基本不等式及其應(yīng)用復(fù)習(xí)講義

1、第2節(jié)基本不等式及其應(yīng)用最新考綱 1.了解基本不等式的證明過程；2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小) 值問題.I基R修斷回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理 a+ b1 .基本不等式：ab& ar(1)基本不等式成立的條件：a>0, b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).其中afb稱為正數(shù)a, b的算術(shù)平均數(shù)， yb稱為正數(shù)a, b的幾何平均數(shù).2 .兩個(gè)重要的不等式(1)a2 + b2>2ab(a, bCR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).(2)ab<a+b2丁 j(a, bCR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). <273 .利用基本不等式求最值已知x>

2、;0, y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x= y時(shí)、x+ y有最小值是2/p(簡(jiǎn)記：積 定和最小).S2如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大正是，簡(jiǎn)記：和定積 最大).常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒12+ bj>2(a, b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2.ab<&+ b 2 a +b T 022a+ b3.& Vabwa2 + b22(a>0, b>0).a十b4 .連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致診斷自測(cè)1 .思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打或“X”)(1)兩個(gè)不等式a2+b2>2ab與，b。茄成立的條件是相同

3、的.()(2)函數(shù)y= x+1的最小值是2.()x(3)函數(shù)f(x) = sin x+-的最小值為4.()sin x(4)x>0且y>0是x+ y>2的充要條件.() y x解析(1)不等式a2 + b2>2ab成立的條件是a, bCR；a+ bJ不等式 2 成立的條件是a>。，b>0.一 1(2)函數(shù)y= x+-值域是( 8, -2U2, +oo),沒有最小值. x(3)函數(shù)f(x) = sin x+ 的最小值為-5. sin xx y(4)x>0且y>0是一+ '>2的充分不必要條件. y x答案 (1)X (2)X (3)x

4、(4)X2 .設(shè)x>0, y>0,且x + y=18,則xy的最大值為()A.80B.77C.81D.82解析xy<仁"f = 81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)取等號(hào).答案 C13 .右函數(shù)f(x) = x+ -7(x>2)在x= a處取取小值，則a等于()x 2A.1+/B.1 +3C.3D.4解析 當(dāng) x>2 時(shí)，x-2>0, f(x) = (x-2) + x12+2>2yj (x-2) x-x1 + 2 = 4,1一 一 .一 一. 一 一一 . 一當(dāng)且僅當(dāng)x2=iI(x>2),即x=3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，即a= x 2

5、、3 .答案 C4 .(2017山東卷)若直線x+y= 1(a>0, b>0)過點(diǎn)(1 , 2),則2a+b的最小值為 a b1 2解析由題設(shè)可得三+b= -00,2a + b = (2a + b)+28 M且僅當(dāng)b=常，即b=2a時(shí)，等號(hào)成立;故2a+ b的最小值為8.答案 85.(教材習(xí)題改編)一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng) 18 m,則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為 m,寬為 m時(shí)菜園面積最大.解析 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m,寬為y m.則x+ 2y= 30,所以S= xy=夕(2y)交要或2y 2 22515= 225,當(dāng)且僅當(dāng)x = 2y,即x=15, v=省時(shí)取等號(hào).

6、15答案15寺I考點(diǎn)突破I 陪':必嚇T學(xué)謁蚪分類訓(xùn)練.以例求法考點(diǎn)一配湊法求最值5 一1【例1】(1)右x<7，則f(x)=4x 2 + ;1的取大值為;4-4x 5(2)函數(shù)v=一"一 二 的最大值為.x+ 3+ , x 15- 4<X為因)1所以 54x>0,1則 f(x) = 4x 2+435 = 3 4x+ 5 4x j+ 3<-2、/ (5-4x) -+3= -2+3= 1.5J5 4x，1-當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí)，等號(hào)成立. 5 4x一1故f(x) = 4x 2+-一;的最大值為1. 4x 5(2)令1 = /1 >0,則

7、x= t2+1,所以 y = t2+1 + 3+t = t2 + t+4.當(dāng) t=0,即 x= 1 時(shí)，y= 0;,一一一,1當(dāng)t>0,即x> 1時(shí)，y=七一, t+f+1因?yàn)閠 + ：>24 = 4（當(dāng)且僅當(dāng)t = 2時(shí)取等號(hào)）， ,11所以 y=05，t+j+11 .即y的最大值為1（當(dāng)t=2,即x=5時(shí)y取得最大值）.5答案（1）1規(guī)律方法1.應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提:定” “三相等” .所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值 時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件.2.在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出

