計數(shù)原理與概率高考復習指導

1、計數(shù)原理與概率高考復習指導一、考試說明：1考試內(nèi)容（1）分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，排列與組合（2）等可能性事件的概率，互斥事件有一個發(fā)生的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率2考試要求（1）掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題（2）理解排列與組合的意義，掌握排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式，掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應用問題（3）了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合公式計算一些等可能性事件的概率（4）了解互斥事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式計算一些事件的概率（5）了解相互獨立事件的意義，會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率，會

2、計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率二、高考試題分析排列與組合、概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學的重要內(nèi)容一方面，這部分內(nèi)容占用教學時數(shù)多達36課時，另一方面，這部分內(nèi)容是進一步學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)知識，因此，它是高考數(shù)學命題的重要內(nèi)容從近三年全國高考數(shù)學（新材）試題來看，主要是考查排列與組合、概率與統(tǒng)計的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析問題和解決問題的能力試題特點是基礎(chǔ)和全面題目類型有選擇題、填空題、解答題，一般是兩?。?分10分）一大（12分），解答題通常是概率問題試題難度多為低中檔為了支持高中數(shù)學課程的改革，高考數(shù)學命題對這部分將進一步重視，但題目數(shù)量、難度、題型將會保持穩(wěn)定例1（1

3、999年全國）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物間的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_種（用數(shù)字作答）解析 A種植在左邊第一壟時，B有3種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟時，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟時，B只有一種種植方法B在左邊種植的情形與上述情形相同故共有2(321)=12種不同的選壟方法 應填12.例2（2003年新教材）將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗田里，每一塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共有_種（以數(shù)字作答）解析 將5塊試驗田從左到右依次看作甲、乙、丙

4、、丁、戊，3種作物依次看作A、B、C，則3種作物都可以種植在甲試驗田里，由于相鄰的試驗田不能種植同一種作物，從而可知在乙試驗田里只能有兩種作物同理，在丙、丁、戊試驗田里也只能有兩種作物可以種植由分步計數(shù)原理，不同的種植方法共有3×2×2×2=48種應填：48例3（2003年全國高考題）某城市中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種1種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽法有_種解析 由于第1、2、3塊兩兩相鄰，我們先安排這三塊，給第1、2、3塊種花時分別有4、3、2種種法，所以共有4×3×2=24

5、種不同種法下面給第4塊種花，若第4塊與第6塊同色，只有一種種植方法，則第5塊只有2種種法，若第4塊與第2塊同色時，共有2×1=2種種法若第4塊與第6塊不同色，但第4塊與第2塊同色，則第6塊有2種種植的方案，而第5塊只有1種種法，共有2種不同的種植方法若第4塊與第6塊不同色，但第4塊與第2塊不同色，則第6塊有1種種法，則第5塊也有一種不同種法，所以第4塊與第6塊不同色時，有1種種法綜上共有24×(221)=120種不同的種植方法例4（2003年春季考試題）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為

6、A、42B、30C、20D、12解析 將兩個新節(jié)目插入5個固定順序節(jié)目單有兩種情況：（1）兩個新節(jié)目相鄰的插法種數(shù)為；（2）兩個節(jié)目不相鄰的插法種數(shù)為；由分類計數(shù)原理共有種方法，選A.例5（2004重慶）（本小題滿分12分）設(shè)甲、已、丙三人每次射擊命中目標的概率分別為0.7、0.6和0.5。（1）三人各向目標射擊一次，求至少有一人命中目標的概率及恰有兩人命中目標的概率；（2）若甲單獨向目標射擊三次，求他恰好命中兩次的概率.解：（I）設(shè)AK表示“第k人命中目標”，k=1，2，3. 這里，A1，A2，A3獨立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5. 從而，至少有一人命中目標

7、的概率為 恰有兩人命中目標的概率為 答：至少有一人命中目標的概率為0.94，恰有兩人命中目標的概率為0.44（II）設(shè)甲每次射擊為一次試驗，從而該問題構(gòu)成三次重復獨立試驗.又已知在每次試驗中事件“命中目標”發(fā)生的概率為0.7，故所求概率為 答：他恰好命中兩次的概率為0.441.例6(2002年理科高考題)某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作,每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨立).（）求至少3人同時上網(wǎng)的概率;（）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3 ?分析: （）至少3人同時上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時上網(wǎng)的概率.即（）至少4人同時上網(wǎng)的概率為:.至少5人同時上網(wǎng)的概率為:因此, 至少5人同時

