勾股定理16種經典證明方法與在實際生活中的應用

1、【證法1】課本的證明做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為 a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即2 2 2a b 4 ab c2【證法2】鄒元治證明4 -ab2整理得a2 b2c2把這四個直角三C G D三點在一條直線上lab以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，那么每個直角三角形的面積等于 角形拼成如下列圖形狀，使 A E、B三點在一條直線上， B F、C三點在一條直線上，/ Rt HAE 也 Rt EBF, / AHE = / BEF/ / AEH

2、 + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90 o. / HEF = 180o 90o= 90 o.四邊形EFGH是一個邊長為c的 正方形.它的面積等于c2./ Rt GDHB Rt HAE, / HGD = / EHA/ / HGD + / GHD = 90o, / EHA + / GHD = 90o.又/ GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90 o= 180 o. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于4 1 ab c22a2 b2c2【證法3】趙爽證明以a、b為直角邊ba，以c為斜 邊作四個全等的直角三角形，那么每個直角1ab三角形的面積

3、等于把這四個直角三角形拼成如下列圖形狀/ Rt DAH 也 Rt ABE, / HDA = / EAB/ / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2./ EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90 o. EFGH 是lab22.a【證法個邊長為ba的正方形，它的面積等于b a 2ba2c2b24】1876年美國總統(tǒng) Garfield 證明b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形, 角形拼成如下列圖形狀，使 A、E、B三點在一條直線上./ Rt EAD 也 Rt CBE, / A

4、DE = / BEC/ / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90 o. / DEC = 180o 90o= 90 o. DEC是 一個等腰直角三角形，1 2c它的面積等于2.又 / DAE = 90o, / EBC = 90 o, AD / BC以a、那么每個直角三角形的面積等于-ab2.把這兩個直角三 ABCD 是1 a b 22 .2 a b個直角梯形，它的面積等于22 !ab2c2【證法5】梅文鼎證明 做四個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為 使D E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交 DF于點P.，且 Rt GEF 也 Rt EBD,

5、a、b,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形， D、E、F在一條直線上 / EGF = / BED/ / EGF + / GEF = 90 / BED+ / GEF = 90 即 又 / BEG =180o 90o= 90 o./ AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一個邊長為c的正方形. / ABC + / CBE = 90 o./ Rt ABC 也 Rt EBD,/ ABC = / EBD/ EBD + / CBE = 90 o./ CBD= 90o./ BDE = 900,/ BCP = 90 o,BC = BD = a . BDPC是一個邊長為a的正方形.

6、同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形c2GHCB的面積為S,那么12 ab,2 ab 2b2a2b2c2【證法6】項明達證明做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ba，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如下列圖的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP/ BC,交AC于點P. 過點B作BM! PQ垂足為M再過點F作FN丄PQ垂足為N./ / BCA = 90 o, QP/ BC / MPC = 90o ,/ BM丄 PQ / BMP = 90o , BCPM是 一個矩形，即/ MBC = 90o./ / QBM + / MBA = / Q

7、BA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , / QBM = / ABC又 / BMP = 90o , / BCA = 90 o , BQ = BA = c Rt BMQB Rt BCA 同理可證Rt QNF也Rt AEF從而將問題轉化為【證法 4】梅文鼎證明.【證法7】歐幾里得證明做三個邊長分別為 a、b、c的正方形，把它們拼成如下列圖形狀，使BF、CD 過 C作 CL丄 DE 交AB于點M,交DE于點L./ AF = AC , AB = AD ,/ FAB = / GAD FAB 也 GADa、1a22A|pbH、C、C/aBB三點在一條直線上，連結/

8、FAB的面積等于 GAD的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半，2 矩形ADLM的面積=a同理可證，矩形 MLEB的面積正方形ADEB的面積=矩形ADLM勺面積+22,2卄c a b ，即=b2矩形MLEB的面積a2 b2 c2GbBAcEDL【證法8】利用相似三角形性質證明 如圖，在 Rt ABC中，設直角邊 AC 在厶 ADCD ACB中，/ / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC ADC s ACBAD： AC = AC : AB,即AC2BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點C作CDLAB,垂足是D.AD ? AB同理可證, AC2 CDB S AC

