平面向量與平面幾何

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上平面向量與平面幾何小觀許蘇華有一個量源自于現實生活，在物理中稱之為矢量，在數學中稱之為向量，這種量不同于物理中的標量，也不同于數學中的數量，它是既有大小又有方向的量.在數學中的一個平面內研究的向量，稱之為平面向量，在空間中研究的向量，便稱之為空間向量.在此篇文章中，只談平面向量，以后再專門談空間向量.為什么要學習平面向量？首先它很有用，不僅在物理中有著廣泛的應用，而且在數學本身中也有著廣泛應用，比如正、余弦定理的推導，而平面向量在平面幾何中的應用更顯得突出.說的更具體一點，此篇文章，在教材的基礎之上，進一步研究平面幾何中的向量方法，這也是平面向量中較難的地方.一、平面

2、向量與三點共線高中數學教材中有這樣的一個定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使. 上述定理，常稱之為向量共線定理，它等價于這個定理：點、共線的充要條件是存在實數，使得除了向量共線定理，在解題中經常使用到被稱之為向量三點共線定理的結論：設是平面內任意一點，點、共線的充要條件是存在實數、，使得，其中向量共線定理，很容易理解，也可以參考教材.關鍵是如何證明向量三點共線定理？凡是含有“充要條件”關鍵詞的結論，相當于兩個結論，都需要從兩個方向去證明.證明：（充分性）若存在實數、，使得，其中，則，則，則，因此、三點共線. （必要性）如果、三點共線，則存在實數，使得在平面內任取一點，則有，即，令

3、，則存在實數、，使得，其中比如下面的例題與練習，充分體現了向量三點共線定理的魔力，學完練完再來回味.例1 在中，點是的中點，過點的直線分別交直線、于不同的兩點、，若=，=，則的值為 解析：連結，因為點是的中點，所以有.又因為、三點共線，所以，故例2 如圖所示，點是的重心，、分別是邊、上的動點，且、三點共線設，證明：是定值.證明：是的重心又、三點共線為定值3再練習兩道經典題目吧?。ù鸢冈诰W上可以找到.）練習1 （2006年湖南高考題）如圖，點在由射線，線段及的延長線圍成的區(qū)域內（不含邊界），且，則實數對可能的取值是（ ）A BCD練習2 如圖所示，在中，和交于點，設，以、為基底表示二、平面向量與

4、三角形的形狀三角形根據最大角的取值可分為鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形，根據三條邊的長短情況可分為等邊三角形、不等邊的等腰三角形、三邊各不相等的三角形.如何用平面向量表示多姿多彩的三角形形狀呢？先看下面的例題：（一）直角三角形例3 已知滿足，則是（ ）A. 等邊三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形解析：在中， 是直角三角形（二）等邊三角形例4 已知非零向量與滿足且，則為（ ）A.等比三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.三邊各不相等的三角形解析：因為，即的平分線與垂直，所以三角形是等腰三角形又因為，所以=60°，所以是等邊三角形（三）鈍角三角形例5 在中，

5、若，則的形狀是（ ）A. 鈍角三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不確定解析：90°為鈍角三角形（四）等腰三角形例6 在中，若，則為（ ）A.等腰三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不能判斷解析：由，得，則，即，所以為等腰三角形.（五）銳角三角形例7 在中，若，則為（ ）A.等腰三角形B.等邊三角形 C.直角三角形 D.不等邊的銳角三角形解析：令，其中，又，同理，解得，可見、各不相等，且最大，最大角是銳角，因此為銳角三角形.通過上述5道例題，可以發(fā)現根據向量關系式，可以判斷三角形的形狀.由向量關系式推出兩個向量垂直，則為直角三角形；推出兩個向量的夾角為鈍角，則為鈍角三角形

6、；推出兩個向量的模相等，則為等腰三角形；若推出三邊都相等，或者兩邊相等且一個角為60°，則為等邊三角形；推出最大邊對應的最大角為銳角，則為銳角三角形.當你系統(tǒng)掌握相關知識點與思想方法，下面所給的兩道經典練習，可以讓你感受到已熟悉各種題型后的游刃有余.練習3 已知，則的形狀是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形練習4 在中，是邊中點，角、的對邊分別是、，若，則的形狀是（ ）A.等邊三角形B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形三、平面向量與三角形的“心”們三角形有很多心，比如重心、垂心、內心、外心、旁心等，這些“心”的問題讓許多沒有學多少幾何的同學傷

