回歸分析預(yù)測法

1、 從本章起將討論定量預(yù)測技術(shù) 第三章的基本思路來源于數(shù)學(xué)分析中數(shù)理統(tǒng)計(jì)的回歸分析方法，將因素之間的規(guī)律（利用已知統(tǒng)計(jì)資料）設(shè)為按一定數(shù)學(xué)模型變化的運(yùn)動軌跡，并假定： 未來的變化仍然是在已知的條件下進(jìn)行，運(yùn)動軌跡將不會發(fā)生畸變。 一.基本概念 1.回歸分析的來由： 20世紀(jì)初，英統(tǒng)計(jì)學(xué)家 F.Golden 研究父子身高的遺傳統(tǒng)計(jì)，高個(gè)子父母下一代比父親更高的概率小于比他矮的概率，而矮個(gè)子父親下一代比父親高的概率大于比他矮的概率；且這兩種高度父輩的后代，高度有向兩種父輩平均身高靠攏的趨勢，這種現(xiàn)象稱為“回歸”是一種自然界現(xiàn)象規(guī)律的提取。 2.回歸分析 研究變量之間的互相關(guān)系，把其中一些因素作為控制

2、的變量，而把另一些隨機(jī)變量作為因變量，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型盡可能趨向于趨勢變化的均值描述它們的關(guān)系的分析，稱為回歸分析。 即假定 y 與 x 相關(guān)，應(yīng)有 y = f ( x ) 若 x1,x2, xn個(gè)變量影響y，應(yīng)有 y = f (x1,x2, xn) 顯然，有一些問題必須解決 因素分析 現(xiàn)代社會中，任何一件事物與多個(gè)因素相關(guān)，如何選取主要因素，忽略次要因素，使建立的數(shù)學(xué)模型不因變量太多而復(fù)雜，又能較好的抓住主要矛盾。 解決方法是求相關(guān)系數(shù)R 運(yùn)動軌跡的模型 主要利用已知統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)在圖上打點(diǎn)進(jìn)行觀察分析，尋求一條最佳線路。采用最小二乘法，即在滿足該條線路的模擬值與真值總平方誤差ei2為最小的條件

3、下，來求出模擬數(shù)學(xué)模型各參數(shù)。（為Gauss-Markov最佳線性與無偏估計(jì)量 ） 相關(guān)性檢驗(yàn) 目的是鑒別所求出的模型是否可靠， 方法：利用相關(guān)性檢驗(yàn)準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn) 精確度：即討論在一定置信度條件下的置信區(qū)間 預(yù)測 ：前面的問題已解決，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)建立且可靠, 精度問題也已解決，利用延續(xù)性原則代入需預(yù)測的數(shù)據(jù)，并求出結(jié)果。 二.方法分類 線性 線性 一元 多元 非線性 非線性 一.回歸方程的建立 假定需預(yù)測的目標(biāo)為 y，與之對應(yīng)的因素 x，隨機(jī)抽樣，子樣數(shù)為 n ，通過圖上打點(diǎn)作粗略估計(jì)已知的一組對應(yīng)數(shù)據(jù)，初步定為線性關(guān)系，同時(shí)再考慮到隨機(jī)因素，應(yīng)有: yi = a + b xi + ei i

4、= 1,2,n (1) 不考慮隨機(jī)因素，應(yīng)有: yi = a + b xi i = 1,2,n (2) 代（2）入（1），求得隨機(jī)項(xiàng) ei = yi yi = yi ( a + bxi ) （3） ei 稱為殘差 這表示，真值與模擬直線y = a + bx之間存在實(shí)際誤差 ei，累積平方誤差為 Q = ei 2,稱殘差平方和，又稱剩余平方和。 反之，我們已知的是實(shí)際數(shù)據(jù)（xi，yi），從可能的無窮條模擬直線中選取某一條直線，使之模擬得最好，標(biāo)準(zhǔn)為Q = e2i最小。 由（3） Q（a,b）= ei2 = (yi a-bxi)2求極值點(diǎn)，應(yīng)有：Q(a,b)a = 0 及 Q(a,b)b = 0

5、y 得出 （yiabxi）= 0 （yiabxi）xi = 0 求出a,b a =(1/n) yi - b = (xiyinxy)/(xi2nx2) 記 （xix)2= lxxx的離差平方和 （xix)(yi-y) = lxyx,y離差乘積和xbyxnbnii11xbyxnbnii11 則b可簡記為 b = lxy/lxx , a = y (lxy/lxx) x a,b稱回歸系數(shù) y = a + bx 稱線性回歸方程。 這種方法稱為最小二乘法，又叫最小平方法OLS（Ordinary Least Square) 二. 一元線性回歸方程的代表特性 1、 ei = 0 , 即殘差和為0 2 、 回歸

