數(shù)學(xué)建模--細(xì)菌繁殖問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上細(xì)菌繁殖摘要本文針對酵母菌種群繁殖的基本特點，為達(dá)到解決所列出的三個問題的目的，建立了符合實際情況的預(yù)測模型。預(yù)測模型：根據(jù)題目給出的已知條件，最終建立了符合本題的Logistic模型。綜合考慮了各種因素，利用計算機MATLAB編程分別對問題進(jìn)行求解，并分別繪制出本題的Logistic數(shù)學(xué)模型和問題三中所列的二次多項式的曲線，以供對比。對于問題一得出，本文建立了種群預(yù)測的Malthus模型以及符合本題的Logistic模型，模型中參數(shù)K的值為：0.，參數(shù)M的值為：663.97。對于問題二得出，自初始時刻起，20小時時酵母菌的數(shù)量為：663.06。該種群的增長呈現(xiàn)出S型

2、，前期呈指數(shù)型增長，中后期增長緩慢，種群數(shù)量最終達(dá)到最大值：663.97。對于問題三得出，根據(jù)計算機MATLAB程序繪制出的本題Logistic數(shù)學(xué)模型以及問題三中所列的二次多項式的曲線。對兩條曲線進(jìn)行對比，易知符合本題的Logistic模型具有更好的預(yù)測能力。關(guān)鍵詞：Malthus模型；Logistic模型；MATLAB；預(yù)測1 問題重述已知酵母菌種群在培養(yǎng)物中的增長情況，見附錄中表a所示。現(xiàn)根據(jù)已有的數(shù)據(jù)來預(yù)測酵母菌的數(shù)量，要求盡量與實際相符。根據(jù)以上題目所給的條件及數(shù)據(jù)，回答以下問題：問題一：建立酵母菌數(shù)量的數(shù)學(xué)模型，確定模型中的未知參數(shù)；問題二：利用問題一中的模型，預(yù)測20小時時酵母菌

3、的數(shù)量；問題三：若用二次多項式（其中為常數(shù)）作為新模型，試從誤差角度說明新模型與問題一中的模型哪個具有更好的預(yù)測能力，并畫出對比曲線。2 問題的基本假設(shè)與說明1）假設(shè)題目所給的數(shù)據(jù)全部真實可靠，可以作為檢驗所建立的數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性的事實依據(jù)。2）在自然環(huán)境中，細(xì)菌繁殖增長會受到各方面復(fù)雜因素的影響，為簡化模型，本文以題目中給出的實測數(shù)據(jù)，作為衡量所建立的數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確度的主要因素。3）本文中該酵母菌種群的繁殖方式不隨時間變化。3 符號說明符號表示意義t時刻（單位為小時）N(t)t時刻時酵母菌的數(shù)量M酵母菌數(shù)量的最大值K、k常系數(shù)N0酵母菌的初始數(shù)量：9.64 問題的分析自然界中某酵母菌種群數(shù)量的

4、變化和隨著時間的發(fā)展過程，是由很多因素決定的，自然環(huán)境、資源制約、種群的繁衍能力、種群的存活能力等，都能嚴(yán)重的影響種群的繁衍過程。然而，自然環(huán)境、資源制約卻是決定該種群數(shù)量變化的直接原因。綜合考慮這些因素成為構(gòu)建符合本題中酵母菌種群繁殖預(yù)測模型的關(guān)鍵。建立模型對該酵母菌種群發(fā)展過程進(jìn)行定量預(yù)測，就是根據(jù)現(xiàn)有的統(tǒng)計資料和初始數(shù)據(jù)，從當(dāng)前實際出發(fā)，并對未來的種群發(fā)展過程，提出合理的控制要求和假設(shè)說明，應(yīng)用科學(xué)的方法，預(yù)測該種群數(shù)量的發(fā)展趨勢。為此，本文建立了具有預(yù)測性的Malthus模型，在綜合考慮各影響因素后，建立了符合本題的Logistic模型。Logistic模型相比Malthus模型以及題

