平面向量與平面幾何

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量與平面幾何小觀許蘇華有一個量源自于現(xiàn)實生活，在物理中稱之為矢量，在數(shù)學中稱之為向量，這種量不同于物理中的標量，也不同于數(shù)學中的數(shù)量，它是既有大小又有方向的量.在數(shù)學中的一個平面內(nèi)研究的向量，稱之為平面向量，在空間中研究的向量，便稱之為空間向量.在此篇文章中，只談平面向量，以后再專門談空間向量.為什么要學習平面向量？首先它很有用，不僅在物理中有著廣泛的應用，而且在數(shù)學本身中也有著廣泛應用，比如正、余弦定理的推導，而平面向量在平面幾何中的應用更顯得突出.說的更具體一點，此篇文章，在教材的基礎之上，進一步研究平面幾何中的向量方法，這也是平面向量中較難的地方.一、平面

2、向量與三點共線高中數(shù)學教材中有這樣的一個定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使. 上述定理，常稱之為向量共線定理，它等價于這個定理：點、共線的充要條件是存在實數(shù)，使得除了向量共線定理，在解題中經(jīng)常使用到被稱之為向量三點共線定理的結(jié)論：設是平面內(nèi)任意一點，點、共線的充要條件是存在實數(shù)、，使得，其中向量共線定理，很容易理解，也可以參考教材.關鍵是如何證明向量三點共線定理？凡是含有“充要條件”關鍵詞的結(jié)論，相當于兩個結(jié)論，都需要從兩個方向去證明.證明：（充分性）若存在實數(shù)、，使得，其中，則，則，則，因此、三點共線. （必要性）如果、三點共線，則存在實數(shù)，使得在平面內(nèi)任取一點，則有，即，令

3、，則存在實數(shù)、，使得，其中比如下面的例題與練習，充分體現(xiàn)了向量三點共線定理的魔力，學完練完再來回味.例1 在中，點是的中點，過點的直線分別交直線、于不同的兩點、，若=，=，則的值為 解析：連結(jié)，因為點是的中點，所以有.又因為、三點共線，所以，故例2 如圖所示，點是的重心，、分別是邊、上的動點，且、三點共線設，證明：是定值.證明：是的重心又、三點共線為定值3再練習兩道經(jīng)典題目吧！（答案在網(wǎng)上可以找到.）練習1 （2006年湖南高考題）如圖，點在由射線，線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則實數(shù)對可能的取值是（ ）A BCD練習2 如圖所示，在中，和交于點，設，以、為基底表示二、平面向量與

4、三角形的形狀三角形根據(jù)最大角的取值可分為鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形，根據(jù)三條邊的長短情況可分為等邊三角形、不等邊的等腰三角形、三邊各不相等的三角形.如何用平面向量表示多姿多彩的三角形形狀呢？先看下面的例題：（一）直角三角形例3 已知滿足，則是（ ）A. 等邊三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形解析：在中， 是直角三角形（二）等邊三角形例4 已知非零向量與滿足且，則為（ ）A.等比三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.三邊各不相等的三角形解析：因為，即的平分線與垂直，所以三角形是等腰三角形又因為，所以=60°，所以是等邊三角形（三）鈍角三角形例5 在中，

5、若，則的形狀是（ ）A. 鈍角三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不確定解析：90°為鈍角三角形（四）等腰三角形例6 在中，若，則為（ ）A.等腰三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不能判斷解析：由，得，則，即，所以為等腰三角形.（五）銳角三角形例7 在中，若，則為（ ）A.等腰三角形B.等邊三角形 C.直角三角形 D.不等邊的銳角三角形解析：令，其中，又，同理，解得，可見、各不相等，且最大，最大角是銳角，因此為銳角三角形.通過上述5道例題，可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)向量關系式，可以判斷三角形的形狀.由向量關系式推出兩個向量垂直，則為直角三角形；推出兩個向量的夾角為鈍角，則為鈍角三角形

6、；推出兩個向量的模相等，則為等腰三角形；若推出三邊都相等，或者兩邊相等且一個角為60°，則為等邊三角形；推出最大邊對應的最大角為銳角，則為銳角三角形.當你系統(tǒng)掌握相關知識點與思想方法，下面所給的兩道經(jīng)典練習，可以讓你感受到已熟悉各種題型后的游刃有余.練習3 已知，則的形狀是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形練習4 在中，是邊中點，角、的對邊分別是、，若，則的形狀是（ ）A.等邊三角形B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形三、平面向量與三角形的“心”們?nèi)切斡泻芏嘈?，比如重心、垂心、?nèi)心、外心、旁心等，這些“心”的問題讓許多沒有學多少幾何的同學傷

