一元二次方程培優(yōu)提高例題

1、專業(yè)資料考點一、概念(1)定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達式： 難點：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 變式：當k 時，關(guān)于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 。針對練習：1、方程的一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 。2、若方程是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值；寫出關(guān)于x的一元一次方程。3、若方程是關(guān)于x的一元二次方程

2、，則m的取值范圍是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題：例1、已知的值為2，則的值為 。例2、關(guān)于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為 。說明：任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項系數(shù)的限制.例3、已知關(guān)于x的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為 。說明：本題的關(guān)鍵點在于對 “代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1”巧解代數(shù)式的值。例4、已知是方程的兩個根，是方程的兩

3、個根，則m的值為 。針對練習：1、已知方程的一根是2，則k為 ，另一根是 。2、已知關(guān)于x的方程的一個解與方程的解相同。求k的值； 方程的另一個解。3、已知m是方程的一個根，則代數(shù)式 。4、已知是的根，則 。5、方程的一個根為（ ）A B 1 C D 6、若 。考點三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點：降次類型一、直接開方法：對于，等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程： =0; 例2、解關(guān)于x的方程：例3、若，則x的值為 。針對練習：下列方程無解的是（ ）A. B. C. D.類型二、因式分解法:方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如

4、， ，典型例題：例1、的根為（ ）A B C D 例2、若，則4x+y的值為 。變式1： 。變式2：若，則x+y的值為 。例3、方程的解為（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,則的值為 。變式：已知,且,則的值為 。針對練習：1、下列說法中：方程的二根為，則 . 方程可變形為正確的有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2、以與為根的一元二次方程是（）A BC D3、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)： 4、若實數(shù)x、y滿足，則x+y的值為（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或

5、-2 D、1或25、方程：的解是 。類型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明的值恒大于0。例2、已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式的最小值。例3、已知為實數(shù)，求的值。例4、分解因式：針對練習：1、試用配方法說明的值恒小于0。2、已知，則 .3、若，則t的最大值為 ，最小值為 。1、關(guān)于x的方程的兩根同為負數(shù)，則（ ）A且 B且C且 D且2、如果方程有兩個同號的實數(shù)根，則的取值范圍是 （ ）A、 1 B、 01 C、 01 D、 0類型四、公式法條件：公式： ,典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程： 說明：解一元二次方程時，

6、首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。例2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）. 說明：對于二次三項式的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令=0，求出兩根，再寫成=.分解結(jié)果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去.類型五、 “降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值； 解二元二次方程組。典型例題：例1、已知，求代數(shù)式的值。例2、如果，那么代數(shù)式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。說明：在運用降次思想求代數(shù)式的值的時候，要注意兩方面的問題：能對已知式進行靈活的變形；能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)

7、式的高次冪化為低次冪，最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題.考點四、根的判別式根的判別式的作用：定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 。例2、關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是( )A. B. C. D.例3、已知關(guān)于x的方程(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰ABC的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求ABC的周長。例4、已知二次三項式是一個完

8、全平方式，試求的值.說明：若二次三項式為一個完全平方式，則其相應(yīng)方程的判別式即：若，則二次三項式為完全平方式；反之，若為完全平方式，則.例5、為何值時，方程組有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解？針對練習：1、當k 時，關(guān)于x的二次三項式是完全平方式。2、當取何值時，多項式是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？3、已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值是 .4、為何值時，方程組（1）有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；（2）有兩組不相等的實數(shù)解；（3）沒有實數(shù)解.5、當取何值時，方程的根與均為有理數(shù)？考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，則m為 ,只有一個根

9、，則m為 。 例2、不解方程，判斷關(guān)于x的方程根的情況。例3、如果關(guān)于x的方程及方程均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c六、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對于而言，當滿足、時，才能用韋達定理。主要內(nèi)容：應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（ ） A. B.3 C.6 D.說明：要能較好地理解、運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握、之間的運算關(guān)系.例2、解方程組：說明：一些含有、的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時，后者顯得更為簡便.例3、已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。例4、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為8和2，小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少？例5、已知，求 變式：若，則的值為 。例6、已知是方程的兩個根，那么 .針對練習：1、解方程組2已知，求的值。3、已知是方程的兩實數(shù)根，求的值。根保管員應(yīng)經(jīng)常了解設(shè)備