8、積、和為常 數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.1，一【訓(xùn)練1】（1）（2018西安月考）若對(duì)任意x> 1,不等式x+ 力1a色成立, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是x2 + 2函數(shù)y=(x>1)的最小值為x 1解析（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x） = x+ 11在1, +00）上單調(diào)遞增 所以函數(shù)g（x） = x+ 1 x1+ 2在0, +8）上單調(diào)遞增，所以函數(shù) g（x）在1, +8）的最小值為g（1）x十1=1,因此對(duì)任意x> 1不等式x+;一1a包成立，所以a&g（x）最小值=1,故2x+ 12實(shí)數(shù)a的取值范圍是21x2 + 2（x2 2x+1） + （2x 2） +3尸=x1(x

9、1) 2+2 (x 1) +3一x-1= (x-1)+六+22出+2.3當(dāng)且僅當(dāng)x仁一，即十十12 +y 3 (y+ 1) 6=6,時(shí)，等號(hào)成立.答案 (1)-oo1(2)2 3+ 2考點(diǎn)二常數(shù)代換或消元法求最值（易錯(cuò)警示）【例2】（1）（一題多解）若正數(shù)x, y滿足x+3y= 5xy,則3x+4y的最小值為 （2）（一題多解）已知x>0, y>0, x+ 3y+xy= 9, WJ x+3y的最小值為解析（1）法一由x+3y= 5xy可得J+言=1, 5y 5x131 , 一 ，、y=5時(shí)，等萬成立）,3x+ 4y= (3x+ 4y) 5y+ 5x二屋+續(xù)Y+ 5(當(dāng)且僅當(dāng)>

10、12y即x=1,5 5 5y 5x 55'5y 5x，'3x+ 4y的最小值是5.法二由x+ 3y =5xy,彳3x3y5y 1'. x>0, y>0,y>5,.3X+ 4片券+ 4尸整9 4 4 , 5+54y5瀉)一 13, 9 + “5+5.13=5,1一 ,當(dāng)且僅當(dāng)y= 2時(shí)等方成立，（3x+ 4y）min = 5.（2）由已知得x=93y.法一（消元法） 因?yàn)?x>0, y>0,所以 0<y<3,9- 3y所以 x+3y= (+3y1 +y=比+ 3(y+ 1) 62 1一 .112當(dāng)且僅當(dāng)1Z?= 3(y+1),即

11、y=1, x= 3 時(shí)，(x+ 3y)min = 6.法二. x>0, y>0, 9(x+ 3y) = xy= gx (3y)&g 1三丫當(dāng)且僅當(dāng)x= 3y時(shí)等號(hào)成立.2設(shè) x+3y = t>0,則 t +12t1080,(t-6)(t+18)>0,又. t>0, .t6.故當(dāng) x=3, y=1 時(shí)，(x+3y)min = 6.答案(1)5 (2)6規(guī)律方法 條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè) 量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變 形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子， 然后利用基本不等式

12、求解最 值；三是對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解 .易錯(cuò)警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號(hào)成立的條件一致. _ 一 111 一 一一，一【訓(xùn)練2】(1)已知x,y均為正實(shí)數(shù)，且不+示=6，則x+ y的最小值為()A.24B.32C.20D.28 (2)(2018石家莊質(zhì)檢)已知直線l: ax+ byab=0(a>0, b>0)經(jīng)過點(diǎn)(2, 3),則a + b的最小值為.111解析(1) /x, y均為正實(shí)數(shù)，且亡+士=1,x I 2 y I 2 J則 x+y= (x+2 + y+2)

13、 4=6 島 + 木卜+2 + 丫+2) 4x+ 2 y+ 26巳而+ x+ 2卜4>6Xx±2y+2)y+ 2 x+ 2 4 = 20,當(dāng)且僅當(dāng)x= y= 10時(shí)取等號(hào).；x+ y的最小值為20.故選C.一一 2a 一（2）因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)（2,3）,所以2a+3b ab=0,所以b=>0,所以a 3>0,a 3三=5 + 2優(yōu)，當(dāng)且a 32a6_所以 a+b= a+ a 3+5>5 + 2. / (a3)a 3a 3，僅當(dāng)a 3=三，即a= 3+優(yōu)，b=2+76時(shí)等號(hào)成立.a 3答案 (1)C(2)54 276考點(diǎn)三基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3】 運(yùn)

