千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(一)：第12煉-復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

1、第 12 煉 復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一、根底知識(shí)：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè) y f t ， t g x ，且函數(shù) g x 的值域?yàn)?f t 定義域的子集， 那么y通過(guò)t的聯(lián)系而得到自變量 x的函數(shù)，稱y是x的復(fù)合函數(shù)，記為 y f gx2、 復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的步驟：求 y g f x 函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外的順序，一層層 求出函數(shù)值。例如： f x 2x,g x x2 x，計(jì)算g f 2解： f 222 4 g f 2 g 4123、 函數(shù)值求自變量的步驟：假設(shè)函數(shù)值求x的解，那么遵循“由外到內(nèi)的順序， 一層層拆解直到求出 x的值。例如：f x 2x，g x x2 2x，假設(shè)g f x 0， 求x解：令

2、 tf x ，那么 g t0t 2 2t 0 解得 t 0, t 2當(dāng) t 0fx02x0，那么x當(dāng) t 2fx22x2，那么 x 1綜上所述：x1由上例可得，要想求出 g f x 0的根，那么需要先將 f x 視為整體，先求出 f x 的值，再求對(duì)應(yīng) x的解，這種思路也用來(lái)解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，先回憶零點(diǎn)的定義：4、 函數(shù)的零點(diǎn)：設(shè)f x的定義域?yàn)镈，假設(shè)存在x0 D，使得f xo0，那么稱x x 為 f x 的一個(gè)零點(diǎn)5、 復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的特點(diǎn)： 考慮關(guān)于x的方程g f x 0根的個(gè)數(shù)，在解此類問(wèn)題時(shí)， 要分為兩層來(lái)分析，第一層是解關(guān)于 f x 的方程，觀察有幾個(gè) f x 的值使得等式成

3、立； 第二層是結(jié)合著第一層 f x的值求出每一個(gè) f x被幾個(gè)x對(duì)應(yīng)，將x的個(gè)數(shù)匯總后即為 g f x 0 的根的個(gè)數(shù)6、求解復(fù)合函數(shù) y g f x 零點(diǎn)問(wèn)題的技巧：1此類問(wèn)題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問(wèn)題的開(kāi)始要作出f x ,g x的圖像的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與X的圖像特點(diǎn)，分配每個(gè)函數(shù)值fi X被幾個(gè)X所對(duì)應(yīng)，從而確2假設(shè)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，那么先估計(jì)關(guān)于f X的方程g f X 0中f X解定fi X的取值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍復(fù)合函數(shù)：二、典型例題例1 :設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)fx1X 1，X假設(shè)關(guān)于X的方程1,X1f2 x bf x c 0 由 3 個(gè)不同的解 x-!,x2,x3，那

4、么 x； x； x；x的x的個(gè)數(shù)思路：先作出f X的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的y0,滿足y0分別為2個(gè)yo O,yo 1丨和3個(gè)y。 1，有3個(gè)解，從而可得f X 1必為f2x bfXc 0的根，而另根為1或者是負(fù)數(shù)。所以fX1，可解得：X10,X21,X32 22，所以X1X22X35答案5例2關(guān)于x的方程X213 X2120的不相同實(shí)根的個(gè)A數(shù)是2/RA.3B.4C. 514?i2T xD.8思路可將X21視為一個(gè)整體，即tXx2 12，那么方程變?yōu)閠23t20可解得：t 1或t 2，那么只需作出t x |x2 1的圖像，然后統(tǒng)計(jì)與t 1與t 2的交點(diǎn)總數(shù)即可,共有5個(gè)例3 :函數(shù)f(

5、x) |X 1 |X答案：C|x 11，關(guān)于 x 的方程 f2(x) a f (x) b 0Xa,b R丨恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，那么 a的取值范圍是 思路：所解方程f2(x) a|f(x)0可視為|f x| a f x| b 0 ,故考慮作出f x |的圖像:2-,x 1x2x,0 x2x, 12,xx如圖，由圖像可知，假設(shè)有62,0f22，所以 a解得答案:1,0 x例4:定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f2 ,x0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為D. 92，那么關(guān)于x的方C.B.2答案：BA. 6小煉有話說(shuō)：在作圖的過(guò)程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點(diǎn)屬于哪一段區(qū)間。例5 :假設(shè)函數(shù)f x32x axbx c有極

6、值點(diǎn)MX，且f為 為，那么關(guān)于x的方程23 f x 2af xb 0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是思路：f x3x22ax b由極值點(diǎn)可得：x.(,x2為3x2 2ax b 0的兩根，觀察到方程與3 f x22af x以可得22af xi xXi，0結(jié)構(gòu)完全相同，所0的兩根為可判斷出f2 Xx2X2 ,其中fiXi，假設(shè)XiXiX2 ,Xi個(gè)交點(diǎn)，而f2Xix2，可判斷出 x是極小值點(diǎn)， x2是極大值點(diǎn)。且f2 X X2 Xi f Xi ，所以y fi x與f x有兩個(gè)交點(diǎn)，而 f2 X與f x有一個(gè) 交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)。綜上所述，共有 3個(gè)交點(diǎn)答案：AX c 0恰有七個(gè)不相同例6 :函數(shù)f x|x2 4x

