用一元二次方程解決問(wèn)題-平均增長(zhǎng)率與數(shù)學(xué)問(wèn)題

1、列一元二次方程解應(yīng)用題講義一、一周知識(shí)概述1、列一元二次方程解應(yīng)用題的特點(diǎn)列一元二次方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的基本方法相同.從列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類(lèi)問(wèn)題大部分都可通過(guò)算術(shù)方法來(lái)解決如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問(wèn)題，經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及積的一些問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)決策問(wèn)題等等2、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟和列一元一次方程解應(yīng)用題一樣，列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是：“審、設(shè)、列、解、答”

2、(1)“審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系這一步是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)；(2)“設(shè)”是指設(shè)元，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，所謂直接設(shè)元就是問(wèn)什么設(shè)什么，間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的，但由于對(duì)列方程有利，因此間接設(shè)元也十分重要恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易；(3)“列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程找出相等關(guān)系列方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是書(shū)寫(xiě)答案，應(yīng)注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線(xiàn)段的長(zhǎng)度不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于

3、100%等等因此，解出方程的根后，一定要進(jìn)行檢驗(yàn)3、數(shù)與數(shù)字的關(guān)系兩位數(shù)=(十位數(shù)字)×10個(gè)位數(shù)字三位數(shù)=(百位數(shù)字)×100(十位數(shù)字)×10個(gè)位數(shù)字4、翻一番翻一番即表示為原量的2倍，翻兩番即表示為原量的4倍5、增長(zhǎng)率問(wèn)題(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題的有關(guān)公式：增長(zhǎng)數(shù)=基數(shù)×增長(zhǎng)率，實(shí)際數(shù)=基數(shù)增長(zhǎng)數(shù)(2)兩次增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)率相等的問(wèn)題的基本等量關(guān)系式為： 原來(lái)的×(1增長(zhǎng)率)增長(zhǎng)期數(shù)=后來(lái)的(1)上述相等關(guān)系僅適用增長(zhǎng)率相同的情形；(2)如果是下降率，則上述關(guān)系式為：原來(lái)的×(1增長(zhǎng)率)下降期數(shù)=后來(lái)的6、利用一元二次方程解幾何圖形中的有關(guān)

4、計(jì)算問(wèn)題的一般步驟(1)整體地、系統(tǒng)地審讀題意；(2)尋求問(wèn)題中的等量關(guān)系(依據(jù)幾何圖形的性質(zhì))；(3)設(shè)未知數(shù)，并依據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4)正確地求解方程并檢驗(yàn)解的合理性；(5)寫(xiě)出答案7、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵(1)審題是設(shè)未知數(shù)、列方程的基礎(chǔ)，所謂審題，就是要善于理解題意，弄清題中的已知量和未知數(shù)，分清它們之間的數(shù)量關(guān)系，尋求隱含的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)分直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確選擇設(shè)未知數(shù)的方法和正確地設(shè)出未知數(shù) 列方程解應(yīng)用題應(yīng)注意：(1)要充分利用題設(shè)中的已知條件，善于分析題中隱含的條件，挖掘其隱含關(guān)系；(2)由于一元二次方程通常有兩個(gè)根，為此要

5、根據(jù)題意對(duì)兩根加以檢驗(yàn)即判斷或確定方程的根與實(shí)際背景和題意是否相符，并將不符合題意和實(shí)際意義的根舍去二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納審清題意，找等量關(guān)系，合理設(shè)未知數(shù)列一元二次方程解應(yīng)用題三、典型例題剖析例1、一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為5，把個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后，所得的兩位數(shù)與原來(lái)的兩位數(shù)的乘積為736，求原來(lái)的兩位數(shù)思路：數(shù)與數(shù)字之間的關(guān)系是：兩位數(shù)=(十位數(shù)字)×10(個(gè)位數(shù)字) 解題的關(guān)鍵是正確地寫(xiě)出原來(lái)的兩位數(shù)與對(duì)調(diào)后的兩位數(shù)，為了便于分析，可列出下表：解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為(5x)，根據(jù)題意得10x(5x)10(5x)x=736整理得x5x6=0解這個(gè)方

