第五章第2講　平面向量基本定理及坐標表示

1、抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第2講平面向量基本定理及坐標表示講平面向量基本定理及坐標表示抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點梳理考點梳理(1)平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個是同一平面內(nèi)的兩個_的向量，那么對于的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)，有且只有一對實數(shù)1，2，使，使a_.其中，不共線的向量其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底的一組基底1平面向量基本定理及坐標表示平面向量基本定理及坐

2、標表示不共線不共線1e12e2抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解一個平面向量用一組基底一個平面向量用一組基底e1，e2表示成表示成a1e12e2的形的形式，我們稱它為向量式，我們稱它為向量a的的_當當e1，e2所在直線互相垂所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量直時，這種分解也稱為向量a的的_(3)平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示對于向量對于向量a，當它的起點移至原點，當它的起點移至原點O時，其終點坐標時，其終點坐標(x，y)稱為向量稱為向量a的的_，記作，記作a_分解分解正交分解正交分解(x，y)坐標坐標抓住抓住2

3、個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)加法、減法、數(shù)乘運算加法、減法、數(shù)乘運算2平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算向量向量abababa坐標坐標 (x1，y1) (x2，y2)_(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示設(shè)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中，其中b0，則則a與與b共線共線a_.(4)平面向量垂直的坐標表示平面向量垂直的坐標表示設(shè)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則則ab ab0_.終點終點始點始點x1y2x2y

4、10 x1x2y1y20b抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考兩點注意兩點注意平面向量的基本定理是向量用坐標表示的理論基礎(chǔ)，要特平面向量的基本定理是向量用坐標表示的理論基礎(chǔ)，要特別注意兩點：一是兩個不共線的向量才能作為基底；二是別注意兩點：一是兩個不共線的向量才能作為基底；二是任意一個向量用基底表示時的唯一性任意一個向量用基底表示時的唯一性一個考情分析一個考情分析向量的基本運算包括幾何運算和坐標運算在高考中經(jīng)常向量的基本運算包括幾何運算和坐標運算在高考中經(jīng)?？疾閮蓚€向量平行、垂直的坐標運算；向量的幾何運算主考查兩個向量平行、垂直的坐標運算；向量的幾何運算主要利用向

5、量的平行四邊形、三角形法則解題，關(guān)鍵是充分要利用向量的平行四邊形、三角形法則解題，關(guān)鍵是充分利用幾何圖形的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)換和化簡，用已知向量表示出利用幾何圖形的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)換和化簡，用已知向量表示出未知向量未知向量【助學助學微博微博】抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析a1a2an1an(3，4)答案答案(3，4)答案答案3ab考點自測考點自測1已知已知a1a2an0，且，且an(3,4)，則，則a1a2 an1_.2若向量若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，用，用a，b表示表示c， 則則c_.抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年

6、高考年高考解析解析ab，2(6)3x0，x4.答案答案4答案答案(4，6)3(2012南京一模南京一模)若向量若向量a(2,3)，b(x，6)，且，且 ab，則實數(shù)，則實數(shù)x_.4設(shè)向量設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，若向量，若向量4a、3b2a、c表示的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量表示的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c_.抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考向一考向一平面向量基本定理的應用平面向量基本定理的應用抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法

7、總結(jié)方法總結(jié) 應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關(guān)重要的作用當基底確算，共線向量定理的應用起著至關(guān)重要的作用當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的定后，任一向量的表示都是唯一的抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】 (2013鹽城模擬鹽城模擬)已知已知a，

8、b是兩個不共線的非零向是兩個不共線的非零向 量量考向二考向二平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 利用向量的坐標運算解題，主要就是根據(jù)相等利用向量的坐標運算解題，主要就是根據(jù)相等向量坐標相同這一原則，通過列方程向量坐標相同這一原則，通過列方程(組組)進行求解；在將進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終點坐標，也就向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終點坐標，也就是要注意

9、向量的方向，不要寫錯坐標是要注意向量的方向，不要寫錯坐標抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓練訓練2】 (2012常州第一學期期末考試常州第一學期期末考試)已知已知m，xR，向量向量a(x，m)，b(m1)x，x) (1)當當m0時，若時，若|a|1m對任意實數(shù)對任意實數(shù)x恒成立，求恒成立，求m的取值范圍的取值范圍抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若若bc，求，求tan tan 的值；的值；(2)求求a2bc的值的值解解(1)由由bc，得，得2cos()co

10、s()0，所以所以2cos cos 2sin sin cos cos sin sin 0，考向三考向三平面向量共線的坐標運算平面向量共線的坐標運算抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)a2bcsin2sin2cos()cos()2sin2sin2cos2cos2sin2sin22sin2(1sin2)cos2cos2sin22(sin2cos2)cos2sin22cos2sin22121.方法總結(jié)方法總結(jié) 在向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)在向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標表示的，就可以使用兩系求解參數(shù)值，如果向量是用

11、坐標表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標表示列出方程，根據(jù)方程求個向量共線的充要條件的坐標表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值解其中的參數(shù)值抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓練訓練3】 (2012南京二模南京二模)設(shè)向量設(shè)向量a(2，sin )，b(1， cos )，為銳角為銳角抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考 縱觀近幾年的高考試題，高頻考點的主要考查內(nèi)容為縱觀近幾年的高考試題，高頻考點的主要考查內(nèi)容為平面向量基本定理，以平面圖形為載體，考查向量的

12、平行平面向量基本定理，以平面圖形為載體，考查向量的平行四邊形法則和向量坐標形式的運算試題難度較大四邊形法則和向量坐標形式的運算試題難度較大熱點突破熱點突破14 利用平面向量基本定理解題的技法利用平面向量基本定理解題的技法抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考審題與轉(zhuǎn)化審題與轉(zhuǎn)化 第一步：構(gòu)造以第一步：構(gòu)造以O(shè)C為對角線的平行四邊為對角線的平行四邊形，利用平面向量基本定理解題或以形，利用平面向量基本定理解題或以O(shè)為原點，為原點，OA為為x軸軸建系，利用坐標法求解建系，利用坐標法求解抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考反思與回顧反思與回顧 第三步第三步：向量的坐標運算，實現(xiàn)了向量運：向量的坐標運算，實現(xiàn)了向量運算的代數(shù)化，將數(shù)與形密切結(jié)合起來，使很多幾何問題的算的代數(shù)化，將數(shù)與形密切結(jié)合起來，使很多幾何問題的解決轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算，解題中要注意數(shù)形結(jié)合思想的運解決轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算，解題中要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用用抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案(2，4)高考經(jīng)典題組訓練高考經(jīng)典題組訓練2(2012重慶卷改編重慶卷改編)設(shè)設(shè)x，yR，向量，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且，且ac，bc，則，則|a