華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之重積分

1、第12章     重積分內(nèi)容提要（一）二重積分概念和性質(zhì)1二重積分定義：設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒有其它公共部分的個(gè)子區(qū)域（），在每個(gè)中任取一點(diǎn)（），作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值，若極限存在，且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱函數(shù)在區(qū)域上可積，并稱此極限為在區(qū)域上的二重積分，記作，即 其中，稱為被積函數(shù)，為被積表達(dá)式，為面積元素，、是積分變量，是積分區(qū)域，并稱為積分和式。2二重積分的幾何意義：設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，當(dāng)時(shí)，二重積分表示以曲面為頂，底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。3性質(zhì)（1）線性性質(zhì)若，在上可積

2、，和為任意常數(shù)，則在上可積，且。（2）積分區(qū)域可加性質(zhì)若，且和除邊界外沒有公共部分，則在上可積的充要條件是在和上都可積，且。（3）不等式性質(zhì)設(shè)，在上可積，則（i）若，則，特別有 。（ii）若，是的面積，則有。（4）積分中值定理設(shè)為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則存在，使得，其中是的面積。（5）對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)設(shè)在有界閉區(qū)域上可積，（i）若關(guān)于軸對(duì)稱，則，其中。（ii）若關(guān)于軸對(duì)稱，則，其中。（二）二重積分的計(jì)算1利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分設(shè)在平面有界閉區(qū)域上連續(xù)：（i）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點(diǎn)，稱為型區(qū)域。則。（ii）若，其中、在上連續(xù)

3、。區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點(diǎn)，稱為型區(qū)域。則。如果區(qū)域不滿足以上條件，可以將區(qū)域分成若干個(gè)部分區(qū)域，使每個(gè)部分區(qū)域滿足以上條件，再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性來計(jì)算。2利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，極坐標(biāo)系中的面積元素為。在極坐標(biāo)系下，二重積分可變?yōu)椋╥）極點(diǎn)在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為，其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，則（ii）極點(diǎn)在區(qū)域邊界上。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為，其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則（iii）極點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為，其中在區(qū)間上連續(xù)，從而有（三）二重積分的應(yīng)用1曲面面積：設(shè)曲面是由方程給出，在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，且函?shù)在上有連

4、續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。則曲面的面積為2物理應(yīng)用：設(shè)平面薄片在平面上所占的區(qū)域?yàn)?，其面密度為。?）    薄片質(zhì)量：。（2）    一階矩：薄片關(guān)于、軸的一階矩、分別為，（3）    薄片質(zhì)心：，。（4）    薄片關(guān)于、軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：，（四）三重積分的定義設(shè)為空間閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分成個(gè)子域，以表示第個(gè)子域的體積。在每一個(gè)子域上任取一點(diǎn)，作和式，如果當(dāng)所有子域直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分，記作，即(五) 三重積分的

5、性質(zhì)（1）線性性質(zhì)，其中在上可積，為常數(shù)。（2）分域性質(zhì)，其中在上可積，且無公共內(nèi)點(diǎn)。（3）若在上可積且，則有（4）估值公式設(shè)在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，其最大值為，最小值，則上式中表示閉區(qū)域的體積。（5）中值定理設(shè)在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則，使（六）三重積分的計(jì)算（1）在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法（a）先單后重法若先對(duì)積分，則將積分區(qū)域向平面投影，記投影區(qū)域?yàn)椋杀硎緸?，則類似可以先對(duì)y積分或先對(duì)x積分。（b）先重后單法將積分區(qū)域向子軸投影得，再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域，得，則有（2）在柱面坐標(biāo)系中的算法設(shè)若，則（3）在球坐標(biāo)系中的方法設(shè)，若則一（七）三重積分的應(yīng)用（1）體積（2）物體的

6、質(zhì)量若物體所占空間區(qū)域?yàn)?，密度函?shù)為，則質(zhì)量（3）質(zhì)心坐標(biāo)（4）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量復(fù)習(xí)指導(dǎo)： 第12章 重積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)1 掌握二重積分的概念。2 會(huì)用聯(lián)立不等式表示平面區(qū)域。3 熟練掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。能按照積分區(qū)域的特征將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域，并進(jìn)一步變換二次積分的次序。4 會(huì)將直角坐標(biāo)系中簡單曲線的方程改寫為極坐標(biāo)系下的方程，會(huì)確定極坐標(biāo)系中積分區(qū)域的參數(shù)變化范圍，會(huì)在極坐標(biāo)系下計(jì)算簡單區(qū)域的二重積分。5 掌握二重積分的幾何意義，能用二重積分計(jì)算平面區(qū)域的面積和空間中簡單立體的體積。6 會(huì)用二重積分計(jì)算質(zhì)量、質(zhì)心、一階矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

7、等。7 掌握第一型曲面積分的概念，會(huì)確定曲面在坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域，會(huì)計(jì)算簡單曲面上的第一型曲面積分。8對(duì)三重積分可以理解為密度函數(shù)為的所占的區(qū)域?yàn)榈奈矬w的質(zhì)量。理解這一點(diǎn)對(duì)三重積分的許多性質(zhì)的理解有極大的幫助。還應(yīng)將三重積分和以前各類積分比較，一方面可以加強(qiáng)理解，另一方面也使同學(xué)不易忘記和混淆。三重積分變密度三維空間立體的質(zhì)量定積分dx變密度一維直剛絲的質(zhì)量第一型曲線積分變密度彎曲剛絲的質(zhì)量二重積分變密度二維平面薄片的質(zhì)量第一型曲面積分變密度空間曲面薄片的質(zhì)量9對(duì)稱性 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱時(shí)，若被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，即，則 其中為在面之上方的部分 若被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù), ，即，則 當(dāng)關(guān)于其他坐標(biāo)面對(duì)稱時(shí)有類似結(jié)論。10各類坐標(biāo)系的選擇（1）