立體幾何-垂直問題（2014）

1、立幾中的垂直問題垂直關(guān)系的證明的基本思路：利用點線面關(guān)系的互換；立幾問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決。1平面內(nèi)如何判斷線線垂直：（平面幾何的知識）等腰三角形（三線合一）；直角三角形（兩角和為；勾股定理，有時要用余弦定理求長度）；圓：直徑所對的圓周角為直角（三角形某邊的中線等于邊長一半能夠成圓）；菱形（鄰邊相等的平行四邊形為菱形，從而得出對角線互助垂直）；*矩形（對角線相等的平行四邊形為矩形，從而得出相鄰兩邊垂直）；*平面內(nèi)兩平行直線，其中一條垂直于某直線，另一條也垂直于這條直線。2線面關(guān)系的互換： 線線垂直線面垂直 面面垂直（1）（兩）線線垂直線面垂直線面垂直的判定定理：如果一條直線與平面的兩條相交直線

2、都垂直，那么這條直線與此平面垂直；（2）線面垂直線線垂直線面垂直的性質(zhì)定理：如果一條直線垂直于一個平面，那么該直線垂直于此平面內(nèi)的任一直線；（3）線面垂直面面垂直（找垂線）面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過或平行于另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直；*（4）面面垂直線面垂直(已知條件有“面面垂直”才會用到這個定理)面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面；3. 結(jié)論要證明異面直線垂直、面面垂直都是轉(zhuǎn)化為線面垂直的。4條件如有面面垂直，一定優(yōu)先轉(zhuǎn)化為線面垂直。相關(guān)例題：()()圖61如圖6()所示，在邊長為12的正方形中，點在線段上，且，作/

3、，分別交、于點、，作/，分別交、于點、，將該正方形沿、折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖6()所示的三棱柱（1）在三棱柱中，求證：平面；（2）求（答案：20）2（2013廣東）如圖1,在等腰直角三角形中,分別是上的點,為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.() 證明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.（答案：）.COBDEACDOBE圖1圖23（2013江西）如圖,四棱錐中，平面，為的中點，為的中點，連接并延長交于.(1)求證:;(2)求平面與平面的夾角的余弦值.（）4.(2011山東文)如圖，在四棱臺中，平面，底面是平行四邊形，60°證明：；ABCDA1B1C1D1EF5如

4、圖所示，在棱長為2的正方體中，分別是、的中點.（1）求證:平面； （2）求證: ；（3）求三棱錐的體積. （答案：1）6（2013遼寧）如圖,是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上的點.(I)求證:(II)若，求二面角的余弦值。（答案：）7.(2010福建理)如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓直徑.（）證明：平面平面；（）設(shè)AB=，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自于三棱柱內(nèi)的概率為.（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求的最大值；（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時，求的值.（答案：（2）；(3)）8.(2011湖南理)如圖5，在圓錐中，已知，圓的直徑，是的中點，為的中點（I）證明：（II）求二面角的余弦值（答：）9(2010北京)如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，。（）求證：平面；（）求證：平面；（）求二面角的大小。（答：）10（2009深圳一模）如圖，為圓的直徑，點、在圓上，矩形和圓所在的平面互相垂直已知,（）求證：平面平面； （）求直線與平面所成角的大小；()當(dāng)?shù)拈L為何值時，二面角的大小為？【答案】（2）；（3）；11.如圖所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