6、直線過點(diǎn)（x,y） y = a + bx 即過數(shù)據(jù)重心。 3 、 回歸平均值等于離散平均值，即 = y i=1. ny y 三. 相關(guān)檢驗(yàn) 相關(guān)檢驗(yàn)解決兩大問題： x與y是否線性相關(guān)及相關(guān)強(qiáng)弱如何？ 它們之間相關(guān)顯著性如何？ 1、y的離差平方和 lyy = (yiy) 2 對于任意給定的xi，都有yi的波動，波動的大小可用yiy來評價(jià)，n次結(jié)果的總波動大小為lyy,數(shù)據(jù)分散程度。 2、回歸平方和 U = ( y) 2 對于任意給定的xi，yi與xi是人為給定的線性變化而得到，它與實(shí)際的均值 必產(chǎn)生偏差，這種偏差是由回歸而產(chǎn)生的，是回歸偏差平方和U回歸分散程度制定。 3.殘差平方和 Q = (y

7、iy) 2 實(shí)際值與模擬值產(chǎn)生的誤差，由于yi 隨xi變化的隨機(jī)特性引起，模擬的好則殘差平方和應(yīng)盡可能小 lyy = Q+Uiy iy iy y 這個(gè)公式中：離差平方和lyy是不可變更的客觀存在，且殘差平方和Q盡可能小，故有U lyy效果好，即yi與xi之間存在強(qiáng)的線性關(guān)系。 于是有定義：R2 =U/lyy (0R 1) 即 U = R2 lyy 由lyy = U+Q推出Q = （1R2） lyy 其中R稱為相關(guān)系數(shù)。 當(dāng)R=0為不相關(guān)，R +1為強(qiáng)正相關(guān)， R-1為強(qiáng)負(fù)相關(guān) 這樣，通過研究相關(guān)系數(shù)R，可作出兩個(gè)因素之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，且能判其相關(guān)程度。 相關(guān)程度的顯著與不顯著（即使相關(guān)

8、性強(qiáng)，但某因素對另一因素的影響不大，即不顯著，那么這種因素也是不重要的）有一個(gè)具體界限，這是R檢驗(yàn)。 由于抽樣誤差的影響，R達(dá)到的顯著值與樣本個(gè)數(shù)n有關(guān)，且取決于不同的顯著性水平（或置信度），配成相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表，它們給出了在不同的n,a時(shí)，相關(guān)系數(shù)達(dá)到的最小值。 四、精度：即是在確定的置信度條件下，求出相應(yīng)的置信區(qū)間：(n0) 當(dāng) a = 4.6% 時(shí)（yi 2s,yi+2s） a = 0.27% 時(shí)（yi 3s,yi+3s） 其中 S = Q/（n2),稱為剩余標(biāo)準(zhǔn)差。 2004/10/11 五. 預(yù)測 利用公式 = a + bx 對于任意確定的時(shí)間（此時(shí)取y = a + bt）或數(shù)值（自變

9、量x），可以決定所給定時(shí)間或自變量條件的預(yù)測值y及預(yù)測范圍.y 這是指所預(yù)測的變量與多個(gè)自變量線性相關(guān)的情形，這里談一種較簡單的分析方法。 非線性回歸均可轉(zhuǎn)化為線性回歸，所以我們研究多元線性回歸就有突出重要性。 設(shè)y 與 xj 線性相關(guān)，j = 1,2,3,m,即m元。那么有y 與 xj 構(gòu)成的線性關(guān)系： y = bo + b1x1+ + bmxm +e 其中bo,b1,bm為常數(shù)，e為隨機(jī)項(xiàng), 則對應(yīng)之回歸方程應(yīng)為（不考慮隨機(jī)因素） y = bo + b1x1+ + bmxm 針對y與xj 的第k次觀察數(shù)據(jù)，就有： yk = bo + b1xk1+ + bmxkm+ek yk = bo +

10、b1xk1+ + bmxkm k = 1,2,n, 即有n組數(shù)據(jù)取用。 由上兩式，得， ek = yk yk = ykbob1xk1bmxkm 按照一元線性回歸方法,利用最小二乘法,求各系數(shù): Q(bo,b1bm) = (ykbob1xk1bmxkm)2 為最小,求各系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 則 Qb0 = -2 (ykbob1xk1bmxkm) = 0 : Qbj = -2 (ykbob1xk1bmxkm)xj=0 j = 1,2, ,m.k=1,2,n; 由此,共得m + 1個(gè)方程, 求bo: yknbob1 xk1 bm xkm=0 bo = (1/n) yk(b1 1/n xk1+ +bm 1/

