)其中，k0 ,1 , H ()為幅度函數(shù)，且是一個純實數(shù)，表達(dá)式也可以寫成統(tǒng)一的形式： (3-6)其中，為的固定函數(shù)，為M個余弦函數(shù)的線性組合。 利用數(shù)字信號處理工具箱中的 remezord 和 remez函數(shù)可以實現(xiàn) FIRDF的最優(yōu)化設(shè)計。在此先介紹這兩個函數(shù):(1)n ,fo ,ao ,weights =remezord f ,a ,dev功能:利用 remezord 函數(shù)

4、可以通過估算得到濾波器的近似階數(shù) n ,歸一化頻率帶邊界fo ,頻帶內(nèi)幅值ao 及各個頻帶內(nèi)的加權(quán)系數(shù)weights。輸入?yún)?shù)f為頻帶邊緣頻率 ,a 為各個頻帶所期望的幅度值 ,dev是各個頻帶允許的最大波動。(2)h =remez(n ,fo ,ao ,weights, ftype)功能:利用 remez 函數(shù)可以得到最優(yōu)化設(shè)計的FIR DF的系數(shù) ,輸入?yún)?shù) n 是濾波器的階數(shù) ,fo ,ao ,weights參數(shù)含義說明同 (1)。ftype 是所設(shè)計的濾波器類型 ,它除了可以設(shè)計普通的濾波器外 ,它還可以設(shè)計數(shù)字希爾鈔特變換器以及數(shù)字微分器。實際設(shè)計中 ,由于 remezord 函數(shù)可

5、跑高估或低估濾波器的階數(shù) n ,因此在得到濾波器的系數(shù)后 ,必須檢查其阻帶最小衰減是否滿足設(shè)計要求。如果此時的技術(shù)指標(biāo)不能滿足設(shè)計要求 ,則必須提高濾波器的階數(shù)到 n +1 ,n +2等。故等波紋切比雪夫逼近法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的步驟是： 給出所需的頻率響應(yīng)，加權(quán)函數(shù)和濾波器的單位取樣響應(yīng)的長度N。 由中給定的參數(shù)來形成所需的、和的表達(dá)式。 根據(jù)Remez算法,求解逼近問題。 利用傅立葉逆變換計算出單位取樣響應(yīng) 。用最優(yōu)化設(shè)計法設(shè)計一個濾波器：例1： 設(shè)計一個最小階數(shù)的低通濾波器，采樣頻率fs=2000 Hz，通帶截止頻率為500Hz，阻帶的截至頻率為600Hz，阻帶最小衰減為40dB，通帶

6、的最大衰減為3dB。在設(shè)計之前應(yīng)先確定用說明方法設(shè)計，本例可選擇等波紋的最優(yōu)化設(shè)計法。程序如下：fs=2000; %采樣頻率rp=3; %通帶波紋rs=40; %阻帶波紋f=500 600; %截止頻率a=1 0; %期望的幅度dev=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1) 10(-rs/20);n,fo,ao,w=remezord(f,a,dev,fs);b=remez(n,fo,ao,w); %調(diào)用最優(yōu)設(shè)計法中remez 函數(shù)freqz(b,1,1024,fs)程序運行后，計算機(jī)輸出該濾波器的幅頻及相頻響應(yīng)特性，如圖1所示。圖1 濾波器輸出的幅頻及相頻響應(yīng)特性上圖中幅頻特性

7、曲線從500Hz開始向下折，這是因為題設(shè)中通帶截止頻率為500Hz，同樣圖中幅頻曲線在600Hz降為最低，是因為題設(shè)中阻帶的截至頻率為600Hz。最優(yōu)化設(shè)計圖 5 濾波器輸出的幅頻及相頻響應(yīng)特性結(jié)果分析：在設(shè)計中 ,如果該濾波器的特性不滿足要求 ,那么 ,原有參數(shù)必須作適當(dāng)調(diào)整。這在程序中很容易實現(xiàn) ,只需對參數(shù)進(jìn)行重新設(shè)定 ,就可以得到新條件下濾波器的特性。采用最優(yōu)化設(shè)計方法時大大減小了濾波器的階數(shù),從而減小了濾波器的體積,并最終降低了濾波器的成本。這樣使得設(shè)計出來的濾波器更為簡單經(jīng)濟(jì)。因而在實際的濾波器設(shè)計中,這種最優(yōu)化方法是完全可行的。在實際應(yīng)用中 ,如果需要對某一信號源進(jìn)行特定的濾波

8、,并要檢驗濾波效果 ,應(yīng)用傳統(tǒng)方法實施起來比較繁瑣。在Matlab環(huán)境下,可先用軟件模擬產(chǎn)生信號源 ,再設(shè)計濾波器對其進(jìn)行濾波 。同樣是設(shè)計一個FIR低通數(shù)字濾波器，綜合分析可以看出： （1）窗函數(shù)法在階數(shù)較低時，阻帶特性不滿足設(shè)計要求，只有當(dāng)濾波器階數(shù)較高時，使用海明窗和凱塞窗基本可以達(dá)到阻帶衰耗要求； （2）頻率采樣法偏離設(shè)計指標(biāo)最明顯，阻帶衰減最小，而且設(shè)計比采用窗函數(shù)法復(fù)雜。只有適當(dāng)選取過渡帶樣點值，才會取得較好的衰耗特性； （3）利用等波紋切比雪夫逼近法則的設(shè)計可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特性，具有通帶和阻帶平坦，過渡帶窄等優(yōu)點。 綜上所述，F(xiàn)IR 濾波器很容易實現(xiàn)具有嚴(yán)格線性相位的系統(tǒng), 使信號經(jīng)過處理后不產(chǎn)生相位失真,舍入誤差小,而且穩(wěn)定，因此越來越受到廣泛的重視。MATLAB軟件的誕生, 使數(shù)字信號處理系統(tǒng)的分析與設(shè)計得簡單,它已經(jīng)成為電子工程師必備的一個工具軟件。最優(yōu)化設(shè)計實現(xiàn)程序fs =2000; %采樣頻率rp =3; %通帶波紋rs =40; %阻帶波紋 f = 500 600; %截止頻率a = 1 0; %期望的幅度dev= (10(rp/20) - 1)/