7、透了“心”！與平面向量的結(jié)合更讓許多同學覺得撲朔迷離！筆者帶你去揭開她們的神秘面紗，一睹她們的真容?。ㄒ唬┲匦乃^重心，和物理中的重心是一致的，當三角形是一塊規(guī)則且密度均勻的三角板時，可以用懸掛法確定其重心，即三角形三條中線的交點，因此得名.重心與平面向量相關的常用結(jié)論有下面三條，而這些結(jié)論往往改編成考試題出現(xiàn)：（1）是的重心.證法1：設，那么 是的重心.證法2：如圖所示，三點共線，且分為2:1是的重心.（2）P是所在平面內(nèi)任一點，G是的重心.證明：已知，即，那么G是的重心.（3）已知是平面上一定點，、是平面上不共線的三個點，動點滿足，則的軌跡一定通過的重心.證明：設是的重心且又，即、三點共線

8、的軌跡一定通過的重心（的軌跡其實就是不含端點的射線）（二）垂心顧名思義，垂心難道和垂直存在著某種關系？的確是這樣的，三角形三條高線的交點便是垂心.垂心與平面向量相關的常用結(jié)論有下面兩條：（1）為的垂心.證明：如圖所示是的垂心，垂直，垂直，、是垂足，那么同理，為的垂心.（2）已知是平面上一定點，、是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的垂心證明： 且又 的軌跡一定通過的垂心（設是的垂心，的軌跡其實就是不含端點的射線）（三）內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.那又為何是三條角平分線的交點呢？既然是三角形內(nèi)切圓的圓心，那么該圓心到三角形三邊的距離相等，因此借助角平分線逆定理，得到該圓

9、心在三角形的三條角平分線上，即內(nèi)心也是三角形三條角平分線的交點.（1）設、為三角形的三條邊長，那么的充要條件是為的內(nèi)心.先證若，則為的內(nèi)心.證明：易知，與分別為和方向上的單位向量，且，那么平分，同理可證平分，平分是的內(nèi)心再證若為的內(nèi)心，則.證明：記、分別為、上的單位向量，記、，記內(nèi)切圓的半徑為.令，則，同理，由于三個單位向量、不共線，那么只能.因此.（2）是的內(nèi)心的充要條件是.這個很容易證明，表示三角形的外角平分線上的向量，那么內(nèi)角平分線和外角平分線又互相垂直，因此，其它同理可證.（3）是的內(nèi)心的充要條件是.借助正弦定理，即可證明.（4）已知是平面上一定點，、是平面上不共線的三個點，動點滿足，

10、則動點的軌跡一定通過的內(nèi)心這個證明過程類似重心的第（3）條結(jié)論的證明，而且更為簡單.（四）外心三角形外接圓的圓心，簡稱便是外心.三角形的三個頂點都在外接圓上，那么外心到三個頂點的距離自然相等，根據(jù)中垂線逆定理，便得出此圓心在三角形的三邊中垂線上，即外心也是三角形三邊中垂線的交點.（1）為的外心.（2）若是的外心，則.這個結(jié)論就是近幾年流行的著名網(wǎng)紅定理，人們都稱它為平面向量“奔馳”定理，看上圖便知為何取這個名字！怎么證明呢？證明：如下圖所示，延長交外接圓，過點作、的平行線分別交射線、于點、.令.，則，同理.由，得，整理得.又由，得.因此，.證畢.，故平面向量“奔馳”定理也可以寫成：“若是的外心

11、，則.”（3）已知是平面上的一定點，、是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的外心.這個證明思路同垂心的第（2）條結(jié)論的證明，讀者可以自己試一試.練習5已知三個頂點及平面內(nèi)一點，滿足，若實數(shù)滿足：，則的值為（ ）A2 B C3 D6 練習6 是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若，則是的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心（五）歐拉線筆者在古今立體幾何趣論幾則前面公眾號一文中，提到過歐拉，他是瑞士人，歷史上著作最多的數(shù)學家，以他名字命名的公式、定理多次出現(xiàn)在初高等數(shù)學和物理教材中.這里，再來學習研究一種以“歐拉”命名由歐拉發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，它與我們剛剛研究的重心、垂心、外心有關：

12、（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；（2）三角形的重心，是外心與垂心連線段上且與外心近的三等分點.第（1）個結(jié)論關于三點共線，第（2）個結(jié)論是關于長度關系，那么如何證明這兩個結(jié)論呢？如果借助既有方向又有長度的向量，是不是一箭雙雕、一舉兩得呢？試一試吧，于是把上述兩個結(jié)論合并成一個這樣的命題：若、分別是ABC的外心、重心、垂心，則.證法一：由重心的第（2）個結(jié)論可知，所以只需要證明即可.如上圖所示，連接，延長交圓于點，連接、.，同理，四邊形是平行四邊形，.又，.因此，證畢.證法一是幾何法，下面的證法二則是解析法.證法二：以為原點，所在的直線為軸，如圖所示建立平面直角坐標系.設，分別為的中點，則有，由題設可設，則.，.即，故、三點共線，且.四、平面向量與三角形的面積三角形的面積公式有很多種，甚至可以用向量或向量的坐標來表示：公式1：在中，則的面積.證明：在中，.又由的面積，.公式2：在中，且，則的面積.這個證明不難，利用綜合法，即證.公式3：平面上、三點不共線，設，則的面積.證明：設，的夾角為，則，.練習7已知是內(nèi)部一點，且，則的面積為（