電子自旋和自旋波函數(shù)

1、 電子自旋和自旋波函數(shù)摘要：運用利力學量算符和波函數(shù)的矩陣表示，在Sz表象中討論了電子自旋算符及其波函數(shù)的構(gòu)造，找出并證明了一些性質(zhì)。同時對比軌道角動量和自旋角動量就自旋的本質(zhì)提出新的問題關(guān)鍵詞：自旋；Sz表象；角動量 自旋是量子力學的特有概念，量子力學是隨著物理學的發(fā)展為了解釋微觀領(lǐng)域的實驗現(xiàn)象，在許多物理學家的共同努力下建立并逐漸完善起來的。其確立促進了實驗工作的發(fā)展，特別在原子光譜的實驗中，先后發(fā)現(xiàn)了光譜的精細結(jié)構(gòu)和反常Zeeman效應(yīng)。如在堿金屬鈉原子光譜中，起初看到有一條波長為589.3nm的黃線，由于光譜儀的分辨率的提高，后來發(fā)現(xiàn)它是兩條譜線構(gòu)成的。它的波長分別喂589.6nm和5

2、89.0nm，此即所謂堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)。另外，在弱磁場中，一條光譜線會分裂成偶數(shù)條譜線，稱為反常Zeeman效應(yīng)。原有的量子理論已經(jīng)無法解釋這些新的物理現(xiàn)象。1925年，為了解釋，Uhlenbeck和Goudsimt提出了電子具有自旋的假設(shè)，稍后由Pauli加以完善。除上述實驗現(xiàn)象外，SternGerlach實驗也是電子自旋±±的客觀存在的重要實驗依據(jù)，電子具有自旋就像電子具有的質(zhì)量和電荷一樣，電子的自旋也是表征電子固有屬性的物理量，自宣德存在，這標志電子又有了一個新的自由度1依據(jù)實驗事實得出：每個電子都具有自旋S，它在任意方向上得投影只能取兩個值Sz=±/2

3、21.1 電子自旋算符和自旋波函數(shù) 在量子力學中，微觀粒子的力學量用算符表示，由于自旋具有角動量的特征和量綱，運用角動量算符的普遍定義我們通過運用角動量算符的普遍定義A×A=一ihA寫出電子自旋角動量算符的定義S×S=ihS其分量式為：Sx，Sy =ihSz：Sy ，Sz =ihSx Sz ，Sx =ihSy (1)根據(jù)角動量空間量子化的性質(zhì)，設(shè)電子自旋量子數(shù)為s，則電子的自旋角動量沿空間特定方向的分量個2s+1=2(s=1/2)，因而S2算符的本征值為S2=s（s+1）h 2=3h2/4算符的本征值為Sz=msh（ms=±1/2）(力學量算符的本征值就是實驗中的

4、觀值)任何電子都有相同的自旋角動量，引入無量綱的矢量算符（泡利算符）在z表象中：x= y= z=泡利算符是用自旋算符S=h/2來定義的，顯然泡利算符與自旋算符只相差一個常數(shù)h/2，它是一個無量綱的算符,在z表象中，自旋角動量的分量算符的矩陣表示為：Sx=h/2 Sy= h/2 Sz= h/2 (2)S z在自身表象中為對角矩陣，對角矩陣元即為其本征值h/2，Sx ，Sy ，S z的本征值均為h/2。10：證明S2x，S2y ，S2z 算符都是常數(shù)算符。 因為S2x=h/2×h/2= h2/4= h2/4I= h2/4I 是單位矩陣，同理可證：Sy2 =S2z= h2/4從而可以得到S