5、中所述的二次多項式模型，更符合題目要求，用題中所給的實測數(shù)據(jù)檢驗后發(fā)現(xiàn)在誤差允許范圍內(nèi)，是十分準(zhǔn)確的；從誤差的角度分析，Logistic模型具有更好的預(yù)測能力。5 模型的建立與求解5.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理由于題中所給數(shù)據(jù)的不完備性，并不能由它來預(yù)測未來種群的發(fā)展情況，但是基于抽樣調(diào)查的等概率性，可以認(rèn)為它反應(yīng)的種群增長情況是符合實際情況的，因此認(rèn)為，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合所建立的合理的數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)確地對該酵母菌種群的繁殖增長數(shù)量作出合理預(yù)測。題中所給數(shù)據(jù)見附錄中表a。建模初始，本文將題中所給數(shù)據(jù)分為兩部分考慮，其中前八組數(shù)據(jù)為第一部分，其余數(shù)據(jù)為第二部分。5.2 模型一：種群預(yù)測的Malthus模型5.

6、2.1 模型的建立在任意時刻t，細(xì)菌的繁殖速度顯然可以用表達(dá)式來表示，設(shè)時刻細(xì)菌數(shù)量為。我們將時間間隔0, t分成n 等份。由于細(xì)菌的繁殖是連續(xù)變化的，在很短的一段時間內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的變化是很小的，繁殖速度可近似看成是不變的。因此，在第一段時間內(nèi)，細(xì)菌數(shù)量滿足關(guān)系式 時段內(nèi)細(xì)菌的增量為 故時刻細(xì)菌數(shù)量為 同理，第二時段末細(xì)菌的數(shù)量為 依次類推，可以得到，最后一時段末細(xì)菌的數(shù)量為 （1）由于這是一個近似值。因為我們假設(shè)了在每一小段時間()內(nèi)細(xì)菌的繁殖速度是不變的，且等于該時段初始時刻的變化速度。但這種近似程度將隨著小區(qū)間的長度的縮小精度越高。若對時間間隔無限細(xì)分，就可以得到精確值。所以，經(jīng)過時間后細(xì)

7、菌總數(shù)為 （2）即種群預(yù)測的Malthus模型為：。5.2.2 模型的求解本文結(jié)合題中所給實測數(shù)據(jù)的第一部分，運用計算機MATLAB程序?qū)Γ?）式進(jìn)行求解，程序見附錄中程序一，得到：k=0.4580即：，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)進(jìn)行比對，見圖一：圖一 酵母菌部分實測數(shù)據(jù)與Malthus數(shù)學(xué)模型曲線為驗證（2）式的準(zhǔn)確性，結(jié)合題中所給的全部實測數(shù)據(jù)，運用計算機MATLAB程序?qū)Γ?）式進(jìn)行求解，程序見附錄中程序二，得到：k=0.25781即：，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)進(jìn)行比對，見圖二：圖二 酵母菌實測數(shù)據(jù)與Malthus數(shù)學(xué)模型曲線根據(jù)圖二可以看出，在種群繁殖增長前期，Mal

8、thus數(shù)學(xué)模型可以較為準(zhǔn)確的表示出其增長規(guī)律；在種群增長中后期卻有很大偏差。本文結(jié)合Malthus數(shù)學(xué)模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)對比，得各個時刻種群數(shù)量的誤差見表1表1 各個時刻種群數(shù)量的誤差表時間t/小時0123456誤差0-5.8767-12.923-26.395-44.177-84.759-129.51時間t/小時78910111213誤差-198.95-275.19-343.29-386.85-396.06-383.04-355.36時間t/小時1415161718誤差-286.16-192.17-62.002108.96332.79其誤差偏大，不利于中長期預(yù)測。算得其誤差平

9、方和為：1.0848，算得第20小時時，酵母菌的數(shù)量為：1665.6，是不符合實際情況的。又由圖二可知，Malthus數(shù)學(xué)模型預(yù)測該種群呈現(xiàn)出無限增長的趨勢，顯然不符合實際。因此可以說明，Malthus數(shù)學(xué)模型不能準(zhǔn)確的表示出該種群的發(fā)展趨勢，不具備預(yù)測該種群增長數(shù)量的能力。為此，本文對該模型進(jìn)行了改進(jìn)與優(yōu)化，充分考慮影響該種群繁殖增長的各種符合實際情況的因素后，建立了能準(zhǔn)確表示出該種群的發(fā)展趨勢，具備更好的預(yù)測能力的Logistic模型。5.3 模型二：符合本題的Logistic模型5.3.1 模型的建立結(jié)合Malthus數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)，本文建立了符合本題的Logistic模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式

