第二章導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的：理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義會(huì)求平面曲線的切線和法線,了解導(dǎo)數(shù)的物理意義,理解函數(shù)連續(xù)性與可導(dǎo)性之間的關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)定義的理解,不同形式的掌握教學(xué)內(nèi)容：1. 函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為了給出導(dǎo)數(shù)的概念，我們先看下面兩個(gè)問(wèn)題。（1）直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)某點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)。在直線上引入原點(diǎn)和單位點(diǎn)（即表示實(shí)數(shù)1的點(diǎn)），使直線成為數(shù)軸。此外，再取定一個(gè)時(shí)刻作為測(cè)量時(shí)間的零點(diǎn)。設(shè)動(dòng)點(diǎn)于時(shí)刻在直線上的位置的坐標(biāo)為（簡(jiǎn)稱(chēng)位置）。這樣，運(yùn)動(dòng)完全由某個(gè)函數(shù)所確定。這函數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所出現(xiàn)的值有定義，稱(chēng)為位置函數(shù)。在最簡(jiǎn)單的情形，該動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路

2、程與所花的時(shí)間成正比。就是說(shuō)，無(wú)論取哪一段時(shí)間間隔，比值經(jīng)過(guò)的路程所花的時(shí)間總是相同的。這個(gè)比值就稱(chēng)為該動(dòng)點(diǎn)的速度，并說(shuō)該點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)。如果運(yùn)動(dòng)不是勻速的，那么在運(yùn)動(dòng)的不同時(shí)間間隔內(nèi)，比值會(huì)有不同的值。這樣，把比值籠統(tǒng)地稱(chēng)為該動(dòng)點(diǎn)的速度就不合適了，而需要按不同時(shí)刻來(lái)考慮。那么，這種非勻速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)在某一時(shí)刻（設(shè)為）的速度應(yīng)如何理解而又如何求得呢？首先取從時(shí)刻到這樣一個(gè)時(shí)間間隔，在這段時(shí)間內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)從位置移動(dòng)到。這時(shí)由式算得的比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在上述時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度。如果時(shí)間間隔選得較短，這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的速度。但對(duì)于動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的速度的精確概念來(lái)說(shuō)，這樣做是不夠的，而更確切

3、地應(yīng)當(dāng)這樣：令,取式的極限，如果這個(gè)極限存在，設(shè)為，即，這時(shí)就把這個(gè)極限值稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的（瞬時(shí)）速度。（2）切線問(wèn)題圓的切線可定義為“與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線”。但是對(duì)于其它曲線，用“與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線”作為切線的定義就不一定合適。例如，對(duì)于拋物線，在原點(diǎn)處兩個(gè)坐標(biāo)軸都符合上述定義，但實(shí)際上只有軸是該拋物線在點(diǎn)處的切線。下面給出切線的定義。設(shè)有曲線及上的一點(diǎn)（圖2-1），在點(diǎn)外另取上一點(diǎn)，作割線。當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨于點(diǎn)時(shí)，如果割線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置,直線就稱(chēng)為曲線在點(diǎn)處的切線。這里極限位置的含義是：只要弦長(zhǎng)趨于零，也趨于零?，F(xiàn)在就曲線為函數(shù)的圖形的情形來(lái)討論切線問(wèn)題。設(shè)是曲線上的一個(gè)點(diǎn)（

4、圖2-2），則。根據(jù)上述定義要定出曲線在點(diǎn)處的切線，只要定出切線的斜率就行了。為此，在點(diǎn)外另取上的一點(diǎn)，于是割線的斜率為，其中為割線的傾角。當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨于點(diǎn)時(shí)，。如果當(dāng)時(shí)，上式的極限存在，設(shè)為,即存在，則此極限是割線斜率的極限，也就是切線的斜率。這里，其中是切線的傾角。于是，通過(guò)點(diǎn)且以為斜率的直線便是曲線在點(diǎn)處的切線。事實(shí)上，由以及時(shí)，可見(jiàn)時(shí)（這時(shí)），。因此直線確為曲線在點(diǎn)處的切線。圖2-2圖2-1 我們撇開(kāi)這些量的具體意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上的共性給出導(dǎo)數(shù)的概念。定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱(chēng)

5、函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即，也可記作，或。函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)有時(shí)也說(shuō)成在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在。導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式，常見(jiàn)的有和注：函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何定義：是曲線在點(diǎn)的切線斜率；路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是時(shí)刻的速度；在抽象情況下，表示在點(diǎn)變化的快慢。2. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在。由具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小的關(guān)系知道，其中當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小。上式兩邊同乘以，得。由此可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，。這就是說(shuō)，函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的。所以，如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。另一方面，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo)。3. 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義，是一個(gè)極

