連續(xù)小波變換的對數(shù)模擬濾波器實現(xiàn)

1、更多電子資料請登錄賽微電子網(wǎng)連續(xù)小波變換的對數(shù)模擬濾波器實現(xiàn)*黃姣英1 袁海文1 何怡剛2 (1. 北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院, 北京 100191;2. 湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院, 長沙 410082)摘 要: 提出了基于對數(shù)技術(shù)的連續(xù)小波變換的模擬濾波器實現(xiàn)方法, 通過迭代和函數(shù)逼近理論可獲得無顯式表達式的小波函數(shù)的沖激響應(yīng)。小波變換的濾波器實現(xiàn)電路由沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的濾波器組構(gòu)成, Padé逼近是一種有效的有理逼近, 小波函數(shù)經(jīng)Padé逼近后可得到其有理分式逼近, 有助于濾波器設(shè)計。通過優(yōu)化濾波器組的狀態(tài)空間模型確保了電路具有大的動態(tài)范圍, 有利于低

2、壓低功耗運用。仿真結(jié)果證實了其可行性。 關(guān)鍵詞: 小波變換；Padé逼近；狀態(tài)空間；對數(shù)濾波器中圖分類號: O426.9;TN713文獻標(biāo)識碼: A國家標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科分類代碼: 510.4030Realization of log analog filter of continuous wavelet transformHuang Jiaoying1 Yuan Haiwen1 He Yigang2(1. School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100191, C

3、hina; 2. College of Electrical & Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)Abstract: A new method is presented using analog filters to implement the wavelet transform based on log circuits. First, the impulse response of wavelet without explicit expression can be gotten b

4、y iterative technique and function approximation theory. Next, the Padé approximation is used to calculate the transfer function of the filter, whose impulse response is the required wavelet. The Padé approximation can decompose the transform function into rational form so as to be conveni

5、ently implemented by filter synthesis. For low-power low-voltage applications, the state-space mode of the filter is optimized for dynamic range requirements. The simulations demonstrate that the method implements the required wavelet transfer in an excellent way. Keywords: Wavelet Transform; Pad

6、33; approximation; state-space; log filter1 引 言小波變換因其在時、頻兩域都有表征信號局部特征的能力, 得到了廣泛的運用1-2,10-11。傳統(tǒng)的小波變換是用數(shù)字計算方法(即離散小波變換DWT)來實現(xiàn)的, 其實時處理性差; 近年來人們開始致力于用模擬電路實現(xiàn)連續(xù)小波變換的研究。盡管利用開關(guān)電容技術(shù)3可實現(xiàn)連續(xù)小波變換, 但其動態(tài)范圍受低壓低功耗以及工藝限制; 本文提出的用對數(shù)模擬濾波器網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)連續(xù)小波變換的方案可以克服上述缺點。對數(shù)域濾波基于瞬時縮展理論5, 能在低電源電壓下, 保持高頻、可調(diào)、擴展的動態(tài)范圍, 可理想地實現(xiàn)線性電流傳遞函數(shù), 而其內(nèi)

7、部的電壓信號則是非線性, 完全適合混合型Soc設(shè)計。Padé逼近是有理函數(shù)逼近的一種6, 濾波器網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)經(jīng)過Padé變換可以得到其有理分式逼近, 十分利于對數(shù)濾波器組的設(shè)計。本文結(jié)合瞬時縮展電路理論與Padé逼近技術(shù)來實現(xiàn)小波變換的模擬對數(shù)電路實現(xiàn), 該方法對于小波變換的硬件實現(xiàn)具有一定的理論價值; 而采用CMOS對數(shù)電路技術(shù), 可以有助于優(yōu)化電路的低壓、低功耗設(shè)計, 這將在小波變換實時處理中有很好的應(yīng)用前景。2 原 理小波函數(shù)的定義為: 設(shè)y (t)是具有緊支集的平方可積函數(shù), 即, 若其傅里葉變換 滿足條件:(1)則稱y (t)為一個基本小波或母小波函數(shù),

