代數(shù)幾何綜合題(含答案)

1、代數(shù)幾何綜合題代數(shù)幾何綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合笥最強(qiáng)的題型，近幾年的 中考試題很多以代數(shù)幾何綜合題的形式出現(xiàn)，其命題的主要結(jié)合點(diǎn)是方程與幾 何、函數(shù)與幾何等，解代數(shù)幾何綜合題最常用的數(shù)學(xué)方法是數(shù)形結(jié)合，由形導(dǎo) 數(shù)，以數(shù)促形。例1、如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn) A（2, 0），B（0，2），P（x，0）（x 0），連結(jié)BP,過P點(diǎn)作PC PB交過點(diǎn)A的直線a于點(diǎn)C（2, y）（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；AQ CA（2）當(dāng)x取最大整數(shù)時(shí)，求BC與PA的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：（1） PC PB,BO POCPAOPB 90 , PBOOPB 90A（2, 0），C（2, y）CPAPBO在

2、直線a上BOP1PAC 90BOPPACPOBOIxi2ACPA|y|兇2x21 2x 0,y 0, yx xy2x2（2）x 0,x的最大整數(shù)值為1 ,當(dāng)x1時(shí)，y3CA -22BO / /a，BOQ（AQ, OQBO設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m, 0），則AQ 2 mm28, m 2 m 3728Q點(diǎn)坐標(biāo)為耳,0）說明：利用數(shù)形結(jié)合起來的思想，考查了相似三角形的判定及應(yīng)用。關(guān)鍵是 搞清楚用坐標(biāo)表示的數(shù)與線段的長度的關(guān)系練習(xí)1.如圖，從。O外一點(diǎn)A作的切線AB AC切點(diǎn)分別為B、C,OO的直徑BD為6,連結(jié)CD A0.求證：CD/ AO （3分） 設(shè)CD= x, A0= y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并

3、寫出自變量 x的取值圍；（3分）（3）若 AO CD= 11,求 AB的長。（4 分）B2如圖，A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（xi, 0）、（X2, O）,其中xi、X2是關(guān)于x的方 程 x2+2x+m-3=O 的兩根，且 xi<0<X2.(1) 求m的取值圍；(2) 設(shè)點(diǎn)C在y軸的正半軸上，/ ACB=90，/ CAB=30，求m的值；(3) 在上述條件下，若點(diǎn)D在第二象限， DABA CBA求出直線AD的函數(shù) 解析式3矩形紙片OAB(平放在平面直角坐標(biāo)系，0為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上，025，0C= 4 如圖，將紙片沿CE對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐

4、標(biāo)； 在中，設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為P,若點(diǎn)P，B在拋物線y x2 bx c 上, 求b，c的值；若將紙片沿直線I對(duì)折，點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)F處，I與BF的交點(diǎn)為Q, 若點(diǎn)Q在的拋物線上，求I的解析式。4、（2005年）一矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x 的正半軸上，點(diǎn) C在y軸的正半軸上，OA= 5，OC= 4。 求直線AC的解析式； 若M為AC與 BO的交點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線y 8x2 kx上，求k的值；5 將紙片沿CE對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，試判斷點(diǎn)D是否在的拋 物線上，并說明理由。ey1r*ECXB*廣、 *D/10第砲魁厘涉* J5已知：在矩形ABCD中, AB

5、=2 E為BC邊上的一點(diǎn)，沿直線DE將矩形折疊， 使C點(diǎn)落在AB邊上的C點(diǎn)處。過C 作C H丄DC C H分別交DE DC于點(diǎn)G H,連結(jié)CG CC , CC 交GE于點(diǎn)F。(1) 求證：四邊形CGC' E為菱形；C' e dg(2) 設(shè)sin CDE x，并設(shè)y，試將y表示成x的函數(shù);DE(3) 當(dāng)(2)中所求得的函數(shù)的圖象達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，求 BC的長能力訓(xùn)練1、已知拋物線y x2 2x m(m 0)與y軸的交于C點(diǎn)，C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C'。(1) 求拋物線的對(duì)稱軸及C、C的坐標(biāo)(可用含m的代數(shù)式表示)；(2) 如果點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn) P在拋物線上，

6、以點(diǎn)C、C'、P、Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求 Q點(diǎn)和P的坐標(biāo)(可用含m的代數(shù)式表示)；(3) 在(2)的條件下，求出平行四邊形的周長。2、如圖，拋物線y ax2 bx c(a 0)與x軸、y軸分別相交于A (- 1, 0)、B (3, 0)、C ( 0, 3)三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為 D.注：拋物線y ax2 bx c(a 0) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac b22a' 4a(1) 求：經(jīng)過A B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2) 求四邊形ABDC勺面積；(3) 試判斷COA是否相似？若相似寫出證明過程；若不相似, 請(qǐng)說明理由.3、如圖，Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4 B

