導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法82888

1、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念 2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個(gè)函數(shù)的最大(小)值的問題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用 3了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確運(yùn)用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2、。 4了解復(fù)合函數(shù)的概念。會(huì)將一個(gè)函數(shù)的復(fù)合過程進(jìn)行分解或?qū)讉€(gè)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會(huì)用法則解決一些簡(jiǎn)單問題。 二教學(xué)過程：1曲線的切線 在初中學(xué)過圓的切線，直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過該點(diǎn)的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)娜鐖D31中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx直線與曲線C有惟一公共點(diǎn)M，但我們不能說直線與曲線C相切；而直線盡管與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，我們還是說直線是曲線C在點(diǎn)N處的切線因此，對(duì)于一般的曲

3、線，須重新尋求曲線的切線的定義所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線 2瞬時(shí)速度 在高一物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，涉及過瞬時(shí)速度的一些知識(shí)，物理教科書中首先指出：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過某一時(shí)刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測(cè)量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對(duì)瞬時(shí)速度作了說明物理課上對(duì)瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來定義瞬時(shí)速度 3導(dǎo)數(shù)的定義 導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，都是以此為依據(jù) 對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)： (1)x是自變量x在 處的增量(或改變量) (2)導(dǎo)數(shù)定義中

4、還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) (3)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)反之不一定成立例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo) 由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行： (1)求函數(shù)的增量； (2)求平均變化率； (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步： (1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處

5、的切線的斜率； (2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為 5、和（或差）的導(dǎo)數(shù)兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。 由此我們猜測(cè)在一般情況下結(jié)論成立。事實(shí)上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的求導(dǎo)法則。 6、積的導(dǎo)數(shù) 兩個(gè)函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。（具體過程見課本P120） 說明： （1）； （2）若c為常數(shù)，則(cu) =cu。 7、商的導(dǎo)數(shù) 兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運(yùn)用就可

6、以。 即。 說明：（1）； （2） 學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。8、 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)椋礊榛颉．?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充

7、分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡(jiǎn)化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間

8、的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。 （1）恒成立 為上 對(duì)任意 不等式 恒成立（2）恒成立 在上 對(duì)任意不等式 恒成立注意事項(xiàng)1導(dǎo)數(shù)概念的理解 2利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問題的最大值與最小值復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對(duì)法則進(jìn)行了證明。 對(duì)于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對(duì)復(fù)合函數(shù)加以直觀定義，使我們對(duì)復(fù)合函數(shù)的的概念有一個(gè)

9、初步的認(rèn)識(shí)，再結(jié)合以后的例題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。 3要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)： （1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 （2）對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。 4求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行： （1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系； （2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）； （3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。 也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f()，=f(x)；然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)，中間變量對(duì)自

10、變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分解求導(dǎo)回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。三 范例分析例1已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限： （1）； （2） 分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 解：（1） （2） 說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例2（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；

11、 （2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度。 分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。 解：（1）， ，即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0 因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1 （2） 。 例3 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）（2）（3） （4）解：（1） 時(shí) ，單調(diào)遞增單調(diào)遞減（2） ，單調(diào)遞增（3） ， ，單調(diào)遞減（4） 定義域?yàn)?單調(diào)遞減 單調(diào)遞增例4求證下列不等式（1） （2） 證：（1） 為上單調(diào)遞增 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 四、強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)

12、，則等于 （ ） A B C D2若，則等于 （ ）A B C3 D23曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ） A（-1，2） B（1，-2） C（1，2） D（-1，2）或（1，-2）4若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點(diǎn)（4，f（4）處的切線的傾斜角為（ ） A90 B0 C銳角 D鈍角5函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是 （ ）A5，15B5，4C4，15D5，166一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的位移為s，那么為（ ） A從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的平均速度 B時(shí)間t時(shí)該物體的瞬時(shí)速度 C當(dāng)時(shí)間為t 時(shí)該物體的速度D從時(shí)間t到t+t時(shí)位移的平均變化率

13、7關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是 （ ）A在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)B在區(qū)間（0，2）內(nèi)，為減函數(shù)C在區(qū)間（2，）內(nèi)，為增函數(shù)D在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)8對(duì)任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為 （ ）A B C D9函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是 （ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -1610設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是 （ ） （1）； （2）； （3） （4）。 A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（1）（2）（3）（4）11f()是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）

14、=af（）+b，則下 列關(guān)于函數(shù)g（）的敘述正確的是（ ）A若a0,則函數(shù)g（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.B若a=1，2b0,則方程g（）=0有大于2的實(shí)根.C若a0,b=2,則方程g（）=0有兩個(gè)實(shí)根.D若a1,b2,則方程g（）=0有三個(gè)實(shí)根.12若函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)處的切線方程是_。13設(shè)，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為_。14設(shè)，則_。 15垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線相切的直線的方程是_16已知曲線，則_。17y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 18曲線在點(diǎn)處的切線方程為_。19P是拋物線上的點(diǎn)，若過點(diǎn)P的切線方程與直線垂直，則過P點(diǎn)處的切線方程是_。 20在拋物線上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，若拋物線上過點(diǎn)P的切線與過這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_。21曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點(diǎn)處的切線方程。22在拋物線上求一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。23求經(jīng)過點(diǎn)（2，0）且