6、程得x1=2，x2=3當(dāng)x=2時(shí)，5x=3，兩位數(shù)為23；當(dāng)x=3時(shí)，5x=2，兩位數(shù)為32總結(jié)：(1)對(duì)于多位數(shù)問(wèn)題要善于用各數(shù)位上的數(shù)字來(lái)表示該多位數(shù)；(2)求出方程的解之后，要善于檢驗(yàn)它們是否符合題意，不要漏解，更不能保留不合題意的解例2、在一次象棋比賽中，實(shí)行單循環(huán)賽制(即每個(gè)選手都與其他選手比賽一局)，每局贏者記2分，負(fù)者記0分，如果平局，兩個(gè)選手各記1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總和，結(jié)果分別為2005、22004、2070、2008，經(jīng)核實(shí)確定只有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，試計(jì)算這次比賽中共有多少名選手參賽思路：(1)先分析比賽的總局?jǐn)?shù)，假設(shè)此次比賽共有x名選手參賽，則共比

7、賽局；(2)再分析得分總和的特征，由于無(wú)論勝、負(fù)、平每一局比賽都記2分，則比賽局的得分總和就是全部參賽選手的得分總和即x(x1)分，又x必為正整數(shù)，因此x與x1是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積，必為偶數(shù)，因此2005分屬統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤，其次兩個(gè)自然數(shù)的積的個(gè)位數(shù)只可能是0，2，6因此得分總和不可能是2004，2008，由條件知得分總和只可能是2070解：設(shè)共有x(x為正整數(shù))名選手參賽，所以共計(jì)有局比賽因?yàn)槊烤直荣惞灿?分，所以全部選手的得分總和為x(x1)分，由于相鄰兩個(gè)自然數(shù)之積是偶數(shù)，且其個(gè)位數(shù)字只能是0，2，6，故總得分不能為2005，2004，2008，所以可得方程x(x1)=2070 解這個(gè)方程得x

8、1=46，x2=45(不合題意舍去)答：這次比賽共有46名選手參賽總結(jié)：(1)分析所有參賽選手的得分總和是解本題的關(guān)鍵；(2)正確選取合適的數(shù)據(jù)是解決本題的難點(diǎn)，這就需要多了解整數(shù)的基本特征例3、某商廈今年一月份銷(xiāo)售額為60萬(wàn)元，二月份由于經(jīng)營(yíng)不善，銷(xiāo)售額下降了10%，以后改進(jìn)管理，大大激發(fā)了全體員工的積極性，月銷(xiāo)售額大幅度上升，到四月份銷(xiāo)售額猛增到96萬(wàn)元，求三、四月份平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？(精確到0.1%)思路：這是一個(gè)增長(zhǎng)率問(wèn)題，先求出二月份的銷(xiāo)售額，再設(shè)三、四月份平均增長(zhǎng)率為x，表示四月份的銷(xiāo)售額解：設(shè)三、四月份平均每月增長(zhǎng)率為x，依題意得60(110%)(1x)=96 2解得由

9、于增長(zhǎng)的百分率不能為負(fù)數(shù)，故不合題意，舍去 即答：商廈三、四月份平均每月銷(xiāo)售額增長(zhǎng)率為33.3%總結(jié)：增長(zhǎng)率的基本公式為：a(1±x)，其中a為基數(shù)，x為增長(zhǎng)率或降低率，n表示經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的月數(shù) n例4、截至目前，我國(guó)退耕還林工程試點(diǎn)擴(kuò)大到20個(gè)省、市、區(qū)，具體情況如下表：(單位：萬(wàn)公頃)(1)將上表補(bǔ)充完整；(2)若2005年新增造林綠化面積比2003年新增造林綠化面積翻兩番，2004、2005兩年的平均增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率思路：由表可知：造林綠化面積=退耕還林面積宜林荒山荒地造林面積2005年新增造林綠化面積比2003年新增造林綠化面積翻兩番即為4倍，可列方程求解解：(1)表中

