平面問題的極坐標(biāo)解

1、第七章 平面問題的極坐標(biāo)解.內(nèi)容介紹在彈性力學(xué)問題的處理時(shí)，坐標(biāo)系的選擇從本質(zhì)上講并不影響問題的求解，但是坐標(biāo)的 選取直接影響邊界條件的描述形式，從而關(guān)系到問題求解的難易程度。對(duì)于圓形，楔形，扇形等工程構(gòu)件，采用極坐標(biāo)系統(tǒng)求解將比直角坐標(biāo) 系統(tǒng)要方便的多。本章的任務(wù)就是推導(dǎo)極坐標(biāo)表示的彈性力學(xué)平面問題根本方 程，并且求解一些典型問題。.重點(diǎn)1. 根本未知量和根本方程的極坐標(biāo)形式；2. 雙調(diào)和方程的極坐標(biāo)形式；3. 軸對(duì)稱應(yīng)力與厚壁圓筒應(yīng)力；4. 曲梁純彎曲、楔形體和圓孔等典型問題。知識(shí)點(diǎn)極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量 極坐標(biāo)下的應(yīng)變分量 極坐標(biāo)系的 Laplace 算符 軸對(duì)稱應(yīng)力分量 軸對(duì)稱位移和應(yīng)力表

2、達(dá)式 曲梁純彎曲 純彎曲位移與平面假設(shè) 帶圓孔平板拉伸問題 楔形體問題的應(yīng)力函數(shù) 楔形體應(yīng)力 楔形體受集中力偶作用 極坐標(biāo)平衡微分方程 幾何方程的極坐標(biāo)表達(dá) 應(yīng)力函數(shù) 軸對(duì)稱位移 厚壁圓筒作用均勻壓力 曲梁彎曲應(yīng)力 曲梁作用徑向集中力 孔口應(yīng)力 楔形體邊界條件 半無限平面作用集中力討論題： 楔形體頂端應(yīng)力和無窮遠(yuǎn)應(yīng)力分析§7.1平面問題極坐標(biāo)解的根本方程學(xué)習(xí)思路：選取極坐標(biāo)系處理彈性力學(xué)平面問題，首先必須將彈性力學(xué)的根本方程 以及邊界條件通過極坐標(biāo)形式描述和表達(dá)。本節(jié)的主要工作是介紹根本物理量，包括位移、應(yīng)力和應(yīng)變的極坐標(biāo)形 式；并且將根本方程，包括平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)

3、化為極坐標(biāo)形 式。由于仍然采用應(yīng)力解法，因此應(yīng)力函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)是必要的。應(yīng)該注意的是坐標(biāo)系的選取與問題求解性質(zhì)無關(guān)，因此彈性力學(xué)直角坐 標(biāo)解的根本概念仍然適用于極坐標(biāo)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量；2. 極坐標(biāo)平衡微分方程；3. 極坐標(biāo)下的應(yīng)變分量；4. 幾何方程的極坐標(biāo)表達(dá)；5. 本構(gòu)方程的極坐標(biāo)表達(dá)；6. 極坐標(biāo)系的Laplace算符；7. 應(yīng)力函數(shù)。為了說明極坐標(biāo)系統(tǒng)中的應(yīng)力分量，從考察的平面物體中分割出微分單元體 ABCD，其由兩個(gè)相距d'的圓柱面和互成d：:的兩個(gè)徑向面構(gòu)成，如下圖在極坐標(biāo)系中，用 叩表示徑向正應(yīng)力，用0p表示環(huán)向正應(yīng)力，卻和巒 分別表示圓柱面和徑向面

4、的切應(yīng)力，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，暫首先推導(dǎo)平衡微分方程的極坐標(biāo)形式。考慮到應(yīng)力分量是隨位置的變化，如果假設(shè)AB面上的應(yīng)力分量為 二和 '：.!/ ,那么CD面上的應(yīng)力分量為如果AD面上的應(yīng)力分量為和 ，那么BC面上的應(yīng)力分量為同時(shí)，體力分量在極坐標(biāo)徑向和環(huán)向方向的分量分別為Fb：；和Fb設(shè)單元體的厚度為1,如下圖，考察其平衡。首先討論徑向的平衡，注意到d® da? sin-2 2cos 12,可以得到5 +魯如S+3)呦 S-(i等乎弓 Ap ¥ + J*d 卩)dp -+ F“ pApA(p = 0簡(jiǎn)化上式，并且略去三階微量，那么込亠二亠“ + =0dp p 8pp