14、貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制500X& 100（單位：千米/時(shí)）.假設(shè)汽油的價(jià)格是每升 2元，而汽車每小時(shí)耗油x22+360,司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.（1）求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值解（1）設(shè)所用時(shí)間為t=130（h）, X2V=等 X 2X(2 +x130右 I+14X，x 50, 100.360x一 、,一 一 一 130X 18 2X130所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y=-x+-36Q_x，x 50, 1002340 13(或 y=-x-+筱，x 50, 100). 130X

15、 18 2X 130(2)y= x+ 160-x> 26 月, t 130X18 2X130當(dāng)且僅當(dāng)一X-= Bx,即x=18>/i0時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)x= 18/千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26國(guó)元.規(guī)律方法 1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù) .2 .根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3 .在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域（使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍） 求解.【訓(xùn)練3】2016年11月3日20點(diǎn)43分我國(guó)長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它被公認(rèn)為我國(guó)已從航天大國(guó)向航天強(qiáng)國(guó)邁進(jìn)的重要標(biāo)志.長(zhǎng)征

16、五號(hào)運(yùn)載火箭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新材料，甲工廠承擔(dān)了某種材料的生 產(chǎn)，并以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求1&XW10),每小時(shí)可消耗A 材料kx2 + 9千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克.(1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù).(2)要使生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并 求消耗的A材料最少為多少？解(1)由題意，得k+9=10,即k= 1,生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是m, x所以 y=x(kx2+9) = mb+9 J, x 1, 10.(2)由知，生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為

17、y=1 000k+ 9 1 000X 2m =6 000,當(dāng)且僅當(dāng)x= 9,即x=3時(shí)，等號(hào)成立，且31, 10. x故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，消耗的 A材料最少，最少為6 000千克.分層訓(xùn)練，提升能力I課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1 .下列不等式一定成立的是()A.lg x2+1 >lg x(x>0)一. 1 、B.sin x+sn>2(xwk：t , kCZ)C.x2+1>2|x|(x R)_1DK <1(xR)解析 當(dāng)x> 0時(shí)，x2+4> 2x2=x,所以lg32+；j> lg x(x> 0),故選

18、項(xiàng)A不 正確；運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證 “一正” “二定” “三相等"，當(dāng)xw k九，kC1Z時(shí)，sin x的正負(fù)不止，故選項(xiàng)B不正確；顯然選項(xiàng)C正確；當(dāng)x=0時(shí)，有/+1 =1,選項(xiàng)D不正確.答案 C2 .若2x+ 2y= 1,則x+ y的取值范圍是（）A.0, 2B.-2, 0C.-2, +oo)D.( 00, 2解析242”<2x+2y=1,所以 2x+ y<4,所以 x + y<-2.答案 Dx3 .（2018平頂山一模）若對(duì)于任意的x>0,不等式x2+3x+1 &a恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為（）A.與 十°0）BC, +0

19、6;)C.1 OO -'5D.解析由x>0,得x2+3x+1 =17x+3 2，51x+31，一， ， ,一5,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等一. 1萬成立，則a>5.答案 A 4若a>0, b>0,且a+b=4,則下列不等式包成立的是A 1 JA.<7ab 4C. ,ab>21 1B.a+b&1D.a2+b2>81解析 4=a+b>2«b（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等方成立），即4五02, ab<4, ab1,選項(xiàng)A, C不成立；1+1= a¥=>1,選項(xiàng)B不成立；a2+b2=（a+b）24 a b ab ab2a

20、b=16 2ab> 8,選項(xiàng) D 成立.答案 D5 .若a, b都是正數(shù),則（1 + b i- ,+4aj的最小值為（）A.7B.8C.9D.10解析:a, b都是正數(shù)，（1 +嶷1+管）=5+告+45 + 2 4a = 9,當(dāng)且僅當(dāng)b = 2a>0時(shí)取等號(hào).答案 C6 .若正數(shù)x, y滿足4x2 + 9y2+3xy= 30,則xy的最大值是（）A.4B.5C.2D.5334解析 由 x>0, y>0,得 4x2 + 9y2+3xy>2 （2x） （3y） + 3xy（當(dāng)且僅當(dāng) 2x= 3y 時(shí)等號(hào)成立），；12xy+ 3xy<30,即xy&2,.