10、數(shù)據(jù)為493；(2)設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為x，依題意有493(1x)=493×4 2解這個(gè)方程，得x1=1，x2=3(不合題意舍去)x=1=100%答：這個(gè)增長(zhǎng)率為100%總結(jié)：正確理解翻兩番的含義是解題的關(guān)鍵，應(yīng)在日常生活中多接觸類(lèi)似術(shù)語(yǔ)，理解其含義例5、取一塊長(zhǎng)80cm、寬60cm的矩形白鐵皮，在它的四個(gè)角上截四個(gè)大小相同的正方形后，把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)沒(méi)有蓋子的長(zhǎng)方體盒子，如果做成底面積為1500cm的長(zhǎng)方體盒子，截下的小正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？思路：設(shè)截下的小正方形的邊長(zhǎng)為x cm，則折成的沒(méi)有蓋子的長(zhǎng)方體盒子的底面的長(zhǎng)為(802x)cm，寬為(602x)cm，則可得方程 解：設(shè)截

11、下的小正方形的邊長(zhǎng)為x cm，依題意得(802x)(602x)=1500整理得x70x825=0解得x1=15，x2=55但當(dāng)x=55時(shí)，802x=30，不合題意，舍去x=15 22答：截下的小正方形的邊長(zhǎng)為15cm總結(jié)：(1)解決有關(guān)面積問(wèn)題時(shí)，要注意將不規(guī)則圖形分割成或組合成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關(guān)系，再利用規(guī)則圖形的面積公式列出方程；(2)利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)，有時(shí)一元二次方程的解不一定符合題意例6、如圖，已知A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)

12、Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)問(wèn)：(1)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積是33cm？(2)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P點(diǎn)Q間的距離是10cm？ 思路：(1)由于四邊形PBCQ為梯形，且高CB=6cm，于是只需表示出上、下底邊長(zhǎng)即可列出方程；(2)由于PQ兩點(diǎn)間的距離，不易用未知數(shù)的代數(shù)式表示，需通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造基本幾何圖形直角三角形，利用勾股定理列方程求解 2解：(1)設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始x秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積是33cm，2則AP=3x，PB=163x，CQ=2x由梯形的面積公式得解得x=5，答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始5秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm；(2)設(shè)P

13、，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到y(tǒng)秒時(shí)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q間的距離為10cm 如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QHAB，交AB于H，則AP=3y，CQ=2y，PH=163y2y，根據(jù)勾股定理，得(163y2y)=106，化簡(jiǎn)方程得25y160y192=0，解得 22222答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到時(shí)，點(diǎn)P點(diǎn)Q的距離是10cm 例7、某商場(chǎng)銷(xiāo)售一種名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？思路：每降價(jià)1元，則每件盈利(401)元，每天可售出(202

14、)件故若設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每件盈利(40x)元，每天售出(202x)件，再根據(jù)總盈利=每件的盈利×售出的件數(shù)可列出方程求解 解：設(shè)每件應(yīng)降價(jià)x元，則每件盈利(40x)元，每天可售出(202x)件，根據(jù)題意可列方程(40x)(202x)=1200整理得x30x200=0解得x1=10，x2=20因?yàn)橐M量減少庫(kù)存，在獲利相同的情況下，降價(jià)越多，銷(xiāo)售越快，故每件應(yīng)降價(jià)20元答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元總結(jié)：盡量減少庫(kù)存是本題方程的根必須適合的題意兩根比較不難得出適合題意的一個(gè)，但“盡快減少庫(kù)存”這一要求在審題中很容易被漏掉，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，請(qǐng)注意，另外本題中每件襯衫降價(jià)x元即是每件盈利減

15、少x元因此在解應(yīng)用題應(yīng)認(rèn)真審清題意，是正確解題的關(guān)鍵例8、汽車(chē)在行駛過(guò)程中由于慣性作用，剎車(chē)后還要向前滑行一段距離才能停住我們稱(chēng)這段距離為剎車(chē)距離，在一個(gè)限速為35km/h以?xún)?nèi)的2彎道上，甲、乙兩車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相撞了，事后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離為12m，乙車(chē)的剎車(chē)距離為10m，已知甲車(chē)的剎車(chē)距離S甲(m)與車(chē)速x(km/h)之間的關(guān)系是：S甲=0.1x0.01x，乙車(chē)的剎車(chē)距離S乙(m)與車(chē)速x(km/h)之間的關(guān)系是：S乙=0.05x0.005x，請(qǐng)你從兩車(chē)速度方面分析事故原因思路：要求從兩車(chē)速度方面分析事故原因，就必須從已知的兩車(chē)的剎車(chē)距離計(jì)算出在經(jīng)過(guò)這段彎道上時(shí)的速度是否超過(guò)