剪力與彎矩的計算方法

1、§7-2剪力與彎矩一、剪力和彎矩根據(jù)作用在梁上的已知載荷，求出靜定梁的支座反力以后，梁橫截面上的內(nèi)力可利用前面講過的“截面法”來求解，如圖7-8a所示簡支梁在外力作用下處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)在討論距支座距離為的截面上的內(nèi)力。圖 7-8簡支梁指定截面的剪力、彎矩計算根據(jù)截面法計算內(nèi)力的基本步驟“切、代、平”，計算梁的內(nèi)力的步驟為：、首先根據(jù)靜力平衡方程求支座反力和，為推導(dǎo)計算的一般過程，暫且用和代替。、用截面假想沿處把梁切開為左、右兩段，如圖7-8b、7-8c所示，取左段梁為脫離體，因梁原來處于平衡狀態(tài)，所以被截取的左段梁也同樣保持平衡狀態(tài)。從圖7-8b中可看到，左段梁上有一向上的支座反力、

2、向下的已知力作用，要使左段梁不發(fā)生豎向移動，則在截面上必定存在一個豎直方向的內(nèi)力與之平衡；同時，、對截面形心點有一個力矩，會引起左段梁轉(zhuǎn)動，為了使其不發(fā)生轉(zhuǎn)動，在截面上必須有一個力偶矩與之平衡，才能保持左段梁的平衡。和即為梁橫截面上的內(nèi)力，其中內(nèi)力使橫截面有被剪開的趨勢，稱為剪力；力偶矩將使梁發(fā)生彎曲變形，稱為彎矩。由于外載荷的作用線垂直于梁的軸線，所以軸力為零，通常不予考慮。剪力和彎矩的大小可由左段梁的靜力平衡方程來求解。由得：，得由得： 得如圖7-8c所示，如果取右段梁為脫離體，同樣可求得截面的剪力和彎矩。根據(jù)作用力與反作用力原理，右段梁在截面上的剪力和彎矩與左段梁在截面上的剪力和彎矩應(yīng)大

3、小相等，方向相反。二、剪力與彎矩的正負號規(guī)定從上面的分析可知，用截面法將梁切開分成兩段，同一截面上的內(nèi)力，取左段梁為脫離體和取右段梁為脫離體所得結(jié)果雖然數(shù)值相等，但方向卻是相反的，為此根據(jù)剪力和彎矩引起梁的變形情況來規(guī)定它們的正負號。圖 7-9剪力、彎矩的符號規(guī)定、剪力正負號的規(guī)定 如圖7-9a、7-9b所示，在橫截面處，從梁中取出一微段，若剪力使微段順時針方向轉(zhuǎn)動，則該截面上的剪力為正；反之為負。、彎矩正負號的規(guī)定 如圖7-9c、7-9d所示，在橫截面處，從梁中取出一微段，若彎矩使微段產(chǎn)生向下凸的變形，即上部受壓，下部受拉，則該截面上的彎矩為正；反之為負。為方便起見，在計算時通常將剪力和彎矩

4、假設(shè)成正方向，它的實際方向根據(jù)最后計算結(jié)果的正負號來確定，如果計算結(jié)果為正，則說明實際方向與假設(shè)方向相同；否則，相反。三、用截面法求指定截面上的內(nèi)力下面舉例說明用截面法求梁指定截面上的內(nèi)力。例7-1 如圖7-10a所示外伸梁，試計算1-1、2-2和3-3截面上的剪力和彎矩。圖 7-10外伸梁指定截面的內(nèi)力計算解：、求梁的支座反力和，根據(jù)梁的整體平衡方程：由，得 由，得 、求1-1截面上的內(nèi)力在1-1截面處將梁切開成左右兩段，取左段為脫離體，受力圖如圖7-10b所示，將剪力、彎矩的方向都按規(guī)定的正方向標(biāo)出。根據(jù)脫離體的平衡方程得：由，得 由所有外力對1-1截面的形心取矩：，得求得1-1截面的剪力

5、及彎矩均為正值，表示所假設(shè)的及的方向與實際方向相同，在脫離體上，剪力和彎矩的方向一律設(shè)為正向，計算結(jié)果為正則內(nèi)力就為正，計算結(jié)果為負則內(nèi)力就為負。、求2-2截面上的內(nèi)力在2-2截面處將梁切開成左右兩段，取左段為脫離體，受力圖如圖7-10c所示，將剪力、彎矩的方向都按規(guī)定的正方向標(biāo)出。根據(jù)脫離體的平衡方程得：由，得 由所有外力對2-2截面的形心取矩：，得求得2-2截面的剪力為負值，表示所假設(shè)的方向與實際方向相反。、求3-3截面上的內(nèi)力在3-3截面處將梁切開成左右兩段，如果取左段為脫離體進行計算，則作用在左段上的載荷較多，計算要麻煩一些，為方便起見，通常取受力較簡單的右段進行計算，受力圖如圖7-1

6、0d所示，將剪力、彎矩的方向都按規(guī)定假設(shè)成正方向，根據(jù)脫離體的平衡方程得：由，得 由所有外力對3-3截面的形心取矩：，得求得3-3截面的彎矩為負值，表示所假設(shè)的方向與實際方向相反。由上面例題看出，截面上的剪力和彎矩與梁上外力之間存在著下列關(guān)系：、梁內(nèi)任一橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力的代數(shù)和。、梁內(nèi)任一橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對該截面形心力矩的代數(shù)和。從上面例題看出，剪力和彎矩的正負號還可以由外力方向直接來確定：、截面左側(cè)向上的外力與截面右側(cè)向下的外力引起該截面的剪力為正，反之為負。、截面左側(cè)與截面右側(cè)向上的外力引起該截面上的彎

7、矩為正，反之為負。當(dāng)取左段進行分析時，任意截面的剪力等于所有向上的載荷減去所有向下的載荷，即：（7-1）如果取右段進行分析時，則有：，（也即）；當(dāng)取左段（或右段）進行分析時，任意截面的彎矩等于所有產(chǎn)生向上的線位移的力對該點之矩減去所有產(chǎn)生向下的線位移的力對該點之矩，即：（7-2）利用式、可以直接寫出指定截面的剪力和彎矩。四、計算剪力、彎矩的簡便方法利用上面的關(guān)系，可以直接根據(jù)作用在梁上的外力計算出任意截面的剪力、彎矩，從而省去取脫離體列平衡方程的步驟，使計算過程簡化。例7-2 計算圖7-11所示梁1-1和2-2截上的內(nèi)力。解：、求支座反力由梁的整體平衡方程:：，得 如果每次取左段進行分析，則可以不必計算右端的支座反力。圖 7-11一簡支梁的計算簡圖利用式、，可以直接得到1-1、2-2截面的剪力、彎矩：特別注意：當(dāng)