函數(shù)習(xí)題答案

1、習(xí)題 41判斷下列關(guān)系中哪個(gè)能構(gòu)成函數(shù)： (1) (2) 設(shè)A1， 2， 3， 4， Bb1， b2， b3， R1AB，R2AB， 其中 R1(1， b1)， (2， b1)， (3， b1) R2(1， b1)， (2， b2)， (3， b3)， (2， b1) 解：(1) 因?yàn)橛?R1， 1R(-1)， 所以R不滿(mǎn)足像的唯一性。同時(shí)定義域?yàn)槿w非負(fù)整數(shù)，不滿(mǎn)足像的存在性。不構(gòu)成函數(shù)。(2) R1不是函數(shù)， 因?yàn)?A無(wú)像；R2也不是函數(shù)， 因?yàn)?R2b2， 2R2b1， 像不唯一。 2.分析下列各個(gè)函數(shù)，指出其性質(zhì)（單射、滿(mǎn)射或雙射）（1）f: ZZ, f(j)=j mod 3（2）f:

2、 NN，（3）f: N0,1，（4）f: ZN，f(i)=|2i|+1（5）f: RR，f(r)=2r 15解：（1）、（2）、（4）既不是單射，也不是滿(mǎn)射。（3）是滿(mǎn)射。（5）是雙射。3. 假設(shè)f和g是函數(shù)，求證fg也是函數(shù)。證明：fg=|xdom fxdom gy=f(x)y=g(x)=|xdom fdom gy=f(x)=g(x)令h = fg，則dom h =x|xdom fdom gf(x) =g(x)若y1 y2，因?yàn)閒是函數(shù)，故必有y1=f(x1)，y2=f(x2)，且x1x2，所以h = fg是一個(gè)函數(shù)。因?yàn)閐om h存在且y1 y2時(shí)x1x2，即h =|xdom h，y=h(

3、x) =f(x) =g(x)4. 設(shè)A=1，2，n，證明從A到A的任意單射函數(shù)必是滿(mǎn)射函數(shù)，其逆亦真。證明：設(shè)f是從A到A的單射函數(shù)，則|A|=| f(A)|，因?yàn)閒是A到A的函數(shù)，所以f(A) A，又因?yàn)閨A|=| f(A)|，且|A|是有限的，因此必有f(A) = A，即f是滿(mǎn)射函數(shù)。反之，若f是從A到A的滿(mǎn)射函數(shù)，根據(jù)滿(mǎn)射定義有，f(A) = A，于是|A|=| f(A)|，又由|A|是有限的，故f是從A到A的單射函數(shù)。5. 證明從NN到N的函數(shù)f(x，y)=x+y和g(x，y)=xy是滿(mǎn)射，但不是單射。證明：對(duì)任意zN，顯然存在0，1，zN，使得0+z=z，1z=z，因而f(x，y)=

4、x+y和g(x，y)=xy是滿(mǎn)射。由于3+2=4+1=5，因而f(x，y)=x+y不是單射，由于32=61=6，因而g(x，y)=xy不是單射。6. 試給出滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)例子。（1）是單射而不是滿(mǎn)射。（2）是滿(mǎn)射而不是單射。（3）不是單射也不是滿(mǎn)射。（4）既是單射又是滿(mǎn)射。解：（1）設(shè)A=a,b,c，B=1,2,3,4，f=,。（2）設(shè)A=a,b,c，B=1,2，f=,。（3）設(shè)A=a,b,c，B=1,2,3,4，f=,。（4）設(shè)A=a,b,c，B=1,2,3，f=,。7. 有限集A和B，|A|=m，|B|=n，問(wèn)：（1）A到B的不同的二元關(guān)系有多少？ （2）從A到B存在多少不同的函數(shù)？（

