全等三角形作輔助線專題一重點截長補短法可打印版

1、全等三角形作輔助線經(jīng)典例題常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；（遇垂線及角平分線時延長垂線段，構(gòu)造等腰三角形）5) 截長法與補短法，具體做法是在某條

2、線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、倍長中線（線段）造全等1：已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用：以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接

3、DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由二、截長補短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2：如圖，ADBC，EA,EB分別平分DAB,CBA，CD過點E，求證:ABAD+BC3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,

4、ADCD，BD平分，求證： 5:如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC6如圖，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，求BC的值 中考應(yīng)用：如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC，點E是AB上一個動點，若B=60°，AB=BC，且DEC=60°，判斷AD+AE與BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論。3、 找全等1. 已知：如圖，在RtABC中，ACB=90º，AC=BC，D為BC的中點，CEAD于E，交AB于F，連接DF求證：ADC=BDF2如圖，ABC中，AB=AC，過點A作GEBC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的延長線分別

5、交GE于點E、G試在圖10中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明 四.借助角平分線造全等說明：遇到有關(guān)角平分線的問題時，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等練習(xí)：1 已知：ABC中，BD=CD，12求證：AD平分BAC2.如圖22，ABCD，E為AD上一點，且BE、CE分別平分ABC、BCD求證：AE=ED以角的平分線為對稱軸構(gòu)造對稱圖形例： 如圖，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求證：AB=AC+CD分析：由于角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連接DE，我們就能構(gòu)造出一對

6、全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只需證明BE=CD就可以了延長角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例： 如圖，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求證：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延長CE交AB于點F，即可構(gòu)造全等三角形利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖，在ABC中，AD平分BAC，過點D作DEAB，DE交AC于點E易證AED是等腰三角形因此，我們可以過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形 例： 如圖，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于點E求證：CD=BE全等三角形作輔助線·課后練習(xí) 1在

7、ABC中，BAC=60º，C=40º，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求證：AB+BP=BQ+AQ 2如圖，在ABC中，AD平分BAC，AB=AC+CD求證：C=2B 3已知，E為ABC的A的平分線AD上一點，ABAC求證：AB-ACEB-EC 4如圖，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC 求證：A+C=180º5如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線DC過點E作交AD于點D，交BC于點C求證：AD+BC=AB 6已知，如圖，ABC中，ABC=90º，AB=BC，AE是A的平分線，CDAE于D求證：CD=AE

8、7ABC中，AB=AC，A=100º，BD是B的平分線求證：AD+BD=BC 8如圖，ABC中，AD平分BAC，AD交BC于點D，且D是BC的中點求證：AB=AC 9已知：如圖，ABC中，AD是BAC的平分線，E是BC的中點，EFAD，交AB于M，交CA的延長線于F求證：BM=CF 10.如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD11.如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.中考應(yīng)用: 如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、B