7、A=5點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)(P不與A C重合)設(shè)PC=x點(diǎn)P到AB的距離為y(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試討論以P為圓心,相應(yīng)的x的取值圍。半徑為x的圓與AB所在直線的位置關(guān)系，并指出4、如圖，在正方形ABCDK AB=2 E是AD邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合).BE 的垂直平分線交AB于M交DC于 N.(1) 設(shè)AE=x四邊形ADN啲面積為S,寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 當(dāng)AE為何值時(shí)，四邊形ADNM勺面積最大？最大值是多少？TC05、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) M在y軸的正半軸上，。M與x軸交于A, B兩 點(diǎn)，AD是OM的直徑，過點(diǎn)D作OM的切線，交x軸于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo) 為

8、(一3, 0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，0).(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)和CD的長;(2) 過點(diǎn)D作DE/ BA 交。M于點(diǎn)E,連結(jié)AE求AE的長.6如圖，已知：AB是定圓的直徑，0是圓心，點(diǎn)C在。O的半徑A0上運(yùn)動(dòng),PCL AB交。0于E,交AB于C, PC=5 PT是。0的切線(T為切點(diǎn))。 當(dāng)CE正好是O 0的半徑時(shí)，PT=3,求O 0的半徑；當(dāng)C點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，求CT的長；(3) 設(shè)P=y, AC=x寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并確定x的取值圍。答案：練習(xí)1、(1)連結(jié)BC交0A于點(diǎn)E略(2)v CD/ AO 二/ 3=/ 4.t AB是O O的切線，DB是直徑,/ BCDZ ABO90°

9、山 BDSAAOB.BD = DCAO OB.6 x. .18 y=x.0v xv 6y3（3）由已知和（2）知x + y=11 xy=18解這個(gè)方程組得：x1 = 2x2=9 （舍去）.ABy1=9y2=2、92 32=、72=6、2 .2. 解: (1)由題意，得22-4(m-3)=16-m>0 x iX2=m-3<0得m<4解得m<3所以m的取值圍是m<3由題意可求得/ OCBMCAB=30 .所以 BC=2BO AB=2BC=4B.O 所以AO=3BO（4分） 從而得 x i=-3x2.又因?yàn)?x i+X2=-2 .聯(lián)合、解得Xi=-3 , X2=1.代入

10、 xi X2=m-3,得 m=O過D作DF丄軸于F.從 可得到A B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3 , O)、B(1 , O).所以 BC=2 AB=4 OC=3因?yàn)?DABA CBA所以 DF=CO=3 , AF=BO=1 OF=AO-AF=2所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2 , 、3).直線AD的函數(shù)解析式為y= . 3 x=3.3（1）據(jù)題栽知CD = CB - 5-V ZCOD = R厶 OD « J3 一記工乂 3. D點(diǎn)蟹標(biāo)為（3.0）. 過P作PG丄工軸于G據(jù)題知兀 ABPD = PB.： PG p *AB =» 2>DG =» -.AD = 1»P點(diǎn)塑標(biāo)

11、為（4.2）.V點(diǎn)PB在雄物線y =分+虹+ c上，： b = 7 c w 14. 當(dāng)點(diǎn)F在紬上時(shí)過Q作QM丄工鈾于" 同可知QM " yAB - 2.W Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2. 得 x2-7x+U = 2,： x = 3 或工=4>Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3.2）或（4.2）.當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3.2）時(shí)如圖.avf H 3.MA沃2.FA = 4.AB « 4FA = AB.而/為BF的中垂線, 點(diǎn)A在/上.4、 V CH 5,0C = 4A A(S,0)fC(Ot4),得AC的篇析武為，n-"令j： + 4. 可知M點(diǎn)坐標(biāo)為得.由題設(shè)知 (-|*)£

12、 + & 寺 2, T CD = CB 也 QA = S.OC = 4.IIZCOD =刃厶：* 0D = 31:* D(3,0).當(dāng) x = 3 時(shí) *$=2x3' +當(dāng) X3= 0«a5二點(diǎn)D在拋物線上*:、I的解析式為y =丄+ 5,當(dāng)Q點(diǎn)堂標(biāo)為(4,2)時(shí)*如圖(jM = 4,M4 = 1.QF = 3.CF =頭而CB :.CF = CB.叮i為BF的中垂線.點(diǎn)C在/匕.-【的解析式為了 =一*工+ 4.當(dāng)點(diǎn)Fy軸上時(shí)，可求得Q(訂¥山與歹軸交點(diǎn)為(0占)*： I的解析式為y 2jc +4”綜上F的解析式為y =jt+ 5或y =* -jc + 4