9、B從而有BC2 ADDB ?ABBC2 BD ?ABAB2，即 a2b2c2【證法9】做兩個全等的直角三角形, 把它們拼成如下列圖的多邊形 CB的延長線垂直，垂足為/ / BAD = 90o,/ / DAH = / BAC楊作玫證明設它們的兩條直角邊長分別為過A作AF丄AC, AF交GT于 E, DE交 AF 于 HPAC = 90 0,b ba，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形. F, AF 交 DT于 R.a、過B作BP丄AF,垂足為 P.過D作DE與又 / DHA = 90o,/ BCA = 90 o, AD = AB = c , Rt DHA 也 Rt BCA DH = BC =

10、a , AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一個矩形, 所以 Rt APB 也 Rt BCA 即 PB = CA = b , AP= a，從而 PH = b a./ Rt DGT 也 Rt BCA ,Rt DHA 也 Rt BCA Rt DGT 也 Rt DHA . DH = DG = a，/ GDT = / HDA .又 / DGT = 90o,Z DHF = 90 o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一個邊長為a的正方形. GF = FH = a . TF丄 AF, TF = GT GF = b a . TFPB

11、是一個直角梯形，上底 TF=b a,下底BP= b，高FP=a +b a 用數字表示面積的編號如圖，那么以c為邊長的正方形的面積為c2 sS2S3S4S5.SbS3S41 bb a ? a b ab21 ab2= 2S5SbS9S3S4b2ab2Ss= b2 S Sb .c2SiS2bSiSbSbS9=b2S2S9 = b2 a2.a2b2c2把代入，得【證法10】李銳證明設直角三角形兩直角邊的長分別為a、 b成如下列圖形狀，使 A、E、G三點在一條直線上ba，斜邊的長為c.做三個邊長分別為 .用數字表示面積的編號如圖 .a、b、c的正方形，把它們拼Bb8D613M7FE45c2 C/ / T

12、BE = / ABH = 90 o, / TBH = / ABE又 / BTH = / BEA = 90 o,BT = BE = b , Rt HBT 也 Rt ABE HT = AE = a . GH = GT HT = b a.又 / GHF + / BHT = 90 o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90 o, / GHF = / DBC/ DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o, Rt HGF 也 Rt BDC 即 S? S2 .過Q作QI丄AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90 o,可知 / ABE

13、=/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 也 Rt QAM.又 Rt HBT 也 Rt ABE 所以 Rt HBT 也 Rt QAM.即 S S5 .由 Rt ABE 也 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE/ / AQM + / FQM = 90o, / BAE + / CAR = 90o, / AQM = / BAE / FQM =/ CAR又；/ QMF=/ ARC = 90o, QM = AR = a , Rt QMFB Rt ARC 即 S4 S .-c2S1S2S3S4S5aS1bS3S7又；S7 S2S8S5QS6? ? ?2

14、2a bS1 S6 S3 S7 S8=S1 S4 S3 S2 S52=C , 即 a2 b2 c2.【證法11】利用切割線定理證明在Rt ABC中，設直角邊 BC = a , AC = b，斜邊AB = c .如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交 AB及AB的延長線 分別于D、E,貝U BD = BE = BC = a .因為/ BCA = 90o,點C在O B上，所以AC是O B的切線.由切割線定理，得AC2 AE?ADAC = b，斜邊AB = c 如圖.過點A作AD/ CB過點B 作 BD/ CA 貝U ACBD=AB BE AB BD=c a c a2 2=c a ,即 b2 c2 a2,

15、a b c .【證法12】利用多列米定理證明 在Rt ABC中，設直角邊 BC = a ,為矩形，矩形 ACBD內接于一個圓.根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有AB ?DC AD ? BC AC ? BD/ AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB2 BC2 AC2，即 c2 a2 b2, a2 b2 c2.【證法13】作直角三角形的內切圓證明在Rt ABC中，設直角邊 設OO的半徑為r.BC = a , AC = b，斜邊 AB = c.作Rt ABC的內切圓O O,切點分別為 D E、F如圖，/ AE = AF , B