5、“同理，考慮微分單元體切向平衡，可得(片 + d)d/j+ J +<1)(/? + d/?)d - r pA(p +G 爭(zhēng)o(p簡(jiǎn)化上式，可以得到極坐標(biāo)系下的平衡微分方程，即以下推導(dǎo)極坐標(biāo)系統(tǒng)的幾何方程。在極坐標(biāo)系中，位移分量為u：, u，分別為徑向位移和環(huán)向位移。極坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量為：徑向線應(yīng)變 邙，即徑向微分線段的正應(yīng)變； 環(huán)向線應(yīng)變二為環(huán)向微分線段的正應(yīng)變；切應(yīng)變L為徑向和環(huán)向微分線段之間的 直角改變量。首先討論線應(yīng)變與位移分量的關(guān)系,分別考慮徑向位移環(huán)向位移u：； u所引起的應(yīng)變。fi如果只有徑向位移u：,如下圖，借助于與直角坐標(biāo)同樣的推導(dǎo)，可以占# 二一-得到徑向微分線段AD

6、的線應(yīng)變?yōu)檎?環(huán)向微分線段AB='d的相對(duì)伸長(zhǎng)為八_如果只有環(huán)向位移時(shí)，徑向微分線段線沒有變形，如下圖，環(huán)向微分線段的相對(duì)伸長(zhǎng)為 J V ；將上述結(jié)果相加，可以得到正應(yīng)變分量F面考察切應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。設(shè)微分單元體ABCD在變形后變?yōu)锳'BCD'，如下圖，1叫表示徑向微分線段AD向方向轉(zhuǎn)過的角度，因此角應(yīng)等于因此切應(yīng)變?yōu)?上式中 表示環(huán)向微分線段AB向方向轉(zhuǎn)過的角度，即a -A點(diǎn)的環(huán)向位移除以該點(diǎn)的徑向坐標(biāo) ，即卩將上述結(jié)果回代，那么一點(diǎn)的切應(yīng)變_ 1加料叫%恥 p 3爭(zhēng) dp p綜上所述，可以得到極坐標(biāo)系的幾何方程為由于討論的物體是各向同性材料的，因此極坐標(biāo)系的本

7、構(gòu)方程與直角坐標(biāo)的表達(dá) 形式是相同的，只要將其中的坐標(biāo) x和y換成和就可以了。對(duì)于平面應(yīng)力問題，有%二*卩-心甩二右研叫_ 21 +叭F p護(hù)廠廠 < 護(hù)護(hù)對(duì)于平面應(yīng)變問題，只要將上述公式中的彈性常數(shù) E, 分別換為1 -， v爲(wèi)二二1就可以。平面冋題以應(yīng)力分量形式表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程在直角坐標(biāo)系中為于Cx7y= ；：+；為應(yīng)力不變量，因此對(duì)于極坐標(biāo)問題，僅需要將直角坐標(biāo)中的曠6+丐=0。由Laplace算符aJ *子丹眇1轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)的形式。因?yàn)? 和，和分別對(duì)x=cos : y=sin '，即x和y求偏導(dǎo)數(shù)，可得p=y/P+yy- arctan x。將Py空 _ _ 71礦FZ

8、 x2一 一sin 伊，P&P =空二I二一cos <pX1 + Z1 Dx2根據(jù)上述關(guān)系式，可得以下運(yùn)算符9% 2% 些敗¥ - = ±敗±眇1 s iffo 丄 p 1 - 2% B 一 毋p s 1 Joln c s91 .方、/91 .3、=(cos - sin -)(cos- - sin )辦dp pop pd 赧322sin<cos, sinJ d , 2sin <pcos<p d , sinJ 0 d-COS G> + + 產(chǎn)3/?p3成甲p dp p 兩 q 刊百滬-9 + 13I 3TT 一 (sm-+ co

9、sp)(sin_ + cos-)dydp p dipdp p d<p.93 cos2 -sina d2 sincos d-sin 伊e t +;+Bppa成®p spcosJ p - sin29 sin pcos <p 32b 3卩 p1 如a2將以上兩式相加，簡(jiǎn)化可以得到極坐標(biāo)系的Laplace算符。護(hù)二蘭+蘭二蘭+丄2+丄蘭&2 孫 dp2 p dp p1 閔b + b 二 b + b另外，注意到應(yīng)力不變量，因此在極坐標(biāo)系下，平面問題的由應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程變換為+丄£+占蟲勺+=°p dp p dp如果彈性體體力為零，那么可以采用應(yīng)力函

