史上最全直線與直線方程題型歸納

1、直線與直線方程一、知識(shí)梳理1 .直線的傾斜角與斜率：在平面直角坐標(biāo)系中， 對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為£ ,那么a就叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為0。.傾斜角的取值范圍是 0°w a <180。.傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用 k表 示.傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率.2 .斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)R（xi, yi）, P2（X2, y2）的直線的斜率公式：k = y2 y1（x1#X2）X2 - x13.直線方程的五種形式

2、直線形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式y(tǒng) y1 = k(x x1 )不能表示與x軸垂直 的直線已知斜率已知一點(diǎn)斜截式y(tǒng) = kx +b不能表示與x軸垂直 的直線已知斜率已知在y軸上的截距兩點(diǎn)式y(tǒng) y1 _ x x1 y2 y1 x2 x1豐 x2, y1 # y2)不能表小與 x軸、y 軸垂直的直線已知兩個(gè)定點(diǎn)已知兩個(gè)截距截距式a b（a、b分別為直線 在x軸和y軸上的截 距）不能表示與x軸垂 直、與y軸垂直、過(guò) 原點(diǎn)的直線已知兩個(gè)截距（截距 可以為負(fù)）一般式Ax +By +C =0(A、B不全為0 )表示所有的直線求直線方程的結(jié)果均 可化為一般式方程7 .斜率存在時(shí)兩直線的平行：11/12y

3、k1 = k2且b1#b2.8 .斜率存在時(shí)兩直線的垂直：11 _Ll2u k1k2=-1 .9 .特殊情況下的兩直線平行與垂直：當(dāng)兩條直線中有一條直線沒(méi)有斜率時(shí)：（1）當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角都為90° ,互相平行；（2）當(dāng)另一條直線的斜率為 0時(shí)，一條直線的傾斜角為90° ,另一條直線的傾斜角為0° ,兩直線互相垂直.、典例精析 題型一：傾斜角與斜率【例1】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()任何一條直線都有唯一的傾斜角；傾斜角為300的直線有且僅有一條；若直線的斜率為tane ,則傾斜角為日；如果兩直線平行，則它們的斜率相等A. 0個(gè) B.1個(gè)C.2

4、個(gè) D.3個(gè)【練習(xí)】如果 AC <0且BC <0 ,那么直線 Ax + By +C = 0不通過(guò)( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【例2】如圖，直線l經(jīng)過(guò)二、三、四象限，l的傾斜角為“，斜率為k,則()A . ksin o>0B. kcos o>0C. ksin 0 D . kcos0【練習(xí)】圖中的直線li, 12, 13的斜率分別為kl, k2, k3,則().A. ki< k2<k3B, k3<ki<k2C. k3k2kiD. kik3k2A(0, i ), B(4,i )的線段總有公共點(diǎn)，求【例3】經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(i,2昨直線

5、1 ,若直線1與連接直線l的傾斜角0與斜率k的取值范圍。【練習(xí)】已知兩點(diǎn) A(-3,4), B(3,2 ),過(guò)點(diǎn)P(2,-i)的直線1與線段AB有公共點(diǎn)，求直線1 的斜率k的取值范圍?！纠?】若直線1的方程為y =xtan« +2 ,則()A. a 一定是直線1的傾斜角 B. a 一定不是直線1的傾斜角C.Tt a 一定是直線1的傾斜角D. a不一定是直線1的傾斜角【練習(xí)】設(shè)直線ax +by+c =0的傾斜角為a ,且sin a +cos。= 0 ,則a、b滿足()A. a+b =i B. a b=1 C. a+b = 0 D. a b = 0題型二：斜率的應(yīng)用【例5】若點(diǎn)A(2,2

6、 ) B(a,0 )C(0,4 )共線則a的值為-11【練習(xí)】若三點(diǎn)A(2,2) B(a,0)C(0,b) (ab=0狀線，則，+1的值為 a b【例6】已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x + y = 8,當(dāng)2 Mx W3時(shí)，求義的最大值為 x值為ln2 , ln3ln5 皿【練刁】1、右a = , b = , c =，則()1 24A. a : b : c B. c ： b ： a C. c ： a : b D. b ：； a : c9x -2、求函數(shù)y = 21的值域.2x 1題型三：兩直線位置關(guān)系的判斷已知，兩直線11,12斜率存在且分別為 k1,k2,若兩直線平行或重合則有 k1 k2 ,若兩直線