7、3，假設(shè)方程f x 2 bfD. 0,2的實(shí)根，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是A. 2,0B. 2, iC. 0,i思路：考慮通過(guò)圖像變換作出f x的圖像如圖，因?yàn)?f x bf x c 0最多只能解出2個(gè)f x，假設(shè)要出七個(gè)根，貝yfi Xi,f2 X 0,i， 所以b fi x f2 x i,2，解得：b 2, i答案：B例7:函數(shù)fXXx，假設(shè)關(guān)于e2x的方程f x mf xm i 0恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. 1,2 U 2,eeib. -,i eiC. i,i -eiD. - ,e e的方程f2 xmf x m 10中,f1 x0,1e,f2 x1Je，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

8、為根分布問(wèn)題，設(shè)t f x，那么 t2mtm 10的兩根t10,1,t2,，設(shè)eeg00m10Ag t t2 mtm1，那么有111 ,解得m 1,1 -g02mm 10eeee思路:，分析f X的圖像以便于作圖,xx，X ex 0 時(shí)，f x 1 x ex，從而f在1,單調(diào)遞減，f 1正半軸為水平漸近線；當(dāng) x1，且當(dāng)x,y 0，所以xe0 時(shí)，f' x x 1 e x，所以x在0,1單調(diào)遞增,0單調(diào)遞減。由此作圖，從圖像可得,假設(shè)恰有4個(gè)不等實(shí)根,那么關(guān)于f x小煉有話說(shuō)：此題是作圖與根分布綜合的題目,其中作圖是通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)答案：C來(lái)進(jìn)行作圖，在作圖的過(guò)程中還要注意

9、漸近線的細(xì)節(jié)，從而保證圖像的準(zhǔn)確。例&函數(shù)正確的選項(xiàng)是1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷ax 1 x 0x，那么以下關(guān)于函數(shù) ylog2x,x 0A. 當(dāng)a 0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a 0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B. 當(dāng)a 0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a 0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C. 無(wú)論a為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)D. 無(wú)論a為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)思路：所求函數(shù)的零點(diǎn)，即方程f f x 1的解的個(gè)數(shù)，先作出x的圖像，直線y ax 1為過(guò)定點(diǎn)0,1的一條直線，但需要對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行分類討論。 當(dāng)a 0時(shí)，圖像2 1如下列圖，先拆外層可得f1 x0, f2 x ，而f1 x有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的x， f2 x也2有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的x，共計(jì)4個(gè)；當(dāng)a 0時(shí)，f

10、X的圖像如下列圖，先拆外層可得f x且fx-只有一個(gè)滿足的X，所以共一個(gè)零點(diǎn)。結(jié)合選項(xiàng)，可判斷出A正確2答案：A函數(shù)f xx33x20，那么231,xg f x a 0 a為正實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)根最多有 個(gè) 思路：先通過(guò)分析f x ,g x的性質(zhì)以便于作圖，' 2f x 3x 6x 3x x 2，從而 fx 在,0 , 2, 單增，在 0,2 單減，且 f 01,f 23，g x為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如下列圖，假設(shè)要實(shí)數(shù)根最多，那么要優(yōu)先選取f x能 對(duì)應(yīng)x較多的情況，由f x圖像可得，當(dāng)f x 3,1 時(shí)，每個(gè)f x可對(duì)應(yīng)3個(gè)x。只需判斷g f x a中， f x能在 3,1取得的值

11、的個(gè)數(shù)即可，觀察g x圖像5可得，當(dāng)a1,5時(shí)，可以有2個(gè)f x 3,1，從4而能夠找到6個(gè)根，即最多的根的個(gè)數(shù) 答案：6個(gè)例10:函數(shù)yf x和yg x在 2,2的圖像如下，給出以下四個(gè)命題1方程f gx0有且只有6個(gè)根2方程g fx0有且只有3個(gè)根3方程f fx0有且只有5個(gè)根4方程g gx0有且只有4個(gè)根那么正確命題的個(gè)數(shù)是A. 1B. 2C. 3D. 4思路：每個(gè)方程都可通過(guò)圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計(jì)出X的總數(shù)。1中可得gi x 2, 1 ,g2 x 0,g3 X 1,2 ，進(jìn)而gi x有2個(gè)對(duì)應(yīng)的x ，g2 X有3個(gè)，g3 x有2個(gè)，總計(jì)7個(gè)，1錯(cuò)誤；2中可得f1x2, 1, f2 x0,1 ，進(jìn)而f