5、2= S2x+Sy2+S2z=h2 同時由對易關(guān)系還可以得出S2，S=0（=x，y，z） 2： 證明 S2x，S2y ，S2z滿足對易關(guān)系： Sx ,Sy=0，Sy ,Sz=0，Sz ,Sx=0因為 Sx ,Sy= Sx Sy+ Sy Sx=3/4h2 +=3/4h2+=0同理可證：Sy ,Sz=0，Sz ,Sx=01 .2 電子自旋波函數(shù) 在Sz表象中，設(shè)Sz=h/2得本征函數(shù)為1/2（Sz），Sz=-h/2的本征態(tài)函數(shù)為-1/2（Sz）則電子自旋角動量的一般態(tài)可表示為： =c11/2（Sz）+c2-1/2（Sz）。3 （3） 當是，我們得到1/2（Sz）的矩陣表示為 1/2（Sz）= （4

6、） 當=時，我們得到-1/2（Sz）的矩陣表示-1/2（Sz）= = （5）1/2（Sz），-1/2（Sz）組成正交、歸一完備系，他們時二分量波函數(shù)。以此為基失的表象就是Sz表象。現(xiàn)在我們來在Sz表象中秋求解Sx ，Sy的本征值對應(yīng)的本征函數(shù)。為了計算的簡潔方便，我們先求解在z表象中x，y的本征值對應(yīng)的本征函數(shù)，而S的與對應(yīng)的各分量的本征函數(shù)相同只是相應(yīng)的本征值相差倍便可求出Sx ，Sy的本征值對應(yīng)的本征函數(shù)。解在z表象中，x = .設(shè)x的本征值為，本征方程為 = 即，a=b.所以h b=a=2b，2=1，=±1Sz的歸一化本征態(tài)為 x=，=1 x= ，=-1同樣可以求出y=

7、7;1，對應(yīng)本征函數(shù)： y= ， y=Sx ，Sy的為： 本征函數(shù)1/2（Sx）=，-1/2（Sx）= （6）1/2（Sy）= ，-1/2（Sy）= （7）（6）（7）兩式可寫成（3）式的形式：1/2（Sx） =1/2（Sz）+-1/2（Sz） -1/2（Sx）1/2（Sz）-1/2（Sz）1/2（Sy）=1/2（Sz）+i-1/2（Sz）,-1/2（Sy）=1/2（Sz）-i-1/2（Sz）.（2）式中的諸算符矩陣元可以直接算出：（Si）= (i=x,y,z; =±)由于S2x，S2y ，S2z和S2相互對易，因而它們有共同的本征函數(shù)：1/2（Sz）和-1/2（Sz）。下面給出證明

8、： 1o S2x，S2y ，S2z和S2的本征值都是唯一的（所以又稱常數(shù)算符）3. 2o Sx，Sy在1/2（Sz）和-1/2（Sz）態(tài)的平均值，均為0。 3o Sx2，Sy2在1/2（Sz）和-1/2（Sz）態(tài)的平均值等于它們的本征值. 證明 1o S2x1/2（Sz）= -1/2（Sz） 同理可證S2y ，S2z和S2的本征值都是唯一的.這種情況是二重簡并.2o Sy 在1/2（Sz）的平均值()1=+1/2（Sy）1/2（Sz） = =0 同理可證Sx，在1/2（Sz）態(tài)的平均值=0 3o Sx2在-1/2（Sz）態(tài)的平均值 ()=+-1/2（Sz）Sx2-1/2 = =;Sx在-1/2

9、（）態(tài)的的平均值()2=+-1/2（Sz）Sx2+-1/2（Sz）=. 同理可證Sy2在1/2（Sz）和-1/2（Sz）態(tài)的平均值等于它們的本征值.2 電子軌道角動量與自旋角動量性質(zhì)上的異同2.1相同點 在量子力學中決定算符本質(zhì)屬性的是它的對易關(guān)系,電子軌道角動量和自旋角動量的共性是它們的算符都滿足角動量的普遍定義.電子的軌道角動量算符滿足: L×L=ih2L ;電子自旋角動量算符滿足: S×S=ih2 S.L2的本征值=(+1) h2 (=0,1,2,),L在空間任意方向的投影Lz=mh2 (m=0,±1, ±2,±,共2+1個值).S2的本