21、xy的最大值為2.答案 C7 .已知x>0, y>0且4xy x 2y=4,貝U xy的最小值為（）A.-22B.2 2C. 2D.2解析 x>0, y>0, x+2y> 2/2xy,4xy （x+ 2y） < 4xy 2/2xy,4< 4xy 2 2xy,則（必y 2）（42xy+ 1）>0,2xy> 2,xy> 2.答案 D8 .（2018鄭州質(zhì)檢）已知a, bC（0,十）,且a+b+1=5,則a+b的取值范 a b圍是（）A.1 , 4B.2 , +oo）C.（2, 4）D.（4,解析 因?yàn)?a+b + a + b=（a+b），

22、+Ob）= 5,又 a,bC （0,十）,所以 a+b=-5y1+K ab<5巨，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，即（a+b）2-5（a+ b） + 4<0,解得1+db1<a+b<4.答案 A二、填空題9 .正數(shù)a, b滿足ab= a+ b+3,則ab的取值范圍是.解析 ,a, b是正數(shù)，ab= a+ b+ 3>2/ab+ 3,解得相3,即ab> 9.答案9, +oo),一一a4+4b4+1 , 一 一、，10 .(2017天津卷)若a, bCR, ab>0,則ab的最小值為,1 c4ab+-t>2 ab4ab - L=4, ab 'aba

23、b解析a, bC R, ab>0, a4 + 4b4+1 4a2b2+1 ：>：=任=2b2, 當(dāng)且僅當(dāng),114ag aPa2，,即:廠時(shí)取得等號(hào).3答案4x + ax+ 1111.已知函數(shù)f(x) =-.(aCR),若對(duì)于任意的x N+, f(x)3恒成立，則ax十1的取值范圍是.解析對(duì)任意x N +, f(x)>3,x2 + ax+11/8)即一x1- >3 恒成立，即 a> - x+x !+ 3.88設(shè) g(x) = x + , xCN +,貝U g(x) = x+->4/2, xx當(dāng) x=2也時(shí)等號(hào)成立，又 g(2) = 6, g(3) = 17,

24、g(4)=6. 3. g(2)>g(3), .g(x)min = 137 .3+ 8 !：+ 3< -|,.a>-8,故a的取值范圍是J-8,二 8、答案 |l-3, +00 J12.(2018成都診斷)某工廠需要建造一個(gè)倉(cāng)庫，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠 和倉(cāng)庫之間的距離成正比，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)與工廠和倉(cāng)庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉(cāng) 庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為5萬元，當(dāng)工廠和倉(cāng)庫之 間的距離為千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和最小，最小為 萬元.解析 設(shè)工廠和倉(cāng)庫之間的距離為x千米，運(yùn)費(fèi)為y1萬元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為y2萬元，k2_、則 y = kx(k1 w 0), y2= (

25、k2*0),x、.工廠和倉(cāng)庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為5萬元,；ki=5, k2 = 20,運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和為gx+201元.5x+ 20>25xx 20xx最小，為20萬元.一 .i20= 20,當(dāng)且僅當(dāng)5x=20,即x=2時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)N和答案 2 20能力提升題組（建議用時(shí)：15分鐘）13.（2018西安模擬）若4ABC的內(nèi)角滿足sin A+&sin B = 2sin C,則cos C的最小值是（）6 6 .2A. 4BC.十D.解析由正弦定理，得a+Z2b=2c.缶、Jca2+b2-c2所以 cos C =不工2aba2+b2 a+ 2b 23a2 + 2b2 272ab2ab8ab2&ab2也ab 乖亞8ab當(dāng)且僅當(dāng)3a2 = 2b2,即73a=/2b時(shí)，等號(hào)成立.所以cos C的最小值為叱42.答案 A14.（2018安徽江南十校聯(lián)考）已知數(shù)歹【an滿足an+1+an=（n+1） cosn2L（n>2, n11 ，CN+）, 8是數(shù)列an的前n項(xiàng)