5、3）從A到B存在單射的條件是什么？有多少不同的單射？ （4）從A到B存在滿(mǎn)射的條件是什么？有多少不同的滿(mǎn)射？（5）從A到B存在雙射的條件是什么？有多少不同的雙射？解：（1）2 mn 。（2）n m。（3）mn，。 （4）nm，n!S(m，n)。（5）m=n，m！。8. 證明：（1）f(AB)= f(A)f(B)（2）f(AB) f(A)f(B)（3）f(A)-f(B) f(A-B)證明：（1）對(duì)任意的yf(AB)有，yf(AB) $xABf(x)= y$xA$xBf(x)= y ($xAf(x)= y)($xBf(x)= y) yf(A)yf(B) yf(A)f(B)（2）對(duì)任意的yf(AB)

6、有，yf(AB) $xABf(x)= y$xA$xBf(x)= y ($x1Af(x1)= y) ($x2Bf(x2)= y) yf(A)yf(B) yf(A)f(B)（3）對(duì)任意的y f(A)-f(B)有，yf(A)yf(B)。即對(duì)某個(gè)x1A，y=f(x1)，但對(duì)任意xB，yf(x)。故對(duì)某個(gè)x1A-B，y=f(x1)，即y f(A-B)于是f(A)-f(B) f(A-B)。9. 設(shè)f: AB是滿(mǎn)射函數(shù)，且函數(shù)g: BP(A)定義為:g(b)=x|xAf(x)=b證明：g是單射。其逆成立嗎？若成立給出證明，否則給出例子予以說(shuō)明。證明：因?yàn)閒是滿(mǎn)射函數(shù)，則對(duì)任意bB，至少存在一個(gè)xA，使得f(

7、x)=b，故g的定義域?yàn)锽。對(duì)任意的b1，b2B，且b1b2，g(b1)=x|xAf(x)= b1g(b2)=y|yAf(y)= b2因?yàn)閎1b2，f(x)f(y)，而f是函數(shù)，故xy，所以g(b1)g(b2)故g是單射。逆不成立。例如：A=a,b,c，B=x,y,z，則f: AB，f(a)=x，f(b)=x，f(c)=y。g: BP(A)，g(x)=a,b，g(y)=c，g(z)= 。g是單射，但f不是滿(mǎn)射。10. 證明：若f: AB，g: BA，且gf =IA，f g =IB，則g=f-1，且f=g-1。證明：因?yàn)間f =IA，所以gf (a1)= g(f (a1) =a1，gf (a2)

8、= g(f (a2) =a2，若a1a2，g(f (a1)g(f (a2)，所以f (a1)f (a2)，即f:是單射。又對(duì)任意的aA有g(shù)f (a)= g(f (a) =a，即存在f (a)=bB，使得g(b) =a，因此g是滿(mǎn)射。同理，若f g =IB，則g是單射且f是滿(mǎn)射，故可知f和g都是雙射函數(shù)。設(shè)f，因?yàn)镮A，而gf =IA，故必有某個(gè)cB，使得f且g，由ffb=c因此g。反之，若g，由IB，故必有某個(gè)dA，有g(shù)f，由gga=d因此f。上述證明得到f當(dāng)且僅當(dāng)g，所以g=f-1且f=g-1。11. 證明：若(gf)-1是一個(gè)函數(shù)，則f和g不一定是單射。證明：設(shè)A=a,b,c，B=1,2,3,4，C=x,y,z，f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，f=,，g=,則gf=,，(gf)-1=,是雙射函數(shù)，但g不是單射。12設(shè)，且有求和解：，且 13設(shè)函數(shù)f： RR和g： RR分別為 f(x)2x1， g(x)x22。求gf， fg， f 2， （gf）f， gf 2， f -1解：14若，試寫(xiě)出上的全部置換，并求，。解：， ，15證明所有整數(shù)形成的集合是一個(gè)可數(shù)集。證明： 顯然，f是一一對(duì)應(yīng)。16證明所有偶數(shù)形成的集合是一個(gè)可數(shù)集。證明：f：EN，顯然