8、上網(wǎng)的概率小于0.3.思路:如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生K次的概率為.例7（2004湖南）（本小題滿分12分）甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為,乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.（）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率；（）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.解：（）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件.由題設(shè)條件有 由、得 代入

9、得 27P(C)251P(C)+22=0.解得 （舍去）.將 分別代入 、 可得 即甲、乙、丙三臺機床各加工的零件是一等品的概率分別是（）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件，則 故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為三、高考命題展望：概率和統(tǒng)計是一門專門“研究偶然現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性”的學科。有著廣泛的應用背景。近幾年來新課程卷高考試卷也把概率統(tǒng)計的基本知識和方法：隨機事件、等可能事件、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復實驗等概念及相應的計算等列為考察的重點，作為必考內(nèi)容。1 概率的定義：一般地，在大量重復進行同一實驗時，事件A發(fā)生的頻率m/n

10、總是接近某個常數(shù)，在它附近擺動，這個常數(shù)叫事件A的概率。2 等可能事件的概率：P（A）=m/n.3 互斥事件：不可能同時發(fā)生的事件?；コ馐录嗀,B中有一個發(fā)生的概率為：P（A+B）=P（A）+P（B）。特別地4 相互獨立事件：如果一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響。獨立事件A，B同時發(fā)生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。5 n次獨立重復實驗中事件A發(fā)生k次的概率： 。復習這部分內(nèi)容及解答此類問題首先必須使學生明確判斷兩點：（1）對于每個隨機實驗來說，所有可能出現(xiàn)的實驗結(jié)果數(shù)n必須是有限個；（2）出現(xiàn)的所有不同的實驗結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的。只有在同時滿足（1）、（2）的

11、條件下，運用等可能事件的概率計算公式P(A)=m/n得出的結(jié)果才是正確的。而事件間得的“互相排斥”與“相互獨立”是學生理解的一個難點，能否準確判斷事件之間是否互相排斥或相互獨立，正確理解“和事件”或“積事件”的意義，是考查的又一個重點，學生常因為混淆不清而導致計算錯誤。在同一實驗中兩事件的“互相排斥”是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩事件“相互獨立”是指一個事件發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響。在實際運用中我們常常不是根據(jù)定義來判斷事件的獨立性，而是應用實驗的方法，由實驗的獨立性去判斷事件的獨立性。而在應用題背景條件下，能否把一個復雜事件分解為若干個互相排斥或相互獨立、既不重復又不遺漏的簡單

12、事件是解答這類應用題的關(guān)鍵，也是考查學生分析問題、解決問題的能力的重要環(huán)節(jié)。例題1：某零件從毛坯到成品，一共要經(jīng)過6道自動加工工序。如果各道工序出次品的概率依次為0.01、0.02、0.03、0.03、0.05、0.05，那么這種零件的次品率是多少？錯解：設(shè)第i道工序出次品的事件為Ai，i=1、2、6，Ai是互斥事件，則Ai中至少有一個事件發(fā)生就為次品，故這種零件的次品率為P（A1+A2+A6）=P（A1）+P（A2）+P（A6）=0.19。分析：錯誤原因是將相互獨立的事件看成互斥事件。由題意可知，只有同時經(jīng)過6道工序才能將事件完成，不能只考慮一道工序是否通過。設(shè)第i道工序出現(xiàn)次品的事件記為A

13、i，i=1、2、6,它們相互獨立但不互斥，則Ai中至少有一個事件發(fā)生就出現(xiàn)次品，所以該種零件的次品率為P（A1+A2+A6） =1-。又如：某家庭電話在家中有人時，打進的電話響第1聲時被接的概率為0.1，響第2聲時被接的概率為0.3，響第3聲時被接的概率為0.4，響第4聲時被接的概率為0.1。那么該電話在前4聲內(nèi)被接的概率是多少？例題2、從原點出發(fā)的某質(zhì)點M，按照向量移動的概率為2/3，按照向量移動的概率為1/3。設(shè)M可到達點（0，n）的概率為Pn。 （1）求P1 ，P2； （2）求證：； （3）求Pn的表達式。 解析：（1）點M到達點（0，1）的概率，點M到達點（0，2）的事件由兩個互斥的事