8、 稱(1)式為小波函數(shù)的容許條件, 容許條件的滿足保證了小波變換的反變換存在。設(shè)x(t)是平方可積函數(shù), 則有(2)則式(2)稱為x(t)的小波變換。式中: a是尺度因子且 a>0; t 反映位移, 其值可正可負(fù); 上標(biāo)“*”表示取共軛。若式(2)中不但t是連續(xù)變量, 而且a和t 也是連續(xù)變量, 因此被稱為連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform,簡記為CWT)。若X(w)為x(t)的傅氏變換, 則(2)式對應(yīng)的頻域表示式如式(3): (3)從式(3)可看出: 小波變換在頻域的作用相當(dāng)于用基本頻率特性為Y (w)且品質(zhì)因素恒定的帶通濾波器在不同尺度a下對信號

9、作濾波處理。當(dāng)a連續(xù)變化時, 對信號作小波變換相當(dāng)于用無限多個不同中心頻率與帶寬的恒Q帶通濾波器對信號作濾波再將濾波結(jié)果求積分, 品質(zhì)因素Q為中心頻率與帶寬之比。同時, 從一維連續(xù)小波變換定義中有關(guān)內(nèi)積與卷積的比較來看, 輸入信號與小波函數(shù)的卷積可以認(rèn)為是小波變換(在函數(shù)滿足關(guān)于t=0對稱的條件下, 則該結(jié)論與從內(nèi)積的角度考慮而得的結(jié)論完全相同; 如非對稱, 在計算方法上也沒有本質(zhì)的區(qū)別)。根據(jù)信號處理理論, 信號與某個函數(shù)的卷積就是信號通過以該函數(shù)特性為沖激響應(yīng)的系統(tǒng)后的輸出, 因此只要構(gòu)造沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的濾波器組, 則信號通過該濾波器組后的輸出就是信號的小波變換。這樣一來, 小波變換的

10、實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造沖激響應(yīng)為不同尺度與位移的小波函數(shù)的濾波器組的問題。需要注意的是, 在構(gòu)造不同尺度與位移的小波函數(shù)濾波器組時, 要保證品質(zhì)因數(shù)與a值無關(guān)這個條件。在實際應(yīng)用中, 考慮到小波變換的冗余性以及實際實現(xiàn)的可能性, 只要將a, t 離散化, 一般取a=2 (也稱二進小波變換)并根據(jù)實際問題取為合適值即可滿足要求。該方法為實時處理提供了可能, 尤其是對二維信號(如圖像)求其二維小波變換的情形。因其數(shù)據(jù)量巨大, 用傳統(tǒng)的離散小波變換方法不能達到實時處理, 當(dāng)輸入信號是光學(xué)信號(如遙感、氣象衛(wèi)星的圖片)時, 若能構(gòu)造一個沖激響應(yīng)具有二維小波函數(shù)形式的光學(xué)濾波器, 即可立即得到相應(yīng)的二維小波

11、變換的輸出, 實現(xiàn)實時壓縮、傳輸。下面將論述一維小濾波器的構(gòu)造。3 濾波器的構(gòu)造3.1 濾波器網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)的確定在實際構(gòu)造濾波器組時, 首先是確定母小波函數(shù)。要完全滿足其時域表達式y(tǒng) (t)或頻域表達式Y(jié)(w)是不可能的, 只能進行一定程度的近似。這種近似既可以從時域考慮, 即近似y (t), 也可以從頻域近似, 即近似Y(w)。不失一般性, 此處只討論h(t)為y (t)時的構(gòu)造方法, 至于h(t)為、等的構(gòu)造方法完全類似。設(shè)u(t)表示階躍函數(shù), 則由電網(wǎng)絡(luò)理論可知, 若h(t)為指數(shù)和形式, 即(4)式中: pj是實部為負(fù)的復(fù)數(shù), Kj為復(fù)數(shù), 為保證系統(tǒng)穩(wěn)定, 則一定可以找到一個N階線

12、性的模擬濾波網(wǎng)絡(luò), 其沖激響應(yīng)等于h(t)。因此需要解決的問題是確定式(4)中的2N個未知參數(shù)Kj及pj. 假設(shè)T為某一固定的間隔, 由于一般小波函數(shù)y (t)都不具有指數(shù)和的形式, 甚至大多數(shù)小波函數(shù)連顯式表達式都沒有, 只有通過迭代得到的其離散點的值y (nT), (nZ ),因此只能根據(jù)函數(shù)逼近理論由這些已知的樣點值構(gòu)造出h(t), 使h(t)盡量接近y (t), 這里, 具體的計算略。下面討論獲取小波函數(shù)的顯式表達式后, 如何設(shè)計所需的濾波器, 本文選擇高斯函數(shù)作為小波函數(shù)(也稱為母小波), 這是因為高斯函數(shù)在它的函數(shù)支架內(nèi)具有帶通的性質(zhì), 且?guī)掃€可以由參數(shù)a來控制, 另一個重要的性

