B-S期權(quán)定價模型及其應(yīng)用(共30頁).ppt

1、1Black-Scholes 期權(quán)定價模型期權(quán)定價模型王春雷王春雷2引引 言言l二叉樹期權(quán)定價模型： 變量離散、時間離散l當(dāng)股價的變動是一個連續(xù)的運動過程 變量連續(xù)、時間連續(xù) 如何對以它為標(biāo)的資產(chǎn)的衍生品定價？本節(jié)討論的問題31 1、股票價格的運動過程、股票價格的運動過程, dSdtdzdzdtS ：股票的瞬間收益率 ：股票的期望瞬間收益率 ：股價收益率的瞬間標(biāo)準(zhǔn)差dSS4波動率估計1 觀測證券價格的歷史數(shù)據(jù)S0 、 S1 、 、 Sn ，觀測時間間隔為t（以年為單位）2 計算每期以復(fù)利計算的回報率 uiLn(Si / Si-1 ), i=1,n3 計算回報率的標(biāo)準(zhǔn)差s4 波動率估計211()

2、1niisuunst5 2 2、伊藤引理、伊藤引理（Itos lemma）l若已知 x 的運動過程，利用伊藤引理能夠推知函數(shù) G (x, t ) 的運動過程l由于任何衍生品價格均為其標(biāo)的資產(chǎn)價格及時間的函數(shù)，因而可利用伊藤引理推導(dǎo)衍生品價格的運動過程6l伊藤引理（伊藤引理（Ito，1951） 若隨機過程 x 遵循伊藤過程： 則G (x, t )將遵循如下伊藤過程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222dztxbdttxadx),(),(722221()2ffffdfSSdtSdzStSSSdzSdtdS股價運動是一種簡單的伊藤過程：以股票為標(biāo)的資產(chǎn)的衍生品價格 f (S, t )

3、，其運動過程可通過伊藤引理得到：8例例1 1：伊藤引理的運用：伊藤引理的運用 若 ，則該微分方程的解為： ( , )lnf S tS22211, 0, fffSStSS 2ln()2dSdtdz2(/2)(), (0, )T tzTtSS ezNTt 2lnln(/2)()( ( )( )TtSST tz Tz t 93 3、Black-Scholes 微分方程微分方程（1）原理）原理l衍生品與標(biāo)的資產(chǎn)（股票）價格不確定性的來源相同l與二叉樹期權(quán)定價模型的思想類似，我們 通過構(gòu)造股票與衍生品的組合來消除這種 不確定性10（2）假設(shè)條件）假設(shè)條件l股價遵循幾何布朗運動l股票交易連續(xù)進(jìn)行，且股票無

4、限可分l不存在交易費用及稅收l允許賣空，且可利用所有賣空所得l在衍生品有效期間，股票不支付股利l在衍生品有效期間，無風(fēng)險利率保持不變l所有無風(fēng)險套利機會均被消除11（3）B-S微分方程的推導(dǎo)微分方程的推導(dǎo)222212dSSdtSdzffffdfSSdtSdzStSS股票及衍生品的運動過程分別為： 為消除不確定性，構(gòu)造投資組合： 衍生品：1；股票：fS12 投資組合的價值為：2222-1 ()2fddfdSSffSdttS 投資組合的價值變動為：-ffSS 價值變動僅與時間 dt 有關(guān)，因此該組合 成功消除了 dz 帶來的不確定性13 根據(jù)無套利定價原理，組合收益率應(yīng)等于無風(fēng)險利率 r (無套利

5、機會)：drdt 22221()(-)2fffSdtrfS dttSSrfSfSSfrStf222221 此即 Black-Scholes 微分方程微分方程。14l任意依賴于標(biāo)的資產(chǎn) S 的衍生品價格 f 應(yīng) 滿足該方程l衍生品的價格由微分方程的邊界條件決定 例：歐式看漲期權(quán)的邊界條件為： C(0，t) 0 C(ST ,T)= max（ST K，0） 理論上通過解B-S微分方程，可得 Call 的價格。 問題：微分方程難于求解！154 4、風(fēng)險中性定價方法、風(fēng)險中性定價方法l觀察B-S微分方程及歐式Call 的邊界條件發(fā)現(xiàn)：C(S, t)與 S、r、t、T、以及 K 有關(guān)，而與股票的期望收益率

6、無關(guān)。這說明歐式Call 的價格與投資者的風(fēng)險偏好無關(guān)。l在對歐式Call 定價時，可假設(shè)投資者是風(fēng)險中投資者是風(fēng)險中性的性的（對所承擔(dān)的風(fēng)險不要求額外回報，所有證券的期望收益率等于無風(fēng)險利率）16用風(fēng)險中性方法對歐式用風(fēng)險中性方法對歐式 Call 定價定價l假設(shè)股價期望收益率為無風(fēng)險利率 r，則：l歐式 Call 到期時的期望收益為： 將該期望收益以無風(fēng)險利率折現(xiàn)，得到歐式 Call 價格：dSrSdtSdz()( , )max (,0)r T tTC S teESKmax(,0)TESK17得：其中：此即 Black-Scholes 期權(quán)定價公式期權(quán)定價公式。221ln( /)(/2)()