7、垂直則有 k1 k2.【例7】已知直線11的傾斜角為60；直線12經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,，3 ), B( 2,-2V3),判斷直線11與12的位置關(guān)系.【練習(xí)】1、已知點(diǎn)P(2,3 ), Q(4,5), A(1, a ), B(2a,2 )當(dāng)a為何值時(shí)，直線 PQ與直線AB相互垂直？2、已知直線n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3, a) B(a 2,3),直線m2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M a)N(6,5),若【例8】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì) aw R,直線l1：x2ay+1 = 0和i2:2ax + y1 = 0( )B.互相垂直D.關(guān)于直線y = - x對(duì)稱A.互相平行C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【練習(xí)】直線(3a+2X+(1 4a y+8=0與(

8、5a 2 X+(a+4%一7 = 0垂直，求a的值.題型四：求直線方程(一)點(diǎn)斜式【例9】根據(jù)條件寫出下列直線的方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),斜率為2;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,4),傾斜角為135°；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C (4,2),傾斜角為90二；(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D (3, 2),且與x軸平行.已知直線過(guò)一點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)斜式【練習(xí)】已知 AABC中，A(1, 4) B(2,6) C(2,0), AD _L BC于D ,求AD的直線方程.(二)斜截式【例10根據(jù)條件寫出下列直線的方程：(1)斜率為2,在y軸上的截距是5;(2)傾斜角為150：在y軸的截距為一2;(3)傾斜角為45 ：在y軸上的截距為

9、0.已知斜率時(shí)，可設(shè)斜截式：3【練習(xí)】求斜率為 3 ,且與坐標(biāo)軸圍成的三角形周長(zhǎng)是12的直線l的方程.4(三)截距式【例12根據(jù)條件寫出下列直線的方程：(1)在x軸上的截距為一3,在y軸上的截距為2;(2)在x軸上的截距為1,在y軸上的截距為一4;與截距相關(guān)的問(wèn)題，可設(shè)截距式【練習(xí)】直線l過(guò)點(diǎn)P(4,3),且在x軸、y軸 上的截距之比為1:2 ,求直線l的方程.(四)兩點(diǎn)式【例11】求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線方程：(1)A(2,5),B(4,3)(2)A(2,5),B(4,5)(3)A(2,5),B(2,7)適時(shí)應(yīng)用“兩點(diǎn)確定一條直線”【練習(xí)】過(guò)點(diǎn) M (0,1 X乍直線l ,使他被兩條已知直線 l

10、1：x3y+10和l2：x + y+4 = 0所截得的線段 AB被點(diǎn)M平分.求直線l的方程.35 .【例12】1、已知點(diǎn)A (3,3 )和直線l : y ='x ?.求:42(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線方程.2、已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A( 1,0), B (2,0), C (2,3 ),試求AB邊上的高的直線方程.(思考：如果求 AB邊上的中線、角平分線呢？)【例13】已知直線l的斜率為2,且l和兩坐標(biāo)軸圍成面積為 4的三角形，則直線l的方程為【練習(xí)】已知，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一5, 4）,且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為5,則直線l的方

11、程為【例14】直線l不經(jīng)過(guò)第三象限，其斜率為k ,在y軸上的截距為b （ b¥ 0）,則（）A.kwo且 b>0 B.k 至 0且 b<0C.k<0 且 b>0D. k>0Hb>0【練習(xí)】?jī)蓷l直線 y=ax+b與y=bx+a在同一直角坐標(biāo)系中的圖象位置可能是（）A. B. C. D.三、課后練習(xí)<一 >選擇題：1、若直線l : y=kx-3與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線 l的傾斜角的取值范圍（）a r冗 冗、 c/冗 冗、/冗 冗、 cr冗 冗，A. , ） B - （ , ） C .（-，-）D -,一2、已知直線

12、 l1 : （k-3） x+ （5-k） y+1=0 與 l2 : 2 （k-3 ） x-2y+3=0 垂直，貝U K的值是（）A. 1 或3B.1 或5C.1 或4D. 1 或23、直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90。，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為（）A111A y=x +-B . y=x+1 C . y = 3x3 D . y=3x + 1333<二> 填空題：1、在平面直角坐標(biāo)系中，如果 x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x, y）為整點(diǎn)，下列命題中正確 的是 （寫出所有正確命題的編號(hào)）.存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線 y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線.2、若點(diǎn)P（1,2衽直線l上的射影為Q（1,1 ）,則直線l的方程為.23、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f（x）=的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，x則線段PQ長(zhǎng)的最小值是 .<三> 解答題：1、設(shè)直線 l1 ： y