13、或y s= 2工+更.45. (1)根據(jù)題意，C C兩點(diǎn)關(guān)于直線DE成軸對(duì)稱，DE是線段CC的垂直平分線，故 DO DC , GC= EC，/ C EG=Z CEG由 C H± DC BCL DCW： C G/ CE,/ C GE=Z GEC vZ C EG=Z CEG/ C GE=Z C' EG 二 C G= C E, C G= C E= EO GC四邊形CGC為菱形DE由(1)得：CC 丄 CE 又 DCL CE, Rt C EF Rt DEC，.C'EEFDEEC'，即 C'E2DE ?EF.EFC'E2(CE)2 x2DG"D

14、EDE2(DE)x，DEC'EDG C'E DGxDEDEDEDE GEDE(2)解法一：由題意知：在厶 RtDCE中,CEsin Z CDE= xEF2 -DE1 2x22，即y2x2 x解法二：設(shè)DE= a，由sinCEZ CDE=ce =x，貝U CE=ax 又 DC! CE CF丄 DE,DE爼匹EFFE CECE2DE(ax)2aax2DG= DE -2EF= a-2ax2，DG 7DE 8DG2此時(shí)1 2xDE7，由 DH= 2,得 Dd -一4在 Rt DHC 中 C'H、DC'2 DH 24 4916.1542.C'E DG CE DG

15、ax a 2ax “22 dx 1 2x y=-2x +x+1 DEDE由(2)得：y+x+G 2(x1可見，當(dāng)x=-時(shí)，此函數(shù)的圖象達(dá)到最高點(diǎn),4DH GH/ CE 二DC BO 1154能力訓(xùn)練1、(1)所求對(duì)稱軸為直線x = 1 C (0, -m) C '( 2, -m)(2) 滿足條件的 P、Q坐標(biāo)為 P(-1 , 3-m), Q( 1, 3-m); P' (3, 3-m)Q( 1, 3 m； p( 1, -1-m), Q (1,1-m)。(3) 所求平行四邊形周長為4 2.10或4、. 2 o2、解：(1) y x2 2x 3(2)由(1)可知 y (x 1)2 4頂

16、點(diǎn)坐標(biāo)為D (1,4 ),設(shè)其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E1-S AOCAO ?oc1 -1 2332S梯形 OEDC DCDEOE丄 341722 21 1SDEB-|EBDE22 4437S四邊形 ABDC S AOCS梯形 OEDCS DEB 22 49(3)A DCB AOC相似證明：過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為FDCF= 45° D (1,4 ),二 Rt DFC中, DC=4，且/ 在 Rt BOC中, Z OC圧45°, BO 3,2/ AOGZ DC*90°匹 BC 2 DCB AOCAO CO 13123、(1)過 P作 PQLAB于 Q 則 PQ=y

17、, y3x 生(0 x 4)553123(2)令 x<y，得：x-x一，解得：x-5523當(dāng)0 x -時(shí)，圓P與AB所在直線相離；23x -時(shí)，圓P與AB所在直線相切；23-x 4時(shí)，圓P與AB所在直線相交24解：連接ME設(shè)MN交BE于P,根據(jù)題意，得MB=MEMNL BE 過N作AB的垂線交 AB于F,在 Rt MBP和 Rt MNF中,Z MBPZ BMN=90 , Z FNMZ BMN=90 , Z MBPZ MNF又 AB=FN - RTEBA Rt MNF 故 MF=AE=x在 Rt AME中 AE=x ME=MB=2-AMa (2-AM)2=x2+aM.解得AM= -x24所以四邊形ADNM勺面積o AM DN S21 2 x x2ADAM AF22AMAE2.即所求關(guān)系式為1 2 S -x222x當(dāng) AE=x=1 時(shí),四邊形ADNM勺面積的值最大。5.解：(1)v MO丄 AB,： OA= OB. A點(diǎn)坐標(biāo)為（一3, 0）, B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0).最大值是D25圖8-52O B C x CD是OO的切線， CD2= CB- C心2X 8= 16. CD= 4.(3)v AD 是直徑， DB丄AB, BD= DC- BC= 42- 22 = 2