6、限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此存在即在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右極限 及 都存在且相等。這兩個(gè)極限分別稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記作及，即，?，F(xiàn)在可以說(shuō)，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，就說(shuō)在閉區(qū)間上可導(dǎo)。4. 求導(dǎo)練習(xí)下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例1 求函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解：，即。這就是說(shuō)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零。例2 求函數(shù)（為正整數(shù)）在處的導(dǎo)數(shù)。解：。把以上結(jié)果中的換成得，即。更一般地，對(duì)于冪函數(shù)（為常數(shù)），有。這就是冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。利用這公式，可以很方便地求出冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如

7、：當(dāng)時(shí)，（）的導(dǎo)數(shù)為，即；當(dāng)時(shí)，（）的導(dǎo)數(shù)為，即。例3 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解： ，即 。這就是說(shuō)，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù)。用類(lèi)似的方法，可求得，這就是說(shuō)，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù)。例4 求函數(shù)（）的導(dǎo)數(shù)。解：即 。這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。特殊地，當(dāng)時(shí)，因，故有。上式表明，以為底的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是它自己，這是以為底的指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特性。例5 討論在點(diǎn)連續(xù)性與可導(dǎo)性解： 在不連續(xù)，即在不可導(dǎo)。例6 討論在點(diǎn)連續(xù)性與可導(dǎo)性解： 在可導(dǎo)，當(dāng)然在點(diǎn)連續(xù)。例7 討論解： 在連續(xù) 在不可導(dǎo)。例8 已知，求解： 例9 已知，求解： 小結(jié)：本節(jié)講述了導(dǎo)數(shù)的定義,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系,作業(yè)

8、：作業(yè)卡P10P12第二節(jié) 函數(shù)和差積商的求導(dǎo)法則，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，反函數(shù)求導(dǎo)方法教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容：1. 函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，很容易得到和、差、積、商的求導(dǎo)法則（假定下面出現(xiàn)的函數(shù)都是可導(dǎo)的）。（1）（2）（3）這里僅證（2） 例1 ，求。解： ，即 。這就是正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。例2 ，求。解：，即 。這就是正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。用類(lèi)似方法，還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：，。2. 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若存在且不為零，則。由該公式我們可以由直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出其

9、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例3 設(shè)為直接函數(shù)，則是它的反函數(shù)。函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且。因此，由公式，在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)有。但（因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以根號(hào)前只取正號(hào)），從而得反正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：用類(lèi)似的方法可得反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：同樣我們可得到3. 導(dǎo)數(shù)的基本訓(xùn)練（1）（2）（3）（4）（5）（6） 小結(jié)：本節(jié)講述了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法作業(yè)：作業(yè)卡P13P14第三節(jié) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的：掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)難點(diǎn)：理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法教學(xué)內(nèi)容：1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 如果在點(diǎn)可導(dǎo)，而在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其

10、導(dǎo)數(shù)為。證： 由于在點(diǎn)可導(dǎo)，因此存在，于是根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系有，其中是時(shí)的無(wú)窮小。上式中，用乘上式兩邊，得。當(dāng)時(shí)，規(guī)定，這時(shí)因，而右端亦為零，故對(duì)也成立。用除兩邊，得，于是 。根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必在該點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì)知道，當(dāng)時(shí)，從而可以推知。又因在點(diǎn)可導(dǎo)，有，故 ，即 。證畢。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形。我們以兩個(gè)中間變量為例，設(shè)，則，而，故復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。當(dāng)然，這里假定上式右端所出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)處都存在。例1 ，求。解：。例2 ，求。解：。例3 ，求。解：所給函數(shù)可分解為，。因，故。不寫(xiě)出中間變量，此例可這樣寫(xiě)：。自我訓(xùn)練題：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（

11、8）2抽象的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)練習(xí)（所出現(xiàn)的抽象函數(shù)均可導(dǎo)）。（1）（2）（3）（4） 小結(jié)：本節(jié)講述了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法及抽象的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法作業(yè)：作業(yè)卡P15P18第三節(jié) 初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題、高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：熟練初等函數(shù)的求導(dǎo)方法，了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的n階導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)的歸納方法教學(xué)內(nèi)容：1 等函數(shù)求導(dǎo)小結(jié)初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)。為了解決初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，前面已經(jīng)求出了常數(shù)和全部基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，還推出了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函