16、F = BD , CD = CE, ACBCABAE CE BDCDAF BFCECD = r + r = 2r,2r2rc2rb22abrcS ABCab22ab4S ABC又S ABC SAOB S BOCS AOC1cr21ar21br4 r24 r2rcrc2r c cr2rc4S ABC2ab2ab 2ab2c ,14】利用反證法證明b22a【證法如圖，在 Rt ABC中，設直角邊 AC2 . 2 2 . 2假設a b c ,即假設 ACAB ? AB = AB ADBC2b2a、b,AB“，那么由BC的長度分別為BC22斜邊AB的長為c,過點C作CD!AB,垂足是D.AB2可知AC

17、 $ AB ? AD，或者 在 A ADCDA ACB中,/ / A = / A,.假設 AD: ACM AC AB,/ ADO / ACB在 A CDB和 A ACB中,/ / B = / B,.假設 BD BCM BC AB,/ CDBZ ACB又 / ACB = 90o,. / ADO 90o,/ CDM 90o.2這與作法CDL AB矛盾.所以，AC b2BD = AB ? ADAB ?BD .即 AD：BC2AB ?BDACM AC AB,或者 BD: BO BC: AB2AB的假設不能成立.a2c2【證法15】Iab2 ab2ab辛卜松證明B設直角三角形兩直角邊的長分別為b，斜邊的

18、長為方左圖所示的幾個局部，那么正方形ABCD的面積為c.2作邊長是a2 b2a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD劃分成上2ab ;把正方形 ABCD劃分成上方右圖所示的b2幾個局部，那么正方形 ABCD的面積為a2 b2 2ab 2ab c2a2b2ab2c2c2=2ab c2【證法16】陳杰證明 設直角三角形兩直角邊的長分別為 拼成如下列圖形狀，使 E、H M三點在一條直線上.用數字表示面積的編號如圖 在EH = b上截取ED = a，連結DA DCa、b ba，斜邊的長為c.做兩個邊長分別為a、b的正方形ba,把它們那么 AD = c ./ EM = EH + HM = b + a ,

19、 ED = a , DM = EM ED = b a a = b .又 / CMD = 90o, CM = a,/ AED = 90o, AE = b , Rt AED 也 Rt DMC / EAD = / MDC DC = AD = c ./ / ADE + / ADC+ / MDC =18Gb,/ ADE + / MDC = / ADE + / EAD = 90 o,/ ADC = 90 o. 作AB/ DC CB/ DA那么ABCD是一個邊長為 c的正方形./ / BAF + / FAD = / DAE + / FAD = 90 o, / BAF=/ DAE連結 FBA ABF和 A A

20、DE中, AB =AD = c , AE = AF = b，/ BAF=/ DAE A ABF 也 A ADE / AFB = / AED = 90o， BF = DE = a . 點B、F、G H在一條直線上.在 Rt A ABF和 Rt A BCG中,AB =BC =c，BF =CG =a，Rt A ABF 也 RtA BCG.2 cS2S3S4S5，b2 S1 S2 S6 ，a S3 S7 ，S1S5S4S6S72 ab2S3S7S1S2S6=S2S3S1S6S7=S2S3S4S5=c2a2b2c2勾股定理在實際生活中的應用勾股定理是幾何中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三邊之間的數 量關系，是我們在直角三角形中解決邊長計算問題的重要理論依據，同時勾股定理在我們實際生活中應用也很廣泛。例：在圓柱體中底面半徑是6,高為8,假設一只小蟲從A點出發(fā)，沿著圓柱體的側面爬行到C點求小蟲爬行最短路程？思路解析：小蟲從A點出發(fā)，沿著圓柱體的側面爬行到 C點，要在側面上比擬路線 的長短十分困難，而在平面上找兩點間的最短路程是最容易。因而我們假象把這個圓柱 體沿BC剪開