10、數(shù)解法求解。不難證明以下應(yīng)力表達(dá)式 是滿足平衡微分方程的，這里?, 是極坐標(biāo)形式的應(yīng)力函數(shù)，假設(shè)其具有連續(xù)到四階的偏導(dǎo) 數(shù)。將上述應(yīng)力分量表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程，可得顯然這是極坐標(biāo)形式的雙調(diào)和方程?？偠灾?，用極坐標(biāo)解彈性力學(xué)的平面問題，與直角坐標(biāo)求解一樣，都 歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。在應(yīng)力函數(shù)解出后，可以應(yīng)用應(yīng)力分量表達(dá)式p dp p1 dtp2求解應(yīng)力，然后通過物理方程和幾何方程% 切求解應(yīng)變分量和弓=£屯® 弘二右空_叫_ % 二21 + 叭 丫西 QE位移分量。§7.2軸對(duì)稱問題的應(yīng)力和相應(yīng)的位移學(xué)習(xí)思路：如果彈性體的結(jié)構(gòu)幾何形狀、材料性質(zhì)

11、和邊界條件等均對(duì)稱于某一個(gè)軸 時(shí)，稱為軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)。軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分量與 無關(guān)，稱為軸對(duì)稱應(yīng)力。如果 位移也與無關(guān)，稱為軸對(duì)稱位移問題。本節(jié)首先根據(jù)應(yīng)力分量與®無關(guān)的條件，推導(dǎo)軸對(duì)稱應(yīng)力表達(dá)式。這個(gè) 公式有3個(gè)待定系數(shù)，僅僅根據(jù)軸對(duì)稱應(yīng)力問題的邊界條件是不能確定的。因此討論軸對(duì)稱位移，根據(jù)胡克定理的前兩式，得到環(huán)向位移和徑向位移公式，然后 代入胡克定理第三式，確定待定函數(shù)。軸對(duì)稱問題的實(shí)質(zhì)是一維問題，因此對(duì)于軸對(duì)稱問題，均可以得到相應(yīng) 的解答。應(yīng)該注意的問題是如何確定軸對(duì)稱問題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 軸對(duì)稱應(yīng)力分量；2. 軸對(duì)稱位移；3. 軸對(duì)稱位移函數(shù)推導(dǎo)；4. 軸對(duì)稱位移和應(yīng)力表達(dá)式。

12、考察彈性體的應(yīng)力與無關(guān)的特殊情況，如下圖，即應(yīng)力函數(shù)僅為坐標(biāo)的函數(shù)。這樣，變形協(xié)調(diào)方程常微分方程丄丄3血+丄也40Ap2 p dp dp2 p Ap如將上式展開并在等號(hào)兩邊乘以 /，可得這是歐拉方程，對(duì)于這類方程，只要引入變換=£，那么方程可以變換為常系數(shù)的微分方程，有其通解為:他(t) = j4r + Btc2t + Cc2' + D注意到t = In二，那么方程的通解為訶f (p) = Anp + BpJ lnp + Cp + D將上式代入應(yīng)力表達(dá)式 力分量為_ 1 擰軌 + 1 3 _31：，那么軸對(duì)稱應(yīng)cr = 4 4- B(1 +21np) + 2CP dp pA=

13、-+ B(3+21np) + 2CP上述公式表達(dá)的應(yīng)力分量是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱分布的,因此稱為軸對(duì)稱應(yīng)力。現(xiàn)在考察與軸對(duì)稱應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的變形和位移。甲二右叮r -匸"_ 2Q + 叭對(duì)于平面應(yīng)力問題，可得應(yīng)變分量將應(yīng)力分量代入物理方程'以丁，1/為=一(1 + v)- + (l-3y)B + 2(1 - v)Bliip + 2(1 - i/)C EP1ae - 一-(1 + f)二 + (3 - y)B + 2(1- )BIn p + 2(1 - v)C Epy =0根據(jù)上述公式可見，應(yīng)變分量也是軸對(duì)稱的。將上式代入幾何方程-"dP二土 +丄理© P P &a

