幾何體的外接球與內(nèi)切球

1、幾何體的外接球與內(nèi)切球幾何體的外接球與內(nèi)切球1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。一、外接球（一）多面體幾何性質(zhì)法1、 已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為 4，體積為 16，則這個(gè)球的表面積是A.16B.20C.24D.3

2、2小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.2、 一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上， 且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為 1， 2， 3，則此球的表面積為。（二）補(bǔ)形法1、若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是.2、 設(shè), , ,P A B C是球O面上的四點(diǎn),且,PA PB PC兩兩互相垂直,若PAPBPCa,則球心O到截面ABC的距離是.小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為abc、 、，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R，則有2222R

3、abc.3、三棱錐OABC中，,OA OB OC兩兩垂直，且22OAOBOCa，則三棱錐OABC外接球的表面積為（）A26 aB29 aC212 aD224 a4、三棱錐ABCP的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中ABC是正三角形PA平面62,ABPAABC則該球的體積為（）A.316B.332C.48D.364答案及解析：答案及解析：10.B點(diǎn)評：本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補(bǔ)法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵5、如圖的幾何體是長方體1111ABCDABC D的一部分，其中113,2AB ADDDBBcm則該幾何體的外接球的表面積為(A211 cm(B)

4、222 cm(C)211 223cm( D)211 22 cm答案及解析：答案及解析：12.【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的結(jié)構(gòu).G1B解析：該幾何體的外接球即長方體1111ABCDABC D的外接球，而若長方體1111ABCDABC D的外接球半徑為 R ，則長方體1111ABCDABC D的體對角線為 2R，所以2222211(2 )332222RR，所以該幾何體的外接球的表面積222 cm，故選 B.【思路點(diǎn)撥】分析該幾何體的外接球與長方體1111ABCDABC D的外接球的關(guān)系，進(jìn)而得結(jié)論.6、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為 1 的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球

5、的表面積是（）A 12B4C3D 12答案及解析：答案及解析：14.考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積分析：三視圖復(fù)原幾何體是四棱錐，擴(kuò)展為正方體，它的體對角線，就是球的直徑，求出半徑，解出球的表面積解答：解：由三視圖知該幾何體為四棱錐，記作 SABCD，其中 SA面 ABCD面 ABCD 為正方形，將此四棱錐還原為正方體，易知正方體的體對角線即為外接球直徑，所以 2r=S球=4r2=4 =3答案：C點(diǎn)評：本題考查三視圖求表面積，幾何體的外接球問題，是基礎(chǔ)題（三）尋求軸截面圓半徑法1、正四棱錐SABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為2，SABCD、 、 、 、都在同一球面上，則此球的體積為.?C?D?A?B

6、?S?O?1?圖3小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).2、求棱長為 a 的正四面體 P ABC 的外接球的表面積3、三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1=2 且 AA1平面 ABC，ABC 是邊長為的正三角形，該三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為（）A 8BCD 8答案及解析：答案及解析：7.C考點(diǎn)：球的體積和表面積專題

7、：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：根據(jù)題意，正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的體積解答：解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，因?yàn)锳BC 是邊長為的正三角形，所以底面中心到頂點(diǎn)的距離為：1；因?yàn)?AA1=2 且 AA1平面 ABC，所以外接球的半徑為：r=所以外接球的體積為：V= r3= （）3=故選：C點(diǎn)評：本題給出正三棱柱有一個(gè)外接球，在已知底面邊長的情況下求球的體積著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、正三角形的計(jì)算和球的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題8.4、已知三棱錐ABCD中，2ABACBDCD，2BCAD，直線AD與底面BCD所成角為

8、3，則此時(shí)三棱錐外接球的體積為A.8B.23C.4 23D.8 23答案及解析：答案及解析：11.D（四）球心定位法1、在矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為A.12512B.1259C.1256D.12532、如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體外接球的表面積為A. 8B. 16C. 32D. 643、三棱錐PABC中，底面ABC是邊長為 2 的正三角形，PA底面ABC，且2PA，則此三棱錐外接球的半徑為（）?C?A?O?D?B?圖4A2B5C2D3214、如圖，在三棱錐 ABCD 中，ACD 與BCD 是全等的

9、等腰三角形，且平面 ACD平面BCD，AB=2CD=4，則該三棱錐的外接球的表面積為BC答案及解析：答案及解析：D27.EF考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體G專題：空間位置關(guān)系與距離H分析：取 AB，CD 中點(diǎn)分別為 E，F(xiàn)，連接 EF，AF，BF，求出 EF，判斷三棱錐的外接球球心 O 在線段 EF 上，連接 OA，OC，求出半徑，然后求解表面積I解答：解：取 AB，CD 中點(diǎn)分別為 E，F(xiàn)，連接 EF，AF，BF，由題意知 AFBF，AF=BF，EF=2，易知三棱錐的外接球球心 O 在線段 EF 上，連接 OA，OC，有 R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面積為

10、J故答案為：KL點(diǎn)評：本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計(jì)算問題，對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題M28.N29.5、在三棱錐BCDA中，底面BCD為邊長為2的正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為BCD的中心， 若E為BC的中點(diǎn)，且直線AE與底面BCD所成角的正切值為O2 2，則三棱錐BCDA外接球的表面積為_P答案及解析：答案及解析：Q29.6R二、內(nèi)切球問題1、 一氣球 （近似看成球體） 在不變形的前提下放在由長為 2 的 12 根木條搭成的正方體中，該氣球球表面積最大是_2、正三棱錐的高為 1，底面邊長為2 6。求棱錐的內(nèi)切球的表面積。3、三棱錐ABCD的兩條棱6ABCD,其余各棱長均為5， 求三棱錐的內(nèi)切球半徑.4、如圖，已知球 O 是棱長為 1 的正方體 ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面 ACD1截球 O 的截面面積為()ABCD答案及解析：答案及解析：4.C考點(diǎn)：截面及其作法專題：空間位置關(guān)系與距離分析：根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，判斷出平面 ACD1是正三角形，求出它的邊長，再通過圖求出它的內(nèi)切圓的半徑，最后求出內(nèi)切圓的面積解答：解：根據(jù)題意知，平面 ACD1是邊長為的正三角形，且球與以點(diǎn) D 為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為三角形