12、數(shù)的求導(dǎo)法則。利用這些導(dǎo)數(shù)公式以及求導(dǎo)法則，可以比較方便地求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由前面所列舉的大量例子可見(jiàn)，基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則，在初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算中起著重要的作用，我們必須熟練地掌握它，為了便于查閱，我們把這些導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則歸納如下：（1）常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，。（2）函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)，都可導(dǎo)，則，（是常數(shù)），。（3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)，而且及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或。2 高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是的函數(shù)。我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即或。相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。類(lèi)似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階

13、導(dǎo)數(shù)，一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，分別記作或 。函數(shù)具有階導(dǎo)數(shù)，也常說(shuō)成函數(shù)為階可導(dǎo)。如果函數(shù)在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，那么在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于階的導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)高階導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù)。所以，仍可應(yīng)用前面學(xué)過(guò)的求導(dǎo)方法來(lái)計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)。例1 求指數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解：，。一般地，可得，即 。例2 求正弦與余弦函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。解：，一般地，可得 ，即 。用類(lèi)似方法，可得 。例3 求對(duì)數(shù)函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。解：，一般地，可得 ，即 。通常規(guī)定，所以這個(gè)公式當(dāng)時(shí)也成立。例4 求冪函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式。解：設(shè)（是任意常數(shù)），那么，一般地，可得 ，即 。當(dāng)時(shí)，得到，

14、而 。如果函數(shù)及都在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，那么顯然及也在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，且。但乘積的階導(dǎo)數(shù)并不如此簡(jiǎn)單。由首先得出，。用數(shù)學(xué)歸納法可以證明上式為萊布尼茨（Leibniz）公式。這公式可以這樣記憶：把按二項(xiàng)式定理展開(kāi)寫(xiě)成，即 ，然后把次冪換成階導(dǎo)數(shù)（零階導(dǎo)數(shù)理解為函數(shù)本身），再把左端的換成，這樣就得到萊布尼茨公式。例5 ，求。解：設(shè)，則，代入萊布尼茨公式，得。自我訓(xùn)練：（1）設(shè) （正整數(shù)），求、。 （2）求。 小結(jié)：本節(jié)訓(xùn)練了初等函數(shù)的求導(dǎo)方法，講述了高階導(dǎo)數(shù)的概念及求高階導(dǎo)數(shù)的歸納方法作業(yè)：作業(yè)卡P19P20第五節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參數(shù)方程的求導(dǎo)方法教學(xué)目的：掌握隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，

15、會(huì)求其一二階導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：隱函數(shù)求導(dǎo) 教學(xué)難點(diǎn)：隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，冪指函數(shù)的求導(dǎo)法教學(xué)內(nèi)容：1 函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)函數(shù)表示兩個(gè)變量與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用各種不同方式表達(dá)。前面我們遇到的函數(shù)，例如，等，這種函數(shù)表達(dá)方式的特點(diǎn)是：等號(hào)左端是因變量的符號(hào)，而右端是含有自變量的式子，當(dāng)自變量取定義域內(nèi)任一值時(shí)，由這式子能確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。用這種方式表達(dá)的函數(shù)叫做顯函數(shù)。有些函數(shù)的表達(dá)方式卻不是這樣，例如，方程表示一個(gè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)變量在內(nèi)取值時(shí)，變量有確定的值與之對(duì)應(yīng)。例如，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等等。這樣的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)。一般地，如果在方程中，當(dāng)取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)

16、，相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的值存在，那么就說(shuō)方程在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化。例如從方程解出，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù)。隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的，甚至是不可能的。但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，我們希望有一種方法，不管隱函數(shù)能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)。下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明這種方法。例1 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：我們把方程兩邊分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，注意是的函數(shù)。方程左邊對(duì)求導(dǎo)得，方程右邊對(duì)求導(dǎo)得 。由于等式兩邊對(duì)x的導(dǎo)數(shù)相等，所以，從而 。在這個(gè)結(jié)果中，分式中的是由方程所確定的隱函數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)方法小結(jié)：（1

