分式方程與無理方程非常規(guī)

1、分式方程與無理方程（非常規(guī)）例1、求方程x+4的實(shí)數(shù)解例2、解方程+=（a b）例3、解方程=x例4、解方程+2+3=（x+y+z）例5、解方程+=+例6、求方程的整數(shù)解2+= 例7、已知實(shí)數(shù)x1，x2，xn滿足=，x1+x2+xn+= 。 求x1例8、已知實(shí)數(shù)a，b，c，d互不相等，且a+=b+=c+=d+=x，試求x的值例9、已知關(guān)于x的方程（a2-1）()2-(2a+7)( )+1=0有實(shí)數(shù)根（1）求a的取值范圍（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,且+=，求a的值練習(xí)：1、方程 -=的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 個(gè)2、如果a+b-2-4=3-c-5，則a+b+c的值為 3、若方程=x有兩個(gè)不相等

2、的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是 4、若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+=4，y+=1，z+=，則xyz的值為 5、滿足x+y-+=2003的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是 6、已知-=1，那么代數(shù)式+的值為 7、對(duì)于x的哪些實(shí)數(shù)值，等式+=成立？8、解方程+=分式方程與無理方程解分式方程與無理方程時(shí)，主要用到的技巧有觀察法、配方法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、韋達(dá)定理法、方程的不等式解法等。解題時(shí)，要注意從方法技巧的角度去提高分析問題、解決問題的能力。例1、求方程x+4的實(shí)數(shù)解解：顯然x2，觀察方程兩邊，取 得x=4令y=，則原方程變形為y2y(2)=0，此方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根，從而有唯一的非負(fù)根。經(jīng)檢驗(yàn)知，x=4是原方程的

3、實(shí)數(shù)解.例2、解方程+=（a b）解：顯然有bxa，觀察知，x1=a，x2=b是原方程的解.當(dāng)bxa時(shí)，有0，0以、為直角邊作直角三角形，則斜邊為由三角形任意兩邊之和大于第三邊得，+ 所以除x1=a，x2=b外，原方程再無實(shí)數(shù)解經(jīng)檢驗(yàn)知，x1=a，x2=b是原方程的解說明：觀察法解方程的缺點(diǎn)是有時(shí)會(huì)減根，因此在用觀察法初步得出方程的解之后，還要全面考慮，找到方程的全部解。例3、解方程=x解：顯然x1.方程兩邊乘以2后，移項(xiàng)配方，有0=2x22 = =（-1）2+（-）2 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得 ，平方得，x2-x-1=0，取不小于1的根，得x=經(jīng)檢驗(yàn)知，x=是原方程的解.例4、解方程+2+3=（x

4、+y+z）解：配方得，（-1）2+（-2）2+（-3）2=0由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得， ，得經(jīng)檢驗(yàn)知， 是原方程的解.例5、解方程+=+解：平方得，=、是二次方程t2-(+)t+=0的兩個(gè)根， 或x=0 或x=3 經(jīng)檢驗(yàn)知，它們是原方程的解例6、求方程的整數(shù)解2+= 解：由2，得0x8 又由有=-2 ，平方后移項(xiàng)，得8=16+2x-y16+2x-y為整數(shù)，為整數(shù)，設(shè)x=2b2（b為整數(shù)），代入得，02b28，b2只能取0，1，4當(dāng)b2=0時(shí)，x1=0,代入，得y1=16當(dāng)b2=1時(shí)，x2=2,代入，得y2=4當(dāng)b2=4時(shí)，x3=8,代入，得y3=0經(jīng)檢驗(yàn)知，它們是原方程的解例7、已知實(shí)數(shù)x1，x2，x

5、n滿足=，x1+x2+xn+= 求x1解：=，= x1+=x2+=xn+又x1+x2+xn+= n(x1+)= nx12-x1+n=0 x1為實(shí)數(shù)，=（-）2-4n20， 解得n，又n1 取n=1 x1+= 解得x1=3或經(jīng)檢驗(yàn)知，它們是原方程的解例8、已知實(shí)數(shù)a，b，c，d互不相等，且a+=b+=c+=d+=x，試求x的值解：=x-a， b=x- (x-a)( x-)=1同理得(x-c)( x-)=1 (x-a)( x-)=(x-c)( x-)整理得，x+acx=a+c 又(x-a)( x-)=1 x2-ax+=1 把代入得，cx2=2c c0, x2=2， x=例9、已知關(guān)于x的方程（a2

6、-1）()2-(2a+7)( )+1=0有實(shí)數(shù)根（1）求a的取值范圍（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,且+=，求a的值解：（1）若x1，則原方程可轉(zhuǎn)化為（a2-1）x2-(2a+7)x(x-1)+ (x-1)2=0整理得，（a2-2a-7）x2+(2a+5)x+1=0若a2-2a-7=0，即a=12時(shí)，有x=-顯然2a+5=740，同時(shí)x1，當(dāng)a=12時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)解 若a2-2a-70，當(dāng)=（2a+5）2-4(a2-2a-7）0，即a-且a12時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)解由、知，當(dāng)a-時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)解（2）由題設(shè)知，是方程（a2-1）t2-(2a+7)t+ 1=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，得= 3a2-22a-80=0解得a1=10 a2=- 又由（1）知a-，而-a2=-應(yīng)舍去，只取a=10 鞏固練習(xí)：1、方程 -=的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 個(gè)答：12、如果a+b-2-4=3-c-5，則a+b+c的值為 答：203、若方程=x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是 答：0p4、若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+=4