11數(shù)列問題的題型與方法

1、第11講 數(shù)列問題的題型與方法數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊含著豐富的數(shù)學思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學方法。近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面；（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式

2、及求和公式。（2）數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。一、知識整合1在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學和實際生活中的有關(guān)問題；2在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的認識，溝通各類

3、知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡，提高分析問題和解決問題的能力，進一步培養(yǎng)學生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學思想方法分析問題與解決問題的能力3培養(yǎng)學生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學生主動探索的精神和科學理性的思維方法二、方法技巧1判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法：若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數(shù)列；若  ，則為等比數(shù)列。(3)中項公式法：驗證中項公式成立。2. 在等

4、差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題常用鄰項變號法求解：  (1)當>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值.(2)當<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應用。3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。三、注意事項1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 或而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。3注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：= ， =4數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路

5、靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路5解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略四、例題解析例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列，其前n項和為S(2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設l與l的夾角為，證明：(1)因為等差數(shù)列a的公差d0，所以Kpp是常數(shù)(k=2，3，n)(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d例2已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列

6、；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2

7、(3n-4)+2說明：1本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用例3（04年浙江）設數(shù)列an的前項的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求證數(shù)列an為等比數(shù)列。解: ()由,得 又,即,得. ()當n>1時, 得所以是首項,公比為的等比數(shù)列.例4、（04年重慶）設a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)求數(shù)列bn的通項公式，(

8、2)求數(shù)列nan的前n項的和Sn。解：（I）因故bn是公比為的等比數(shù)列，且 （II）由注意到可得記數(shù)列的前n項和為Tn，則例5在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列。求點的坐標；設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。設，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，求的通項公式。解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3），T中最大數(shù).設公差為，則，由此得說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運用幾何知

9、識算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例6數(shù)列中，且滿足 求數(shù)列的通項公式；設，求；設=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設公差為，由題意得，.（2）若，時，故 （3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有說明：本例復習數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。.五、強化訓練（一）用基本量方法解題1、（04年浙江）已知等差數(shù)列的公差為2，若a1,a3,a4成等比數(shù)列，則a2= （B ）A 4 B 6 C 8 D 10 （二）用賦值法解題2、（96年）

10、等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（C ） A 130 B 170 C 210 D 2603、（01年）設an是公比為q的等比數(shù)列， Sn是an的前n項和,若Sn是等差數(shù)列，則q=_1_4、設數(shù)列an的前項的和Sn= （對于所有n1），且a4=54,則a1=_2_（三）用整體化方法解題5、（00年）已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a3+a101=0,則有（C ） A a1+a101>0 B a2+a100<0 C a3+a99=0 D a51=516、（02年）若一個等差數(shù)列的前3項和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的

11、項數(shù)為（A） A 13 B 12 C 11 D 107、（03年上海）在等差數(shù)列an中a5=3，a6=-2,a4+a5+a10=-49（四）用函數(shù)方法解題 8、（04年天津）已知數(shù)列an,那么“對任意的nN+,點Pn(n ,an)都在直線y=x+1上”是“an為等差數(shù)列”的（ B）A必要條件 B 充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件9、（99年上海）已知等差數(shù)列an滿足3a4=7a7,且a1>0,Sn是an的前n項和，Sn取得最大值，則n=_9_.10、（01年上海）已知數(shù)列an中an=2n-7,(nN+),+-+=_153_ （五）用遞推方法解題11、（03年全國）設an是

12、首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通項公式是_1/n12、（04年全國）已知數(shù)列an滿足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1 (n>1),則an的通項an=_a1=1;an=n2 13、（04年北京）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_3_，這個數(shù)列的前n項和的計算公式為_當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，14. （04年全國）已知數(shù)列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，。(1)求a3,a5； （2）求an的通項公式解：（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3