第4章根軌跡分析法習(xí)題解答

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四章 根軌跡分析法4.1 學(xué)習(xí)要點(diǎn)1根軌跡的概念；2 根軌跡方程及幅值條件與相角條件的應(yīng)用；3根軌跡繪制法則與步驟；4 應(yīng)用根軌跡分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。4.2 思考與習(xí)題祥解題4.1 思考與總結(jié)下述問(wèn)題。（1）根軌跡的概念、根軌跡分析的意義與作用。（2）在繪制根軌跡時(shí)，如何運(yùn)用幅值條件與相角條件？（3）歸納常規(guī)根軌跡與廣義根軌跡的區(qū)別與應(yīng)用條件。（4）總結(jié)增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響，歸納系統(tǒng)需要增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的情況。答：（1）當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，閉環(huán)特征方程式的特征根在S復(fù)平面移動(dòng)形成的軌線稱為根軌跡。根軌跡反映系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的走向

2、與分布。根軌跡法研究當(dāng)系統(tǒng)的某一參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，如何根據(jù)系統(tǒng)已知的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，來(lái)確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根的移動(dòng)軌跡。因此， 對(duì)于高階系統(tǒng)，不必求解微分方程，通過(guò)根軌跡便可以直觀地分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。應(yīng)用根軌跡可以直觀地分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，以及要滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)要求，應(yīng)如何配置系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，獲得期望的根軌跡走向與分布。（2）根軌跡上的點(diǎn)是閉環(huán)特征方程式的根。根軌跡方程可由閉環(huán)特征方程式得到，且為復(fù)數(shù)方程。可以分解為幅值條件與相角條件。運(yùn)用相角條件可以確定S復(fù)平面上的點(diǎn)是否在根軌跡上；運(yùn)用幅值條件可以確定根軌跡上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。（3）歸納常規(guī)根軌跡與廣義根軌跡的

3、區(qū)別與應(yīng)用條件?？疾扉_(kāi)環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化時(shí)得到的閉環(huán)特征根移動(dòng)軌跡稱為常規(guī)根軌跡。除開(kāi)環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益變化之外的根軌跡稱為廣義根軌跡，如系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡和滯后系統(tǒng)根軌跡等。繪制參數(shù)根軌跡須通過(guò)閉環(huán)特征方程式等效變換，將要考察的參數(shù)變換到開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中開(kāi)環(huán)放大系數(shù)或根軌跡增益的位置上，才可應(yīng)用根軌跡繪制規(guī)則繪制參數(shù)變化時(shí)的根軌跡圖。正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程與負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程存在一個(gè)符號(hào)差別。因此，正反饋系統(tǒng)的幅值條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件一致，而正反饋系統(tǒng)的相角條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件反向。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件（）是根軌跡，正反饋系統(tǒng)的相角條件（）是根軌

4、跡。因此，繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，凡是與相角有關(guān)的繪制法則， 如實(shí)軸上的根軌跡，根軌跡漸近線與實(shí)軸的夾角， 根軌跡出射角和入射角等等，都要變角度為。（4）由于開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的分布直接影響閉環(huán)根軌跡的形狀和走向，所以增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)將使根軌跡的形狀和走向發(fā)生改變，從而使系統(tǒng)性能也隨之發(fā)生變化。一般地，增加合適的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向左變化的趨勢(shì)，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，增加了根軌跡的條數(shù)，改變了根軌跡漸近線的方向，可使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡產(chǎn)生向右變化的趨勢(shì)，削弱系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。增加開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，都將改變根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)與夾角，可能改變根軌跡在實(shí)軸上的分

5、布。如果系統(tǒng)期望主導(dǎo)極點(diǎn)在根軌跡左側(cè)時(shí)，可通過(guò)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（超前校正），使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲，通過(guò)期望主導(dǎo)極點(diǎn)，滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)要求；如果系統(tǒng)期望主導(dǎo)極點(diǎn)在根軌跡右側(cè)時(shí)，可通過(guò)增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（滯后校正），使閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡向右彎曲，通過(guò)期望主導(dǎo)極點(diǎn)，滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)要求。題4.2 已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),試?yán)L制各系統(tǒng)的根軌跡圖。（1）（2）（3）解： （1）1）起點(diǎn)：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 5) 求分離點(diǎn) 因?yàn)閷?shí)軸上的根軌跡 在 區(qū)間內(nèi)，所以分離點(diǎn)為。 6) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: 造勞斯表： 為使S1

6、行為零，應(yīng)有 由S2 行得輔助方程： 解得: 根軌跡如圖4.1所示。圖4.1 題4.2（1）根軌跡（2）1）起點(diǎn)：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 5) 求分離點(diǎn) 因?yàn)閷?shí)軸上的根軌跡 在 區(qū)間內(nèi)，且-2為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)重極點(diǎn)，所以分離點(diǎn)為。6) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: 將代人，整理得： 由此可得下列聯(lián)立方程： 解得: 根軌跡如圖4.2所示。圖4.2 題4.2（2）根軌跡（3）1）起點(diǎn)：三個(gè)開(kāi)環(huán)重極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) ，因此，根軌跡分成3條，它們均由 -2 出發(fā)趨向無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線