10、征值S2=s(s+1) h2=(s=1/2) ,S在空間任意方向的投影Sz=msh(ms=±1/2,共2s+1個值).因而電子軌道角動量和自旋角動量的大小和方向都是量子化的.電子軌道角動量和自旋角動量與其相應(yīng)的磁矩都是共線反向的關(guān)系: =L，s=S2.2 不同點1o 電子的軌道用坐標（r，）表示，電子的自旋運動用自旋分量Sz表示。 2o 電子軌道角動量算符除了滿足角動量的普遍定義外，還可在坐標表象中表示；L=r×p，r=i+j+k，p=ih.而電子自旋角動量算符只能用角動量的普遍定義來描述.自旋角動量算符間存在反對易關(guān)系： Sx ,Sy=0，Sy ,Sz=0，Sz ,Sx=

11、0.3o L2的本征值個數(shù)一般大于活等于1，S2的本征值事唯一的. L在空間任意方向的投影Lz=mh2（m為整數(shù)）；S 在空間任意方向的投影Sz=msh（ms=±1/2）.自旋是一種量子效應(yīng)，而軌道角動量則不是.在經(jīng)典極限情況下（h0），自旋角動量（h/2）趨于零，但軌道角動量（(+1)1/2h）不趨于零，4 4。軌道磁矩與軌道角動量的關(guān)系式為： =B (=0，1，2， ) z=-mB (m=0,±1, ±2,±)，而電子磁矩與自旋角動量的關(guān)系式為： s=-B s，z=B；兩者磁矩與角動量的關(guān)系式不相同4 電子自旋旋磁比=是電子軌道旋磁比=的2倍，即電子

12、自旋具有倍磁性.5o 郎德g因子是反映物質(zhì)內(nèi)部運動的物理量，它可以表示為：g=，5狄拉克理論計算的電子自旋的g因子g： 是2，電子軌道的g因子g是1精密的實驗測量表明電子自旋的g因子g，不是嚴格的等于2，所以電子不可能是一個簡單的點電荷分布體系63 結(jié) 語電子是已知物質(zhì)中最輕的穩(wěn)定粒子它是普通物質(zhì)的組成部分，并能自由存在于空間1897年JJ湯姆遜研究陰極射線時發(fā)現(xiàn)電子，是第一個被確認的基本粒子由于電子自旋沒有經(jīng)典的類比，究竟電子自旋對應(yīng)什么東西在轉(zhuǎn)，現(xiàn)在還沒搞清楚著名物理學家楊振寧說：“我們已經(jīng)對自旋有了毒終的描述了嗎?我不這樣認為， 目前的最新研貧成果表明，在線度為10 m的范圍內(nèi)，電子的電

13、荷分布沒有呈現(xiàn)任何結(jié)構(gòu)我們現(xiàn)在對電子自旋及其機制和性質(zhì)的認識，僅僅是在實驗和感性的層面上從歷史上看，電子自旋先從實驗上發(fā)現(xiàn)，然后狄拉克1928年在相對論量子力學中證明，電子的自旋先從實驗上發(fā)現(xiàn)，然后狄拉克1928年在相對論量子力學中證明，電子的自旋自然地包含在狄拉克方程中電子軌道角動量這時不守衡，只有軌道角動量與自旋角動量之和，總角動量才是守衡量文獻7認為，自旋角動量不是粒子的內(nèi)稟性質(zhì)，而是軌道角動量的相對論效應(yīng)如何想象并描述電子的自旋?怎樣給電子自旋找到一個直觀和定性的解釋?這是六十多年來一直困惑著物理學家們的基本問題從本質(zhì)上說，電子自旋來源于一個物理體系在空間取向上的概率分布自旋究竟是什么，這個問題仍然懸而未決參考文獻：1周世勛量子力學教程M北京：高教出版社，19791952寧宇辰，等量子力