7、透了“心”！與平面向量的結合更讓許多同學覺得撲朔迷離！筆者帶你去揭開她們的神秘面紗，一睹她們的真容?。ㄒ唬┲匦乃^重心，和物理中的重心是一致的，當三角形是一塊規(guī)則且密度均勻的三角板時，可以用懸掛法確定其重心，即三角形三條中線的交點，因此得名.重心與平面向量相關的常用結論有下面三條，而這些結論往往改編成考試題出現：（1）是的重心.證法1：設，那么 是的重心.證法2：如圖所示，三點共線，且分為2:1是的重心.（2）P是所在平面內任一點，G是的重心.證明：已知，即，那么G是的重心.（3）已知是平面上一定點，、是平面上不共線的三個點，動點滿足，則的軌跡一定通過的重心.證明：設是的重心且又，即、三點共線

8、的軌跡一定通過的重心（的軌跡其實就是不含端點的射線）（二）垂心顧名思義，垂心難道和垂直存在著某種關系？的確是這樣的，三角形三條高線的交點便是垂心.垂心與平面向量相關的常用結論有下面兩條：（1）為的垂心.證明：如圖所示是的垂心，垂直，垂直，、是垂足，那么同理，為的垂心.（2）已知是平面上一定點，、是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的垂心證明： 且又 的軌跡一定通過的垂心（設是的垂心，的軌跡其實就是不含端點的射線）（三）內心三角形內切圓的圓心，簡稱為內心.那又為何是三條角平分線的交點呢？既然是三角形內切圓的圓心，那么該圓心到三角形三邊的距離相等，因此借助角平分線逆定理，得到該圓

9、心在三角形的三條角平分線上，即內心也是三角形三條角平分線的交點.（1）設、為三角形的三條邊長，那么的充要條件是為的內心.先證若，則為的內心.證明：易知，與分別為和方向上的單位向量，且，那么平分，同理可證平分，平分是的內心再證若為的內心，則.證明：記、分別為、上的單位向量，記、，記內切圓的半徑為.令，則，同理，由于三個單位向量、不共線，那么只能.因此.（2）是的內心的充要條件是.這個很容易證明，表示三角形的外角平分線上的向量，那么內角平分線和外角平分線又互相垂直，因此，其它同理可證.（3）是的內心的充要條件是.借助正弦定理，即可證明.（4）已知是平面上一定點，、是平面上不共線的三個點，動點滿足，

10、則動點的軌跡一定通過的內心這個證明過程類似重心的第（3）條結論的證明，而且更為簡單.（四）外心三角形外接圓的圓心，簡稱便是外心.三角形的三個頂點都在外接圓上，那么外心到三個頂點的距離自然相等，根據中垂線逆定理，便得出此圓心在三角形的三邊中垂線上，即外心也是三角形三邊中垂線的交點.（1）為的外心.（2）若是的外心，則.這個結論就是近幾年流行的著名網紅定理，人們都稱它為平面向量“奔馳”定理，看上圖便知為何取這個名字！怎么證明呢？證明：如下圖所示，延長交外接圓，過點作、的平行線分別交射線、于點、.令.，則，同理.由，得，整理得.又由，得.因此，.證畢.，故平面向量“奔馳”定理也可以寫成：“若是的外心

11、，則.”（3）已知是平面上的一定點，、是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的外心.這個證明思路同垂心的第（2）條結論的證明，讀者可以自己試一試.練習5已知三個頂點及平面內一點，滿足，若實數滿足：，則的值為（ ）A2 B C3 D6 練習6 是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若，則是的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心（五）歐拉線筆者在古今立體幾何趣論幾則前面公眾號一文中，提到過歐拉，他是瑞士人，歷史上著作最多的數學家，以他名字命名的公式、定理多次出現在初高等數學和物理教材中.這里，再來學習研究一種以“歐拉”命名由歐拉發(fā)現的結論，它與我們剛剛研究的重心、垂心、外心有關：

12、（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；（2）三角形的重心，是外心與垂心連線段上且與外心近的三等分點.第（1）個結論關于三點共線，第（2）個結論是關于長度關系，那么如何證明這兩個結論呢？如果借助既有方向又有長度的向量，是不是一箭雙雕、一舉兩得呢？試一試吧，于是把上述兩個結論合并成一個這樣的命題：若、分別是ABC的外心、重心、垂心，則.證法一：由重心的第（2）個結論可知，所以只需要證明即可.如上圖所示，連接，延長交圓于點，連接、.，同理，四邊形是平行四邊形，.又，.因此，證畢.證法一是幾何法，下面的證法二則是解析法.證法二：以為原點，所在的直線為軸，如圖所示建立平面直角坐標系.設，分別為的中點，則有，由題設可設，則.，.即，故、三點共線，且.四、平面向量與三角形的面積三角形的面積公式有很多種，甚至可以用向量或向量的坐標來表示：公式1：在中，則的面積.證明：在中，.又由的面積，.公式2：在中，且，則的面積.這個證明不難，利用綜合法，即證.公式3：平面上、三點不共線，設，則的面積.證明：設，的夾角為，則，.練習7已知是內部一點，且，則的面積為（