17、）方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，注意把當(dāng)作復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的中間變量來(lái)看待，例如。（2）從求導(dǎo)后的方程中解出來(lái)。（3）隱函數(shù)求導(dǎo)允許其結(jié)果中含有。但求一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)不但要把值代進(jìn)去，還要把對(duì)應(yīng)的值代進(jìn)去。例2 ，確定了是的函數(shù)，求。解：，時(shí)，。自我訓(xùn)練：（1），求。（2），求。（3），求。（4），求。2 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)于冪指函數(shù)是沒(méi)有求導(dǎo)公式的，我們可以通過(guò)方程兩端取對(duì)數(shù)化冪指函數(shù)為隱函數(shù)，從而求出導(dǎo)數(shù)。例3 求的導(dǎo)數(shù)。解：這函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，通常稱(chēng)為冪指函數(shù)。為了求這函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以先在兩邊取對(duì)數(shù)，得；上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，得，于是 。由于對(duì)數(shù)具有化積商為和差的性質(zhì)，因此我們可以把

18、多因子乘積開(kāi)方的求導(dǎo)運(yùn)算，通過(guò)取對(duì)數(shù)得到化簡(jiǎn)。例4 求的導(dǎo)數(shù)。解：先在兩邊取對(duì)數(shù)（假定），得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，得，于是 。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果。注：關(guān)于冪指函數(shù)求導(dǎo)，除了取對(duì)數(shù)的方法也可以采取化指數(shù)的辦法。例如，這樣就可把冪指函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；例如求的導(dǎo)數(shù)時(shí)，化指數(shù)方法比取對(duì)數(shù)方法來(lái)得簡(jiǎn)單，且不容易出錯(cuò)。3 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)若由參數(shù)方程確定了是的函數(shù)，如果函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)，且此反函數(shù)能與函數(shù)復(fù)合成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程所確定的函數(shù)可以看成是由函數(shù)、復(fù)合而成的函數(shù)?，F(xiàn)在，要計(jì)算這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。為此，再假定函數(shù)、都可導(dǎo)，而且

19、。于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，就有，即 。上式也可寫(xiě)成 。如果、還是二階可導(dǎo)的，由還可導(dǎo)出對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)公式：，即 自我訓(xùn)練：（1）求在處切線方程。（2），求。 小結(jié)：本節(jié)講述了隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，利用取對(duì)數(shù)的方法解決了冪指函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題作業(yè)：作業(yè)卡P21P22 第六節(jié) 函數(shù)的微分教學(xué)目的：掌握微分的定義，了解微分的運(yùn)算法則，會(huì)計(jì)算函數(shù)的微分，會(huì)利用微分作近似計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：微分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：微分的定義，利用微分作近似計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：1 微分的定義計(jì)算函數(shù)增量是我們非常關(guān)心的。一般說(shuō)來(lái)函數(shù)的增量的計(jì)算是比較復(fù)雜的，我們希望尋求計(jì)算函數(shù)增量的近似計(jì)算方法。圖2-1

20、先分析一個(gè)具體問(wèn)題，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長(zhǎng)由變到（圖2-1），問(wèn)此薄片的面積改變了多少？設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為，面積為，則是的函數(shù)：。薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量自取得增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的增量，即。從上式可以看出，分成兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，而第二部分在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積，當(dāng)時(shí)，第二部分是比高階的無(wú)窮小，即。由此可見(jiàn)，如果邊長(zhǎng)改變很微小，即很小時(shí)，面積的改變量可近似地用第一部分來(lái)代替。一般地，如果函數(shù)滿足一定條件，則函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴(lài)于的常數(shù)，因此是的線性函數(shù)，且它與之差，是比高階的無(wú)窮

21、小。所以，當(dāng)，且很小時(shí)，我們就可近似地用來(lái)代替。定義 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可表示為 ， 其中是不依賴(lài)于的常數(shù)，而是比高階的無(wú)窮小，那么稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即 。下面討論函數(shù)可微的條件。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，則按定義有式成立。式兩邊除以，得 。于是，當(dāng)時(shí)，由上式就得到。因此，如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)也一定可導(dǎo)（即存在），且。反之，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，即存在，根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，上式可寫(xiě)成，其中（當(dāng)）。由此又有。因，且不依賴(lài)于，故上式相當(dāng)于式，所以在點(diǎn)也是可微的。由此可見(jiàn)，函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí)，其微分一定是。 當(dāng)時(shí)，有。從而，當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，這時(shí)有， 即是的主部。又由于是的線性函數(shù)，所以在的條件下，我們說(shuō)是的線性主部（當(dāng)）。這是由式有，從而也有。式子表示以近似代替時(shí)的相對(duì)誤差，于是我們得到結(jié)論：在的條件下，以微分近似代替增量時(shí)，相對(duì)誤差當(dāng)時(shí)趨于零。因此，在很小時(shí)，有精確度較好的近似等