7、 5) 求分離點(diǎn) 實(shí)軸上的分離點(diǎn)為-2。6) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: 將代人，整理得： 由此可得下列聯(lián)立方程： 解得: 可見(jiàn)，根軌跡與其漸近線重合。根軌跡如圖4.3所示。圖4.3 題4.2（3）根軌跡題4.3 已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（1）（2）（3）試?yán)L制各系統(tǒng)的根軌跡圖。解：（1）1）起點(diǎn)：兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：有一個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 即：系統(tǒng)根軌跡分成兩條，一條從點(diǎn)出發(fā)，終止于有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，另一條從點(diǎn)出發(fā)，沿正實(shí)軸方向趨于無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)。根軌跡如圖4.4所示。圖4.4 題4.3（1）根軌跡（2）1）起點(diǎn)：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

8、。2）終點(diǎn)：一個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 5) 求分離點(diǎn) 因?yàn)閷?shí)軸上的分離點(diǎn)應(yīng)該在 區(qū)間內(nèi)，利用湊試法可得。根軌跡如圖4.5所示。圖4.5 題4.3（2）根軌跡（3）1）起點(diǎn)：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：一個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 即漸近線為虛軸。5) 根軌跡的出射角 根軌跡如圖4.6所示。圖4.6 題4.3（3）題4.4 有一個(gè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的負(fù)反饋系統(tǒng)，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解： 1）起點(diǎn)：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：一個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 根軌跡如圖4.7所示。圖4.7 題4.4根軌跡

9、題4.5 已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試證明是該系統(tǒng)根軌跡上的一點(diǎn)，并求出相應(yīng)的值。解： 系統(tǒng)有三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，無(wú)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)。開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)與點(diǎn)的分布如圖4.8所示。圖4.8 題4.5 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布1） 若為根軌跡上的點(diǎn)，則必滿足相角條件，即： 是根軌跡上的一點(diǎn)。2） 求與相應(yīng)的值。根據(jù)幅值條件：所以 4.6 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試證明該系統(tǒng)根軌跡為一圓形，并指出其圓心和半徑。證明: 設(shè)為系統(tǒng)根軌跡上的一點(diǎn)，則根據(jù)相角條件有：即：整理得：利用反正切公式，可得：等式兩端取正切：整理得：可知，上式為一圓的方程，圓心，半徑為。題4.7 有一開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的負(fù)反饋控制系統(tǒng)，試用根軌

10、跡法求使閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減系數(shù)等于時(shí)的值，并求出此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。解： 系統(tǒng)的根軌跡如圖4.9所示。當(dāng)時(shí)，阻尼角為，此時(shí)阻尼線與根軌跡的交點(diǎn)即為系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，而相應(yīng)的值即為所求。設(shè)主導(dǎo)極點(diǎn)為代入特征方程得：取（同理），并將代入上式，得：整理并令實(shí)部與虛布分別為零，可求出：則可得到主導(dǎo)極點(diǎn)為代入特征方程可求解出圖4.9 題4.7 根軌跡及阻尼角圖即當(dāng)時(shí)，而此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的特征根為，。題4.8 已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試討論零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響。（分別取）。解： 題目要求討論添加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響。因此先繪制當(dāng)系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)，即時(shí)的根軌跡略圖， 如圖4.10(a)所

11、示；然后添加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，繪制 時(shí)的根軌跡略圖，分別如圖4.10(b)、(c)、(d)所示。圖4.10 題4.8系統(tǒng)根軌跡在(a)圖中，當(dāng)系統(tǒng)不具有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)，與實(shí)軸成方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的分支，隨著值的增加，將穿過(guò)虛軸進(jìn)入右半平面，系統(tǒng)會(huì)隨之不穩(wěn)定。在(b)、(c)、(d)圖中，由于增加了零點(diǎn)，與實(shí)軸成方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的分支，拐向直角方向延伸，其結(jié)果是改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。并且可以看出：當(dāng)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)由左向右移動(dòng)時(shí)，根軌跡會(huì)向相反的方向，即朝左移動(dòng)，使穩(wěn)定性進(jìn)一步得到改善。題4.9 已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試求時(shí)，以為參變量的根軌跡。解： 時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為即 可得以為參變量時(shí)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

12、為圖4.11 題4.9 根軌跡繪制以為參變量時(shí)系統(tǒng)根軌跡：1）起點(diǎn)：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：無(wú)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 5) 根軌跡的分離點(diǎn)解得 。6) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)以為參變量時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: 將代人，整理得： 由此可得下列聯(lián)立方程： 解得: 。根據(jù)以上信息，可繪制根軌跡如圖4.11所示。題4.10 試?yán)L制如下圖所示系統(tǒng)以為參變量的根軌跡。 題4.10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：（1）找等效傳遞函數(shù)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，可知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：因此，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為可得以為參變量時(shí)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（2） 繪制根軌跡1）起點(diǎn)：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：一個(gè)

13、有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 5）根軌跡的出射角根據(jù)以上信息，可繪制根軌跡如圖4.12所示。圖4.12 題4.10根軌跡題4.11 已知正反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解： 應(yīng)按零度根軌跡規(guī)則，繪制系統(tǒng)的根軌跡。1）起點(diǎn)：兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：一個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡的分離點(diǎn) 解得 5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: 將代入上式，整理得： 由此可聯(lián)立方程： 解得: ?？梢宰C明系統(tǒng)的根軌跡時(shí)以開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為圓心，以開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的圓。如圖4.13所示。圖4.13 題4.11根軌跡題4.12 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)的正、負(fù)反饋兩種根軌跡。解： （1）正反饋系統(tǒng)的根軌跡。（此時(shí)應(yīng)該按零度根軌跡規(guī)則繪制）1）起點(diǎn)：四個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 。2）終點(diǎn)：一個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 。3）實(shí)軸上 為根軌跡區(qū)間。4）根軌跡漸近線 5) 根軌跡的分離點(diǎn) 根據(jù)實(shí)軸上