10、為 （3）該式中K為常系數(shù)，M為酵母菌數(shù)量的最大值，N(t)為任意時刻t時酵母菌的數(shù)量。整理該式得到N(t)的表達(dá)式為 N(t)= （4）當(dāng)時，N(t)的表達(dá)式為N(t)=即符合本題的Logistic模型為：N(t)=5.3.2 模型的求解結(jié)合題中所給實測數(shù)據(jù)，運用計算機MATLAB程序?qū)Γ?）式進(jìn)行求解，程序見附錄中程序三，得到K=0.，M=663.97即：N(t)=，將其擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)進(jìn)行比對，見圖三：圖三 酵母菌實測增長數(shù)據(jù)與Logistic數(shù)學(xué)模型曲線由圖三可以看出，在種群繁殖增長的整個過程中，Logistic數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確的表示出其增長規(guī)律，題中所給的實測數(shù)據(jù)與Lo

11、gistic數(shù)學(xué)模型擬合數(shù)據(jù)，在誤差允許的范圍內(nèi)，幾乎一致。本文結(jié)合Logistic數(shù)學(xué)模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)對比，得各個時刻種群數(shù)量的誤差見表2表2 各個時刻種群數(shù)量的誤差表時間t/小時0123456誤差0-1.9864-1.4754-1.30573.9774-0.362416.7726時間t/小時78910111213誤差3.1079-1.7208-5.8102-4.9713.78566.6986-3.3014時間t/小時1415161718誤差0.57621-0.477080.23238-0.21553-0.50652在誤差允許范圍內(nèi)，預(yù)測的數(shù)據(jù)是合理的。算得其誤差平方和為：

12、211.75，算得第20小時時，酵母菌的數(shù)量為：663.06，又由圖像知，Logistic數(shù)學(xué)模型預(yù)測該種群呈現(xiàn)出前期、中期增長較快，呈現(xiàn)出J型曲線，在后期隨著種群數(shù)量不斷接近其最大值M=663.97種群增長緩慢，種群結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定，其數(shù)量變化很小，顯然是符合實際的。因此可以說明，Logistic數(shù)學(xué)模型能準(zhǔn)確的表示出該種群的發(fā)展趨勢，具備預(yù)測該種群增長數(shù)量的能力。5.4 二次多項式模型根據(jù)題目所述，結(jié)合題中所給的實測數(shù)據(jù)，本文利用計算機MATLAB程序，運行程序見附錄中程序四，計算得出該模型的參數(shù)值為k0=，k1=65.706，k2=則該二次多項式可化為整理得 （5）為達(dá)到在誤差角度下，比較L

13、ogistic數(shù)學(xué)模型與該模型的預(yù)測能力的目的。本文利用計算機MATLAB程序，將題中的實測數(shù)據(jù)、Logistic數(shù)學(xué)模型以及二次多項式模型，繪制成如下圖四的曲線：圖四 酵母菌實測數(shù)據(jù)、Logistic模型以及二次多項式的對比曲線由圖四可以看出，題中所給的實測數(shù)據(jù)均勻的分布在Logistic模型的曲線上，相比之下，該二次多項式曲線誤差較大，與實際情況不符。本文結(jié)合該二次多項式模型擬合的數(shù)據(jù)與題中酵母菌實測數(shù)據(jù)對比，得各個時刻種群數(shù)量的誤差見表3表3 各個時刻種群數(shù)量的誤差表時間t/小時0123456誤差-103.38-47.5024.133446.02379.96587.06285.411時間

14、t/小時78910111213誤差53.8159.2714-34.418-62.355-66.637-61.867-58.842時間t/小時1415161718誤差-34.864-12.03314.05238.9954.43其誤差偏大，預(yù)測的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度偏低。算得其誤差平方和為：59212。顯然，Logistic數(shù)學(xué)模型的誤差更小，具有更好的預(yù)測能力。6 模型的優(yōu)缺點分析Malthus數(shù)學(xué)模型在短期預(yù)測中具有準(zhǔn)確度高，操作簡便，容易實現(xiàn)等優(yōu)勢，但是不能準(zhǔn)確的預(yù)測出該種群長期的發(fā)展趨勢，不具備預(yù)測該種群長期增長數(shù)量的能力。為此，本文對該模型進(jìn)行了改進(jìn)與優(yōu)化，充分考慮影響該種群繁殖增長的各種符合實際