14、件組成：“點M先按向量移動到達點（0，1），再按向量平移到達點（0，2）”，此時概率為；“點M按向量移動直接到達（0，2）”，此時的概率為。于是所求的概率為： 。（2）M點到達（0，n+2）由兩個互斥的事件組成：“從點（0，n+1）按向量移動”，此時概率為；“從點（0，n）按向量移動”此時概率為。于是，即。 （3）由（2）可知，數(shù)列Pn+2-Pn+1是以P2-P1=1/9為首項，公比為-1/3的等比數(shù)列，即，故。例題3、設(shè)棋子在正四面體ABCD的表面從一個頂點移向另外三個頂點是等可能的?，F(xiàn)投擲骰子根據(jù)其點數(shù)決定棋子是否移動：若投出的點數(shù)是奇數(shù)，則棋子不動；若投出的點數(shù)是偶數(shù)，棋子移動到另一個頂

15、點。若棋子的初始位置在頂點A，回答下列問題。 （1）投了2次骰子，棋子才到達頂點B的概率是多少？ （2）投了3次骰子，棋子恰好在頂點B的概率是多少？分析：棋子從頂點A移動到頂點B，C，D的概率都是1/6，而不移動的概率是3/6=1/2。 （1）分兩種情形：第一次不動，第二次移到B，即；兩次都動，即或，故投了2次骰子，棋子才到達頂點B的概率為 。 （2）兩次停在相同頂點：、；一次停在相同頂點：、；每次都向其它頂點移動：、 、。故投3次骰子，棋子恰好在頂點B的概率是。四、考前熱身：（2004遼寧）有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不

16、左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 （ ）A234B346C350D3632（2004湖南）從正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形，其中直角三角形的個數(shù)為 A56B52C48D40 （ ）3（2002全國理）從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（ ）A8種B12種C16種D20種4（2004福建）某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為（ ）A B C D5（2002全國春招）從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同工作若其中甲、乙兩名支援者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有 （

17、）（A）280種 （B）240種 （C）180種 （D）96種6（2004廣東）一臺X型號自動機床在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8000,有四臺這中型號的自動機床各自獨立工作,則在一小時內(nèi)至多2臺機床需要工人照看的概率是 A0.1536 B 0.1808C 0.5632D 0.9728 （ ）7（2004江蘇）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上的概率是 （ ）A B C D8（2004遼寧）甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率

18、是 （ ）AB CD9（2004重慶）已知盒中裝有3只螺口與7只卡口燈炮，這些燈炮的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈炮使用，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則他直到第3次才取得卡口燈炮的概率為（ ）A B C D10（2004北京）從長度分別為1，2，3，4，5的五條線段中，任取三條的不同取法共有n種。在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的鈍角三角形的個數(shù)為m，則等于（ ） A B C D 11（2004湖北）將標號為1，2，10的10個球放入標號為1，2，10的10個盒子內(nèi)，每個盒內(nèi)放一個球，則恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法共有 種.（以數(shù)字作答）

19、12（2000廣東）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽。3名主力隊 員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有_ _種（用數(shù)字作答）。13（2003廣東?。┤鐖D，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答）14（2004廣東）某班委會由4名男生與3名女生組成,現(xiàn)從中選出2人擔任正副班長,其中至少有1名女生當選的概率是 (用分數(shù)作答)15（2004遼寧）口袋內(nèi)裝有10個相同的球，其中5個球標有數(shù)字0，5個球標有數(shù)字1，若從袋中摸出5個球，那么摸出

20、的5個球所標數(shù)字之和小于2或大于3的概率是 . 16（2004上海文科）若在二項式(x+1)10的展開式中任取一項,則該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是 . (結(jié)果用分數(shù)表示)17（2000江西、天津）從含有500個個體的總體中一次性地抽取25個個體，假定其中每個個體被抽到的概率相等，那么總體中的每個個體被抽取的概率等于 。18（2001上海春招）在大小相同的6個球中，2個紅球，4個是白球若從中任意選取3 個，則所選的3個球中至少有1個紅球的概率是_ _（結(jié)果用分數(shù)表示）19（2004福建）某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：他第3次擊中目標的概率是0.9；他恰好擊中目標3次的概率是0.93×0.1；他至少擊中目標1次的概率是1-0.14.其中正確結(jié)論的序號是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）.20（2003年全國）有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90,0.95和0.95.各抽取一件進行檢驗。（）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有兩件不合格的概率。（精確到0.001）附錄