13、質(zhì)是它的頻域形式仍然保持高斯形式。一般通用的高斯函數(shù)族形式為: (5)3.2 Padé逼近Padé逼近是有理函數(shù)逼近的一種, 任何函數(shù)經(jīng)過Padé變換可以得到其有理分式逼近。在小波變換的濾波器電路實現(xiàn)中, 構(gòu)造沖激響應(yīng)為小波函數(shù)的恒Q帶通濾波器組至關(guān)重要。濾波器的傳輸函數(shù)通常都表示為有理分式, 因此將小波函數(shù)轉(zhuǎn)化成有理分式形式的傳輸函數(shù)在小波濾波器的設(shè)計實現(xiàn)中顯得非常重要。對小波函數(shù)進行Padé逼近后, 可以獲得其頻域的有理分式逼近, 然后再根據(jù)濾波器設(shè)計理論, 就可以實現(xiàn)小波濾波器的設(shè)計, 圖1為模擬小波濾波器的設(shè)計流程圖。在Padé逼近中,

14、 有理分式逼近系數(shù)的計算由母小波函數(shù)y(t)的拉普拉斯變換(Laplace transform)的泰勒級數(shù)(Taylor)展開獲得。一般的, 設(shè)F(s)在s = 0處的Taylor級數(shù)為(6)式中: c0, c1, ck稱為Taylor展開系數(shù). 由于F(s)的Taylor展開式中只有零點,并不是濾波器傳輸函數(shù)的理想表達式,故需將其變換成有理分式形式。圖1 模擬小波濾波器設(shè)計流程圖Fig. 1 Flowchart of wavelet filter design函數(shù)F(s)的Padé逼近表達式為5:(7)式中: Q(s), P(s)的系數(shù)分別為: (8)(當(dāng)k < 0時, ck

15、=0)(9)如果逼近后的有理式函數(shù)分子為n次多項式, 分母為m次多項式, 則原函數(shù)可被逼近至(m+n)次多項式。Padé逼近的主要優(yōu)點是計算簡便, 具有通用性; 因此也可將Padé逼近運用于其他的指定了脈沖響應(yīng)的濾波器設(shè)計, 例如, 小波濾波器的其他母小波的設(shè)計, 如Morlet小波等。結(jié)合小波的時頻局部性特性, 采用3/6 Padé逼近, 其對應(yīng)的高斯函數(shù)的Padé逼近表達式為: (10)4 電路實現(xiàn)與仿真分析本節(jié)通過采用對數(shù)濾波器網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)高斯小波變換, 整個濾波器組由6個6階帶通濾波器組成, 其傳遞函數(shù)表達式如式(10)所示。6組濾波器的中心頻率分

16、別為: 0.156 kHz, 0.312 kHz, 0.625 kHz, 1.25 kHz, 2.5 kHz和5 kHz。每個6階帶通濾波器分別由3個二階濾波器并聯(lián)而成。為了節(jié)省硬件成本, 這里采用了共享鄰近的濾波器技術(shù), 也就是說, 整個6通道的濾波器組只需13個二階濾波器便可構(gòu)成, 如圖2所示。圖2 共享型6通道濾波器組Fig. 2 Communion 6-cannel filterbank二階濾波器采用對數(shù)技術(shù)來實現(xiàn)。對數(shù)域濾波技術(shù)4,6-7可在同一瞬時, 對信號先進行壓縮, 待處理后再進行擴展, 從而實現(xiàn)在低壓下提供高頻、可調(diào)、擴展的動態(tài)范圍等優(yōu)點。它直接利用晶體管的指數(shù)特性實現(xiàn)線性電