14、mp;劈y _ 1込匹一蹲P 3®P ，可得位移關(guān)系式1A(1+17) + 0- -3v)B+ 2(1 -p) Sin/? + 2(1 - v)CEp1 du“ 1A+= -0. + I/)T + (3 -v)B + 2(1 -i/)B1iip +2(1- y)Cp p dip Ep1 du±_ + -_L = opdp p對(duì)上述公式的第一式a% i r a.,=一(1 + v) + Q -3v)B+ 2(1 -v)Sinp + 2(1- iz)C -1川的積分，可得A其中f()為的任意函數(shù)。將上式代入 公式的第二式，電*丄%1M p p E覦廠曰Q 3) + 2(L -討

15、)石的 p -1) + (l-3v)Bp + 2(1- v)Cp + /(P) 已D二-0. + v)- + (3 -v)5 + 2(1 -i/)Bh p + 2(1- v)C廠P那么積分后可得% =1-J y(p)d + f(p)這里g (P)為P的任意函數(shù)。 將徑向位移1A島二-Q u + 2L - 1/勞迺夕-1 + 1 -3忖勵(lì) + 21 -* 丁卩1?和環(huán)向位移他切+ gp的結(jié)果代入公式的第三式1 du du u丄p ,0?pF= UP呦8p，那么丄絕+業(yè)L& +丄|了刖廠0 pdp p pJ或者寫作dp aq 上式等號(hào)左邊為P的函數(shù)，而右邊為護(hù)的函數(shù)。顯然假設(shè)使上式對(duì)所有的

16、 和都成立，只有如- Q警訂弓譽(yù)+打卩d卩=F其中F為任意常數(shù)。以上方程第一式的通解為gp = Hp + F這里H為任意常數(shù)。為了求出 f ，將方程的第二式對(duì) ：求一次導(dǎo)數(shù)，可得其通解為fp二 /win ° + Kcosp另外| f (tp) A<p - F -F -1 cos Ksn(p A<p將上述公式分別代入位移表達(dá)式1A就 P 二曰-Q + 卩)一+ 2(L-卩)0仙戸-1) + (1-3卩)砂+ 2(1-05 + /'(卩) 也P可得位移分量的表達(dá)式1. Ag 二-(1 + “)一 + 2Q - )Bp(ln p-1) + (l-3y)Bp + 2(1-

17、 i/)C/?+ fsin® + Keg® Ep= 4?卑 + Hp - I sin 爭(zhēng) + K cos 訶位移分量的表達(dá)式1Au = 一-(1 + v) + 2(1 - p) Bp(n p -1) + (1 - 3v) Bp +2(1- v)Cp + J sin 毋 + Epuf =乳護(hù) + Hp - / win 卩 + 疋 cos 卩中的A, B, C, H , I, K都是待定常數(shù)，其取決于邊界條件和約束條件。上述公式說明應(yīng)力軸對(duì)稱并不表示位移也是軸對(duì)稱的。但是在軸對(duì)稱應(yīng)力中，假設(shè)物體的幾何形狀和外力，包括幾何約束都是 軸對(duì)稱的，貝U位移也應(yīng)該是軸對(duì)稱的。這時(shí)，物體內(nèi)

18、各點(diǎn)的環(huán)向位移均應(yīng)為零， 即不管和取什么值，都應(yīng)有u = 0。因此，B= H = I = K = 0。所以，軸對(duì)稱應(yīng)力表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為A » 竹二p*2CPA=- +2C而位移表達(dá)式簡(jiǎn)化為1A Q + v) +2(1 - v)Cp此P上述公式當(dāng)然也可以用于平面應(yīng)變問題，只要將E，-.分別換為 1 " 卩爲(wèi)二M 二I 即可。§7.3圓筒受均勻分布?jí)毫Φ淖饔脤W(xué)習(xí)思路：本節(jié)介紹典型的軸對(duì)稱問題，厚壁圓筒作用均勻壓力的求解。問題的主要工作是通過邊界條件確定軸對(duì)稱應(yīng)力公式中的待定系數(shù)。除了厚壁圓筒作用內(nèi)外壓力，還分析了作用內(nèi)壓力的圓筒應(yīng)力分布。這個(gè)解答工程上稱為拉梅(Lam!)解答，是厚壁圓筒等工程問題的經(jīng)典 解答。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 厚壁圓筒內(nèi)外作用均勻壓力；2. 厚壁圓筒受內(nèi)壓力；設(shè)有圓筒或圓環(huán)，如下圖。內(nèi)半徑為a,外