11、n xkm) 令：y = (1/n) yk, xj = (1/n) ykj 有bo = y(b1 +b2 +bm ) 其余m個(gè)方程，可表示為矩陣解： l11 l12 l1j l1m b1 l1y l21 l22 l2j l2m b2 l2y li1 li2 lij lim bi liy lm1 lm2 lmj lmm bm lmy =y1x2xmx 其中: lij = (xki )(xkj ) liy = (xki )(yk ) i,j = 1,2, ,m; k=1,2n;ixjxixy 判斷y與某一自變量xj的相關(guān)顯著程度采用t檢驗(yàn). 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 tj = bj/S Cjj 其中 S = Q

12、/(nm1) l11 l12 l1m C11 C12 C1m C = : : : = : : : lm1 lm2 lmm Cm1 Cm2 Cmm Cii就是C中對角線元素. 如果 tj ta/2, (nm1) 則對應(yīng)的 xj對y 的影響程度大,否則影響小,應(yīng)予排除.-1 m維 線性相關(guān)顯著性檢驗(yàn),采用F檢驗(yàn). 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 F = (U/m)/Q/(nm1) 當(dāng)F Fa (m, nm1) 為顯著, 其中: U = (yiy)2 Q = (yiyi)2 回歸思維在期，股市中的運(yùn)用-乖離率指標(biāo) 由于任何性質(zhì)的變動趨勢，都有回歸的性質(zhì)，即向均值回歸，在股市市場，股票的股價(jià)均有向均值靠近的性質(zhì)。 一般地

13、，描述這樣性質(zhì)的技術(shù)指標(biāo)稱乖離率BIAS， 定義為：CM(n)/M(n) 100% C為當(dāng)日股價(jià)或當(dāng)日指數(shù)，M(n)為n日股價(jià)或n日指數(shù)的移動平均值， 1.若當(dāng)日股價(jià)劇烈上升或下跌，將使BIAS的絕對值加大，回歸愿望強(qiáng)烈。-應(yīng)出貨或補(bǔ)倉。(1)(1)(1) 2.若當(dāng)日股價(jià)沿移動平均值前進(jìn)，則BIAS在0值附近，股價(jià)運(yùn)行軌道不變，-考慮繼續(xù)持倉或減倉操作， 3.BIAS的數(shù)值表明了股價(jià)與市場平均成本的盈利或虧損的百分比，即大多數(shù)投資者所據(jù)有的盈利或虧損空間。 投資策略： -3 -5 為買入時(shí)機(jī) +3 +5 為賣出時(shí)機(jī) -15 -20 為最好時(shí)機(jī) -10 -15 為較好時(shí)機(jī) -5 -10 可買入

14、+15 +40 選點(diǎn)賣出短線BIAS(5)BIAS(10)支撐線壓力線買入賣出賣出 買入買入 96.12,因政策和升幅過大下調(diào)至97.1月開始上升，至5.12日深成指從2792至6103，升幅過3311點(diǎn)，因技術(shù)要求及97發(fā)行額度影響，暴發(fā)性下跌，至5.14日收盤5505，跌598點(diǎn)，BIAS(5) = -4.66，BIAS(10) =-2.54,5.15日以5416開盤，探底5279引發(fā)反彈，收至5622點(diǎn)，5.16 (周五)以2163點(diǎn)開盤，收至5125點(diǎn)，比前日降497點(diǎn)，BIAS(5) = -8.98，BIAS(10) = -9.92，5.19，5.20略有反彈，5.21日因利空謠傳再

15、次下跌，5.22日國務(wù)院證券委，中行等出臺禁止國企和上市公司買賣股票的幾點(diǎn)規(guī)定出臺，導(dǎo)致股市暴跌， 滬：BIAS(5) = -6.87，BIAS(10) = -10.88 深：BIAS(5) = -7.02，BIAS(10) = -12.37 兩個(gè)變量之間的關(guān)系并非全是線性關(guān)系，非線性關(guān)系也比較多。我們在作圖上估計(jì)趨勢時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)曲線與之比較，哪種曲線最合實(shí)際情況，若不是線性關(guān)系，通常有幾種典型的常用模型。 一. 指數(shù)曲線 y = a bx ( b0) 取自然對數(shù) y = a + x b 令 Y = y,A = a,B = b 則 Y = A + Bx 就構(gòu)成一元線性方程。 利用原始數(shù)據(jù) xi 及yi yi ，根據(jù)一元線性回歸公式，可以得到回歸系數(shù)A，B。 同時(shí)考慮到A = a，a = eA 及B = b, b = eB求出 故 a,b可定，預(yù)測方程 y = a bx 可定。 相關(guān)性：利用一元線性回歸方程 Y = A + Bx 采用線性相關(guān)性判定，若x,y 線性相關(guān)，則y與x非線性相關(guān)，且有規(guī)則y = f(x) = a bx 二. 雙曲線：單調(diào)減，水平漸進(jìn)線 y = a. y