15、情況的因素后，建立了能準(zhǔn)確表示出該種群的發(fā)展趨勢，具備更好的預(yù)測能力的Logistic模型。在種群繁殖增長的整個過程中，Logistic數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確的表示出其增長規(guī)律，題中所給的實測數(shù)據(jù)與Logistic數(shù)學(xué)模型擬合數(shù)據(jù)，在誤差允許的范圍內(nèi)，幾乎一致。相比較二次多項式，Logistic數(shù)學(xué)模型誤差小，預(yù)測更準(zhǔn)確。但Logistic數(shù)學(xué)模型操作繁雜，更適用于中長期預(yù)測；在短期種群增長預(yù)測中通常選用Malthus數(shù)學(xué)模型。7 模型的改進(jìn)及其推廣Logistic數(shù)學(xué)模型在中長期種群繁殖增長預(yù)測中，具有誤差小、準(zhǔn)確度高的優(yōu)勢，可將其用于衛(wèi)生防疫部門監(jiān)測細(xì)菌的繁殖狀況，提出預(yù)警機制。在疾病防治等公共

16、醫(yī)療衛(wèi)生中，Logistic數(shù)學(xué)模型可以很好的觀察流行疾病的發(fā)展態(tài)勢，為更好的預(yù)防疾病防治，提供可靠保證和理論事實依據(jù)。8 參考文獻(xiàn)1 陳恩水，王峰，朱道元.數(shù)學(xué)建模與實驗.北京：科學(xué)出版社，20082 熊啟才，張東升.數(shù)學(xué)模型方法及應(yīng)用.重慶：重慶大學(xué)出版社，20053 秦新強，趙鳳群.線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo).北京：機械工業(yè)出版社，20064 劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計與應(yīng)用.北京：高等教育出版社，20065 鄔學(xué)軍，周凱.數(shù)學(xué)建模競賽鋪導(dǎo)教程.杭州：浙江大學(xué)出版社，2009附錄：表a 酵母菌在培養(yǎng)物中的增長時間t（小時）01234數(shù)量N（t）9.618.32947.271.1時間t（小時）56

17、789數(shù)量N（t）119.6174.6257.3350.7441時間t（小時）1011121314數(shù)量N（t）513.3559.7594.8629.4640.8時間t（小時）15161718數(shù)量N（t）651.1655.9659.6661.8程序一：種群預(yù)測的Malthus模型（部分?jǐn)?shù)據(jù)）function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);clct=0 1 2 3 4 5 6 7 8 ;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 ;c0=1;c, options,funval, Jacob =lsqcurvefit

18、('curvefun3',c0,t,n) m= curvefun3(c,t)plot(t,n,'o',t,m,'*')xlabel('時間t/小時');ylabel('數(shù)量n');legend('已知酵母菌的觀測數(shù)據(jù)','Malthus擬合的數(shù)據(jù)')程序二：種群預(yù)測的Malthus模型（全部數(shù)據(jù)）function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);k= 0.25781function f=curvefun3(c,t)f=9.6*exp(c*t);clct=

19、0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 441 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8;c0=1;x, options,funval, Jacob =lsqcurvefit('curvefun3',c0,t,noptions = 1.0848e+006Jacob = 3clct=0123456789101112131415161718 ;n=9.618.32947

20、.271.1119.6174.6257.3350.7441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.8;m=9.6*exp(0.25781.*t);plot(t,n,'o',t,m,'*')xlabel('時間t/小時');ylabel('數(shù)量n');legend('已知酵母菌的觀測數(shù)據(jù)','Malthus擬合的數(shù)據(jù)');程序三：符合本題的Logistic模型function f=curvefun4(c,t)f=-9.6.*c(1)./(-9.6-exp(-c(1).*c(2).*t)*c(1)+exp(-c(1).*c(2).*t).*9.;clct=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;n=9.6 18.3 29 47.2 71.1 119.6 174.6 257.3 350.7 441 513.3 559.7 594.8 629.4 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8;c0=700 0.001; x, options,funval, Jacob =