17、流傳遞函數(shù), 而其內(nèi)部的電壓信號則是非線性, 避免由于將非線性器件線性化所引起的功耗增加和工作速度的降低。一般可以根據(jù)濾波器的傳遞函數(shù)來設(shè)計濾波器電路。但由于受大范圍內(nèi)變化的偏置電流和電容的限制, 不可能直接通過濾波器的傳遞函數(shù)來設(shè)計狀態(tài)空間模型(state-space mode)從而得到相應(yīng)的濾波器實現(xiàn)電路。為了在優(yōu)化電路大小的同時又能保證好的電路性能, 在進行狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換時采用了如下3種方法: 1) 為了壓縮電路面積, 共享偏置電路, 需平衡所有的濾波器系數(shù), 從而保證偏置電流相等或至少處于同一個范圍之內(nèi); 2) 增加亞輸入單元, 從而使得內(nèi)部的各個狀態(tài)變量擁有同樣的工作點8; 3) 電流

18、IBIAS和電流IF彼此獨立, 通過調(diào)節(jié)IBIAS與IF來分別設(shè)置信號范圍和截止頻率, 從而保證輸入信號、電流以及電容等處在一定的范圍內(nèi), 而頻率調(diào)節(jié)卻不受影響。相應(yīng)的狀態(tài)空間模型實現(xiàn)如圖3所示, 式(11)為其對應(yīng)的狀態(tài)方程。; (11) 圖3 狀態(tài)空間模型實現(xiàn)框圖Fig. 3 Block diagram of state-space model realization為了降低總體電路功耗, 這里采用CMOS電路, 所有電路單元采用工作在亞閾值態(tài)的MOS管實現(xiàn), 一般的, 當(dāng)晶體管工作在亞閾值狀態(tài)時, 有9: (12)從式(12)可以很明顯的看出ID 與VGB以及ID 與VSB呈指數(shù)關(guān)系。圖

19、4為采用3/6 Padé逼近后的高斯函數(shù)的脈沖響應(yīng)與理想的高斯函數(shù)的波形對照圖, 可以看出, 高斯小波函數(shù)逼近效果非常理想, 在實際運用中, 我們可以調(diào)節(jié)濾波器組中的偏置電流與電容可以獲得不同尺度的高斯小波函數(shù)。圖4 運用Padé逼近后的脈沖響應(yīng)Fig. 4 Impulse response using Padé approximation圖5(a)為原始的視頻編碼信號, 經(jīng)過濾波器組重構(gòu)后的信號如圖5(b)所示。從圖5可以看出, 除了在A處存在輕微瑕疵外, 重構(gòu)信號基本上與原始信號吻合。這是因為, 仿真時, 濾波器組(即通道數(shù)目)數(shù)目不多, 導(dǎo)致精度有所下降;

20、仿真時, 只選用了0.25 mm CMOS工藝; 對電路設(shè)計而言, 在進行狀態(tài)空間轉(zhuǎn)化時, 在優(yōu)化電路大小與保證好的電路性能兩方面, 考慮有所欠缺; 以及在整體設(shè)計上, 對系統(tǒng)的最大信號頻率與幅值等進行的考慮不足, 對系統(tǒng)做的一些分析裕度的保留不夠。(a)(b)圖5 (a)原始信號 (b)重構(gòu)信號Fig. 5 (a) Initial signal; (b) Reconstruction signal5 結(jié) 論本文提出了基于對數(shù)技術(shù)的連續(xù)小波實現(xiàn), 首先分析了濾波器網(wǎng)絡(luò)沖激響應(yīng)的計算, 然后通過Padé逼近方法, 得到所需小波函數(shù)的有理分式逼近, 小波變換的濾波器實現(xiàn)電路由沖激響應(yīng)為小

21、波函數(shù)的濾波器組構(gòu)成,最后, 通過優(yōu)化濾波器組的狀態(tài)空間模型確保了電路大的動態(tài)范圍, 十分利于低壓低功耗運用。以高斯小波變換為例, 仿真結(jié)果證實了其可行性; 而任意小波函數(shù)均能通過Padé逼近得到其有理分式逼近, 從而使本文方法具有普遍意義。仿真中出現(xiàn)的誤差分析及電路性能優(yōu)化有待進一步研究。參考文獻: 1 HUANG J Y, HE Y G, ZHAO W SH, et al. Wavelet based approach for analog filter fault detectionC. The second international conference on comple

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