7、 S KrTtddTtTt()12 ( , )()() r T tC S tSN dKeN d21ln( /)(/2)() ()S KrTtdTt18如何理解如何理解B-S期權(quán)定價公式期權(quán)定價公式1()SN d1()N d（1） 可看作證券或無價值看漲期權(quán)的多頭； 可看作K份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的多頭。()2()r TtKeN d（2）可以證明， 。為構(gòu)造一份歐式看漲期權(quán)，需持有 份證券多頭，以及賣空數(shù)量為 的現(xiàn)金。1/()fSN d2 ()rTK eN d19lBlack-Scholes 期權(quán)定價公式用于不支付股利的 歐式看漲期權(quán)的定價（通過 Call-Put 平價公式 可計算歐式看跌期權(quán)的

8、價值）。l 注意：注意： 該公式只在一定的假設(shè)條件下成立該公式只在一定的假設(shè)條件下成立，如市場完美（無稅、無交易成本、資產(chǎn)無限可分、允許賣空）、無風(fēng)險利率保持不變、股價遵循幾何布朗運動等。20例：例：Black-Scholes公式的運用公式的運用 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為42元， 某投資者購買一份以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的歐式 看漲期權(quán)，6個月后到期，執(zhí)行價格為40元。假設(shè)該股票年波動率為20%，6月期國庫券年利率為10%，問：該份期權(quán)價格應(yīng)為多少元？ 解：由上述條件知： 21 42 (0.7693) 38.049 (0.6278)4.76 ()CNN元22 根據(jù) Call - Put 平

9、價公式 有： 計算得到歐式看跌期權(quán)價格為：P =0.81(元)- ( - ) r T tPSCKe- ( - )()21 ()() r T tr T tPCKeSKeNdSNd23影響歐式看漲期權(quán)價格的因素影響歐式看漲期權(quán)價格的因素l當(dāng)期股價 S 越高，期權(quán)價格越高l到期執(zhí)行價格 K 越高，期權(quán)價格越低l距離到期日時間 T-t 越長，期權(quán)價格越高l股價波動率越大，期權(quán)價格越高l無風(fēng)險利率 r 越高，期權(quán)價格越高24B-S期權(quán)定價公式的擴(kuò)展：紅利期權(quán)定價公式的擴(kuò)展：紅利l股價運動過程l風(fēng)險中性定價 僅需要將St變成St e-q(T-t) ，帶入原來的B-S微分方程即可()( , )max (,0

10、)r T tTC S teESK2(/2)(), (0, )rqTtzTtSS ezNTt 25B-S期權(quán)定價公式的運用期權(quán)定價公式的運用（1）對公司負(fù)債及資本進(jìn)行估值）對公司負(fù)債及資本進(jìn)行估值 一家公司A發(fā)行兩種證券：普通股100萬股及 1年后到期的總面值8000萬元的零息債券。已知 公司總市值為1億元，問：公司股票及債券如何 定價？ 令V為當(dāng)前A公司資產(chǎn)市場價值，E為A公司資 本市場價值，D為A公司債券市場價值。V = E + D26 考慮股東1年之后的收益：當(dāng)A公司價值VT大于債券面值時，收益為VT -8000；當(dāng)A公司價值小于債券面值時，收益為0。股東相當(dāng)于持有一個執(zhí)行價格為8000萬

11、元的歐式Call, 標(biāo)的資產(chǎn)為公司價值.當(dāng)前資本價值為： 給出其它具體數(shù)值，公司價值的波動率為0.3,無風(fēng)險利率為8%，根據(jù)B-S公司得到E=2824萬元.公司負(fù)債價值D=V-E=7176萬元。12 ()() rTEVN dBeN d27l（2）確定貸款擔(dān)保價值或擔(dān)保費用）確定貸款擔(dān)保價值或擔(dān)保費用 假設(shè)某銀行為公司發(fā)行的債券提供了信用擔(dān)保。 1年之后，若公司價值VT大于債券面值時，銀行無須支付；若公司價值VT小于債券面值時,銀行須支付 VT B。這相當(dāng)于銀行出售了一個歐式put, 標(biāo)的資產(chǎn)仍為公司價值，執(zhí)行價格為債券面值B。 利用上面的例子，可采用B-S看跌期權(quán)定價公式或看漲看跌期權(quán)平價公式，得到歐式put 的價值為209萬元，A公司應(yīng)支付209萬元的擔(dān)保費。28l（3）帶有可轉(zhuǎn)化特征的融資工具的定價）帶有可轉(zhuǎn)化特征的融資工具的定價 認(rèn)股權(quán)證指賦予投資者在某一時期以約定價格向發(fā)行人購買公司新股的權(quán)利。 假設(shè)公司有N股流通股，M份流通歐式認(rèn)股權(quán)證，一份認(rèn)股權(quán)證使持有人在時刻T以每股K的價格購買x股新股的權(quán)利。 29 設(shè)時期T公司權(quán)益價值為ET ，若持有人選擇執(zhí)行認(rèn)股權(quán)，公司權(quán)益價值變?yōu)?ET + MxK ，股票數(shù)量變?yōu)?N+Mx 。執(zhí)行